專題01圓的認(rèn)識以及與圓有關(guān)的概念圓——知識點總結(jié)歸納圓的定義以及相關(guān)元素（1）集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合（2）軌跡形式的概念：圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓（3）圓中相關(guān)元素概念1、半徑：圓上一點與圓心的連線段。2、直徑：連接圓上兩點有經(jīng)過圓心的線段。3、弦：連接圓上兩點線段（直徑也是弦）。4、?。簣A上兩點之間的曲線部分，半圓周也是弧。劣弧：小于半圓周的弧。優(yōu)?。捍笥诎雸A周的弧。5、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．將整個圓分為等份，每一份的弧對應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．6、圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．7、弦心距：圓心到弦的垂線段的長。8、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．9、同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．注意：同圓或等圓的半徑相等．圓的對稱性（1）旋轉(zhuǎn)對稱性1、圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重合．2、圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系．（2）軸對稱性1、圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線是它的對稱軸．2、圓的軸對稱性垂徑定理．垂徑定理：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：①平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。燮椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。普?：圓的兩條平行線所夾的弧相等．（擴(kuò)展）即：在⊙中，∵∥∴弧弧注意：若“過圓心的直線”、“垂直于弦”、“平分弦（非直徑）”、“平分弦所對的優(yōu)弧”、“平分弦所對的劣弧”中的任意兩個成立，則另外三個都成立．注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計算時，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：，根據(jù)此公式，在，，三個量中知道任何兩個量就可以求出第三個量．圓的性質(zhì)定理（1）圓周角定理1、定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．2、推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．（2）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系1、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．2、推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等．所對的兩圓心角相等所對的兩圓心角相等所對的兩條弦相等所對的兩條弧相等所對的兩條弦的弦心距相等注意：①前提條件是在同圓或等圓中；②在由等弦推出等弧時應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等．點與圓、直線與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi)點在圓內(nèi)；2、點在圓上點在圓上；3、點在圓外點在圓外；（2）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；（3）切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。（4）切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴平分外接圓內(nèi)切圓外接圓內(nèi)切圓概念經(jīng)過三角形各頂點的圓叫三角形的外接圓與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形名稱內(nèi)接三角形外切三角形圓心名稱外心內(nèi)心尺規(guī)作圖實質(zhì)三角形各邊垂直平分線的交點三角形各內(nèi)角角平分線的交點性質(zhì)到三角形各頂點的距離相等到三角形各邊的距離相等直角三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法(為斜邊長)內(nèi)、外心的位置銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點上。鈍角三角形外心在三角形外。三角形一定有內(nèi)切圓，圓心定在三角形內(nèi)部。I是的外心：∠BIC=2∠AI是的內(nèi)心：∠BIC=+∠A注意等邊三角形的內(nèi)心、外心重合。外接圓1、三角形一定有外接圓，其他的圖形不一定有外接圓。三角形的外接圓圓心是三邊的垂直平分線的交點。三角形外接圓圓心叫外心2、HYPERLINK銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。HYPERLINK直角三角形外心在三角形斜邊中點上。HYPERLINK鈍角三角形外心在三角形外。3、有HYPERLINK外心的圖形，一定有HYPERLINK外接圓(各邊HYPERLINK中垂線的交點，叫做外心）外接圓HYPERLINK圓心到三角形各個HYPERLINK頂點的HYPERLINK線段長度相等過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做HYPERLINK三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形內(nèi)部，可能在三角形外部（如鈍角三角形），也可能在三角形上（如直角三角形）4、過不在同一HYPERLINK直線上的三點可作一個圓（且只有一個圓）（2）內(nèi)切圓1、與三角形三邊都相切的圓叫做HYPERLINK三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心是三角形三條HYPERLINK角平分線的交點。2、HYPERLINK三角形一定有內(nèi)切圓，其他的圖形不一定有內(nèi)切圓，且內(nèi)切圓圓心定在三角形內(nèi)部。3、在三角形中，三個角的角平分線的交點是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。4、HYPERLINK內(nèi)切圓的HYPERLINK半徑為r=2S÷C，當(dāng)中S表示三角形的HYPERLINK面積，C表示三角形的HYPERLINK周長。補(bǔ)充：在直角三角形的內(nèi)切圓中，有這樣兩個簡便HYPERLINK公式：兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2，得數(shù)是內(nèi)切圓的半徑。r=2、兩直角邊乘積除以直角三角形周長，得數(shù)是內(nèi)切圓的半徑。r=（3）內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊形是內(nèi)接四邊形正多邊形與圓概念與性質(zhì)正多邊形的概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．中心：把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個多邊形的中心。中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。（2）圓內(nèi)正多邊形的計算1、正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計算在中進(jìn)行：；2、正四邊形四邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，：3、正六邊形六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，.復(fù)習(xí)：n邊形內(nèi)角和等于（n-2）×180°多邊形的外角和恒等于360°扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積（3）圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長；圓錐的底面半徑，母線長，高組成直角三角形，可利用勾股定理求解．2、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖=（2）圓柱的體積：圓的認(rèn)識以及與圓有關(guān)的概念例題講解一、圓的概念【例1】下列關(guān)于圓的敘述中正確的是()A．圓是由圓心唯一確定的B．圓是一條封閉的曲線C．平面上到定點的距離小于或等于定長的所有點組成圓D．圓內(nèi)任意一點到圓心的距離都相等【答案】B【解析】圓是由圓心、半徑確定的，故A錯誤；平面上到定點的距離等于定長的所有點組成圓，故C錯誤；圓上任意一點到圓心的距離都相等，故D錯誤；只有B正確．【例2】下列說法中，不正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 B．圓的每一條直徑都是它的對稱軸 C．圓有無數(shù)條對稱軸 D．圓的對稱中心是它的圓心【答案】B【解析】圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故B錯誤?！纠?】對下列生活現(xiàn)象的解釋其數(shù)學(xué)原理運用錯誤的是（）A．把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理B．木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的原理 C．將自行車的車架設(shè)計為三角形形狀是運用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理 D．將車輪設(shè)計為圓形是運用了“圓上所有的點到圓心的距離相等”的原理【答案】B【解析】木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了兩點確定一條直線的原理弧、弦、圓心角等元素的概念【例1】下圖中∠ACB是圓心角的是()【答案】C【解析】圓心角的定義為頂點在圓心的角，由定義可知C正確?！纠?】如圖，圖中的弦共有()A．1條B．2條C．3條D．4條【答案】B【解析】連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦，圖中的弦為線段CD和線段AB,所以答案選擇B?！纠?】下列說法正確的是（）A．弦是直徑 B．弧是半圓 C．直徑是圓中最長的弦 D．半圓是圓中最長的弧【答案】C【解析】A:直徑是弦，但弦不一定是直徑。B：半圓是弧，但弧不一定是半圓。D：半圓是小于優(yōu)弧而大于劣弧的弧。所以只有C正確【例4】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點P是OB上的任意一點(不包括點O、B)，CD、EF是過點P的兩條弦，則圖中的弦有________________，以B為端點的劣弧有___________________．【答案】弦：AB，CD，EF劣弧：【解析】根據(jù)弧弦的定義可得答案。圓的認(rèn)識綜合題型【例1】下列4個說法中：①直徑是弦；②弦是直徑；③任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸；④弧是半圓；正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】①直徑是最長的弦，故本小題說法正確；②弦是不一定是直徑，故本小題說法錯誤；③經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，故本小題說法正確；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本小題說法錯誤．【例2】下列說法中，不正確的是（）A．直徑是最長的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等 C．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．長度相等的弧是等弧【答案】D【解析】解：A、直徑是最長的弦，說法正確；B、同圓中，所有的半徑都相等，說法正確；C、圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，說法正確；D、長度相等的弧是等弧，說法錯誤；【例3】下列命題中是真命題的有（）①兩個端點能夠重合的弧是等弧；②圓的任意一條弦把圓分成優(yōu)弧和劣弧兩部分；③長度相等的弧是等弧；④半徑相等的圓是等圓；⑤直徑是最大的弦；⑥半圓所對的弦是直徑．A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【解析】解：①能夠完全重合的兩條弧是等弧，故①錯誤；②直徑將圓分成兩條相等的弧，故②錯誤；③長度相等的兩條弧不一定能完全重合，故③錯誤；④只要半徑相等的兩圓一定是等圓，故④正確；⑤直徑是圓內(nèi)最長的弦，故⑤正確；⑥圓的直徑將圓分成兩個半圓，所以半圓所對的弦是直徑，故⑥正確，∴真命題有④⑤⑥三個【例4】如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC、OD分別交AB于點E、F，且AE＝BF，請你判斷線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】OE＝OF.【解析】證明如下：連接OA、OB，則OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．∴OE＝OF.【例5】已知，如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中點，求證：AD＝BC．【答案】見解析【解析】解：∵OA、OB是⊙O的兩條半徑，∴AO＝BO，∵C、D分別是半徑OA、BO的中點，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，，∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【例6】如圖，半圓O的直徑AB＝8，半徑OC⊥AB，D為弧AC上一點，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分別為E、F，求EF的長．【答案】4【解析】解：連接OD．∵OC⊥ABDE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，∴四邊形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【例7】如圖，點A、D、G、M在半圓O上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)BC＝a，EF＝b，HN＝c，則a、b、c三者間的大小關(guān)系為________．【答案】a=b=c【解析】連接OM、OD、OA，如圖，∵點A、D、M在半圓上，∴OM＝OD＝OA，∵四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，∴OM＝NH，OD＝EF，OA＝BC，∴BC＝EF＝HN，即a＝b＝c.證明四點共圓【例1】已知：如圖，BE、CFABCMBCB、C、E、FM【答案】見解析【解析】證明：連接ME、MF因為BE、CF是△ABC的高，M為BC的中點∴ME=MF=MC=MB=BC∴B、C、E、FM【例2】如圖，在□ABCDBADAE⊥BC，AF⊥CD．求證：A、E、C、F【答案】見解析【解析】連接AC交BD于點O，連接EO、FO∵四邊形ABCD是平行四邊形∴O為AC的中點∵AE⊥BC，AF⊥CD∴三角形AEC和三角形AFC都是直角三角形∴AO=EO=CO=FO=AC∴A、E、C、FAC為半徑的課后練習(xí)題：1．如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．?dāng)?shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離，那么S的最大值是（）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)﹣b【答案】C【解析】解：空間站A與星球B、飛船C在同一直線上時，S取到最大值a+b．故選：C．2、生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里去，這是因為（）A．圓的直徑是半徑的2倍 B．同一個圓所有的直徑都相等 C．圓的周長是直徑的π倍 D．圓是軸對稱圖形【答案】B【解析】生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里，這是因為同一個圓里所有的直徑都相等．3．有一個圓的半徑為5，則該圓的弦長不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【答案】D【解析】解：∵一個圓的半徑為5，∴圓中最長的