第十一章

立體幾何初步11.1.5旋轉(zhuǎn)體人教B版（2019）

必修第四冊學(xué)習(xí)要點核心素養(yǎng)1.掌握圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征數(shù)學(xué)抽象2.掌握球的結(jié)構(gòu)特征數(shù)學(xué)抽象從生活中的一些物體可以抽象出圓柱，圓錐，圓臺，如圖所示．觀察它們的結(jié)構(gòu)，總結(jié)出形成圓柱，圓錐，圓臺的方式．嘗試與發(fā)現(xiàn)圓柱可看成以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體，如圖（1）所示；圓錐可看成以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體，如圖（2）所示；圓臺可看成以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體，如圖（3）所示．1.圓柱、圓錐、圓臺用類似上述圓柱，圓錐，圓臺的形成方式構(gòu)成的幾何體都是旋轉(zhuǎn)體，其中，旋轉(zhuǎn)軸稱為旋轉(zhuǎn)體的軸，在軸上的邊（或它的長度）稱為旋轉(zhuǎn)體的高，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為旋轉(zhuǎn)體的底面，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面．而且，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都稱為母線．旋轉(zhuǎn)體在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面通常簡稱為軸截面．由圓柱，圓錐，圓臺的形成方式可以看出，三者的軸截面分別是矩形，等腰三角形，等腰梯形．圓臺是否可以看成用平面截圓錐得到的幾何體？嘗試與發(fā)現(xiàn)顯然，圓臺可以看成平行于圓錐底面的平面截圓錐所得到的幾何體．例

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寫出圓臺中任意兩條母線的位置關(guān)系，任意一條母線與底面的位置關(guān)系，以及兩個底面的位置關(guān)系．解

圓臺中任意兩條母線都相交，任意一條母線與底面都相交，兩個底面相互平行．例題鞏固旋轉(zhuǎn)體側(cè)面的面積稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，側(cè)面積與底面積之和稱為旋轉(zhuǎn)體的表面積（或全面積）．為了求圓柱，圓錐，圓臺的表面積，分別需要知道哪些條件？怎樣求它們的表面積？嘗試與發(fā)現(xiàn)因為圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，所以，如果知道它們的底面半徑以及母線長，就可以算出它們的側(cè)面積與表面積．對于圓臺來說，側(cè)面展開圖如圖所示，其面積可看成兩個扇形的面積之差．因此如果知道圓臺上，下底面半徑以及母線長，也可以算出其側(cè)面積與表面積．圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式日常生活中的很多物體都可以抽象成球面，如圖所示．（1）從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)該怎樣來刻畫球面呢？圓可以看成平面上到定點的距離等于定長的點的集合，球面上的點是否有類似的性質(zhì)？（2）球面可以通過什么圖形旋轉(zhuǎn)得到？嘗試與發(fā)現(xiàn)通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，球面可以看成一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面；球面圍成的幾何體，稱為球．球也是一個旋轉(zhuǎn)體．形成球面的半圓的圓心稱為球的球心，連接球面上一點和球心的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點且通過球心的線段稱為球的直徑．2.球RR2R一個球可以用表示它的球心的字母來表示，例如圖中的球可表示為球O．由球面的形成過程可看出，球面可以看成空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合．當(dāng)用刀去切一個球形的西瓜時（如圖（1）所示），所得到的截面是什么形狀？一般地，如果一個平面與一個球面相截（如圖（2）所示），所得交線的形狀是怎樣的？情境與問題也就是說，球的截面是一個圓面（圓及其內(nèi)部）．球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的小圓．例題鞏固嘗試與發(fā)現(xiàn)例3

已知一個長方體的8個頂點都在一個球面上，且長方體的棱長為3，4，5，求球的表面積．例題鞏固（1）你能畫出合適的圖形來表示上述題目中的關(guān)系嗎？（2）如圖所示是一個長方體，你能在空間中找出一點，

使它到長方體的8個頂點的距離都相等嗎？嘗試與發(fā)現(xiàn)能，此點為長方體體對角線的交點，即長方體體對角線的中點.（1）類比直線與圓的位置關(guān)系，探索直線與球的位置關(guān)系，以及平面與球的位置關(guān)系．（2）給定球面上兩點，球面上連接這兩點的所有曲線中，什么樣的曲線最短？找一個地球儀，選定一條經(jīng)線所在的圓和一條緯線相交的兩點，利用細(xì)繩量出這兩點間緯線和經(jīng)線的劣弧長，比較它們的大?。纱四懿孪氤鍪裁唇Y(jié)論？你能用所得到的結(jié)論指出飛機，輪船在長距離航行時，最短的航線是什么曲線嗎？探索與研究（1）直線與圓的位置關(guān)系有：相離，相切，相交．其相應(yīng)交點的個數(shù)分別是：0，1，2．直線或平面與球的位置關(guān)系有：相離，相切，相交．其中，相離是直線或平面與球無公共點，相切是直線或平面與球有且只有一個公共點，相交則是直線或平面與球有無數(shù)個公共點．（2）選定一條經(jīng)線所在的圓和一條緯線相交的兩點，利用細(xì)繩量出的兩點間的緯線和經(jīng)線的劣弧長中，經(jīng)過經(jīng)線的劣弧長度小.由此猜想：球面上