人教新版八年級下學期《第18章平行四邊形》

單元測試卷

解答題(共50小題)

1.四邊形A8C。為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE,過點E作￡尸，。￡,交射線

BC于點F,以。E、跖為鄰邊作矩形。跖G,連接CG.

(1)如圖1,求證：矩形。EFG是正方形;

(2)若A2=2,CE=?,求CG的長度;

(3)當線段。E與正方形ABC。的某條邊的夾角是30°時，直接寫出/EFC的度數(shù).

2.如圖①，在正方形ABC。中，尸是對角線80上的一點，點E在的延長線上，且PE

=%，PE交CD于F.

(1)求證：PC=PE；

(2)求NCPE的度數(shù);

(3)如圖②，把正方形ABC。改為菱形A2CZ),其它條件不變，若/42C=65°,則N

國②

3.如圖1,△A3。和△BOC都是邊長為1的等邊三角形.

A

VW'VI

圖1圖2圖3

(1)四邊形ABC。是菱形嗎？為什么？

(2)如圖2,將△3DC沿射線8D方向平移到△3bDiG的位置，則四邊形是平

行四邊形嗎？為什么？

(3)在△BDC移動過程中，四邊形A8C15有可能是矩形嗎？如果是，請求出點8移動

的距離(寫出過程)；如果不是，請說明理由(圖3供操作時使用).

4.△ABC中，點。是AC邊上一個動點，過點O作直線MN〃BC,設MN交/BCA的平分

線于E,交/OC4的平分線于點反

(1)求證：EO=FO-,

(2)當點。運動到何處時，四邊形AEC尸是矩形？并證明你的結論.

5.如圖，在平行四邊形A8C。中，的平分線與8c的延長線交于點E,與0c交于

點E

(1)求證：CD=BE；

(2)若AB=4,點尸為。C的中點，DG1AE,垂足為G,且。G=l,求AE的長.

6.如圖，在aABCD中，NABC的平分線交AO于點E,延長BE交的延長線于H

(1)若NF=20°,求/A的度數(shù)；

(2)若AB=5,BC=8,CE±AD,求□ABC。的面積.

7.如圖：在平行四邊形中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交3c于點E(尺規(guī)作

圖的痕跡保留在圖中了)，連接EE

(1)求證：四邊形A8EF為菱形；

(2)AE,相交于點。，若BF=6,AB=5,求AE的長.

8.如圖，在正方形ABC。中，點、E,歹分別在邊AB,BC上,NADE=/CDF.

(1)求證：AE=CF-,

(2)連接DB交所于點。，延長。3至點G,使。G=。。，連接EG、FG,判斷四邊

形。EG尸是怎樣的四邊形，并說明理由.

9.已知：如圖，在矩形ABCZ)中，點E在邊AD上，點廠在邊BC上，且AE=CF,作EG

//FH,分別與對角線8。交于點G、H,連接EH,FG.

(1)求證：△3切之△DEG；

(2)連接。R若BF=DF,則四邊形EGF8是什么特殊四邊形？證明你的結論.

10.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,是中線，E是A。的中點，過點A作A尸〃8C

交8E的延長線于凡連接CH

(1)求證：AD=AF；

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AOCB的形狀，并證明你的結論.

11.【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形A8E和ADR連結

ED與FC交于點M,則圖中△ADE2△￡)■r,可知即=FC,求得N￡)MC=.

【拓展應用】如圖②，在矩形A8CO(AB>8C)的外側，作兩個等邊三角形ABE和AD凡

連結ED與FC交于點M.

(1)求證：ED=FC.

(2)若NAOE=20°,求NOMC的度數(shù).

12.已知：如圖，nABCD中，。是CD的中點，連接A。并延長，交BC的延長線于點E.

(1)求證：AAOD^AEOC；

(2)連接AC,DE,當N2=°和°時，四邊形ACED是正方

形？請說明理由.

13.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD±BC,垂足為Z),AN是△ABC外角/CAM的平分

線，CE1AN,垂足為點E

(1)求證：四邊形AOCE為矩形；

(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AOCE是一個正方形？并給出證明.

14.如圖：在Rt^ABC中，ZACB=90°,過點C的直線MN〃AB,。為AB上一點，過

點。作DELBC,交直線于點E,垂足為R連結CD,BE,

(1)當點。是AB的中點時，四邊形8EC。是什么特殊四邊形？說明你的理由

15.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,是8C邊的中線，AN為△ABC的外角/CAM

的平分線，CELAN于點E,線段DE交AC于點f

(1)求證：四邊形AOCE為矩形；

(2)線段。尸與A3有怎樣的關系？證明你的結論.

BDC

16.如圖，在△ABC中，點。在48邊上，過點。作BC的平行線交NABC的平分線于點

D,過點B作BE1BD交直線0D于點E.

(1)求證：OE=OD；

(2)當點。在A8的什么位置時，四邊形BD4E是矩形？說明理由.

17.【感知】如圖①，四邊形ABC。、CEFG均為正方形.可知BE=￡)G.

【拓展】如圖②，四邊形ABC。、CE/G均為菱形，且/A=NF.求證：BE=DG.

【應用】如圖③，四邊形4BC。、CEFG均為菱形，點E在邊A。上，點G在延長

線上.若AE=2ED,NA=NF,人防。的面積為8,則菱形CEFG的面積為.

圖①圖②圖③

18.探究：如圖，分別以△ABC的兩邊和AC為邊向外作正方形ANM8和正方形ACDE,

NC、8E交于點P.

求證：NANC=/ABE.

應用：。是線段8C的中點，若BC=6,則PQ=.

19.以四邊形ABC。的邊AB、為邊分別向外側作等邊三角形ABF和AOE,連接￡8、

FD,交點為G.

E

(1)當四邊形ABC。為正方形時(如圖1),E8和尸。的數(shù)量關系是；

(2)當四邊形A8C。為矩形時(如圖2),即和FD具有怎樣的數(shù)量關系？請加以證明；

(3)四邊形A8CD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，NEGD是否發(fā)生

變化？如果改變，請說明理由；如果不變，請在圖3中求出/EG。的度數(shù).

20.如圖，正方形ABCQ中，E是BD上一點、,AE的延長線交CD于R交8C的延長線于

G,M是尸G的中點.

(1)求證：①N1=N2；@EC±MC.

(2)試問當/I等于多少度時，AECG為等腰三角形？請說明理由.

AD

21.如圖，已知△A8C為等邊三角形，CP〃A8,點P為線段A8上任意一點(點。不與A、

8重合)，過點P作PE〃BC,分別交AC、CF于G、E.

(1)四邊形PBCE是平行四邊形嗎？為什么？

(2)求證：CP=AE；

(3)試探索：當尸為AB的中點時，四邊形APCE是什么樣的特殊四邊形？并說明理由.

G

E

22.如圖，在△ABC中，。是AC的中點，￡是線段8C延長線一點，過點A作BE的平行

線與線段即的延長線交于點憶連接AE、CF.

(1)求證：AF=CE；

(2)如果AC=EE且NACB=135°,試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明

你的結論.

3

23.如圖，△ABC中，點。為AC邊上的一個動點，過點。作直線MN〃2C,設MN交/

BCA的外角平分線CT于點F,交/ACB內(nèi)角平分線CE于E.

(1)試說明EO=FO；

(2)當點。運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結論；

(3)若AC邊上存在點。，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結

24.如圖，在△ABC中，ZACB=90",點。，E分別是邊8C,AB上的中點，連接。E并

延長至點日使Er=2〃E,連接CE、AF.

(1)證明：AF=CE；

(2)當NB=30°時，試判斷四邊形ACEP的形狀并說明理由.

25.如圖，在平行四邊形ABC。中，邊的垂直平分線交AD于點E,交C8的延長線于

點、F,連接ARBE.

(1)求證：AAGE咨△BGF；

(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由.

26.如圖，矩形ABC。中，NABD、NCD8的平分線BE、。F分別交邊A。、8c于點E、F.

(1)求證：四邊形BE。尸是平行四邊形；

27.已知：如圖，在菱形ABC。中，點E,O,尸分別為AB,AC,的中點，連接CE,

CF,OE,OF.

(1)求證：ABCE義ADCF；

(2)當A2與BC滿足什么關系時，四邊形AEOF是正方形？請說明理由.

28.如圖，在Rt/VIBC中，NABC=90°,點D是AC的中點，作NADB的角平分線DE

交于點E,

(1)求證：DE//BC-,

(2)若AE=3,AO=5,點P為線段BC上的一動點，當8尸為何值時，△〃以為等腰

三角形.請求出所有2尸的值.

29.已知：如圖，在矩形48cL1中，M、N分別是邊A。、BC的中點，E、尸分別是線段BM、

CM的中點.

(1)求證：AABM咨ADCM；

(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論.

30.如圖，。是線段A8的中點，C是線段A2的垂直平分線上的一點，OELAC于點E,

DFLBC于點F.

(1)求證：DE=DF；

AE=CF.

(1)求證：AABF咨ACDE；

(2)當四邊形A8C。滿足什么條件時，四邊形8EDE是菱形？為什么？

D

,E

32.如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側分別作3個等邊三角形，即△AB。、4BCE、

△ACF.

（1）求證：四邊形AOEF是平行四邊形?

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AOEF是矩形，并說明理由.

（3）當AABC滿足什么條件時，四邊形AOEF是菱形，并說明理由.

（4）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADE尸是正方形，不要說明理由.

33.如圖，矩形ABCZ）中，AB=4cm,BC=8cm,動點M從點。出發(fā)，按折線。CBA。方

向以2cmls的速度運動，動點N從點。出發(fā)，按折線DABCD方向以lcm/s的速度運動.

（1）若動點/、N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇？

（2）若點E在線段BC上，且BE=3cw,若動點M、N同時出發(fā)，相遇時停止運動，經(jīng)

過幾秒鐘，點A、E、M、N組成平行四邊形？

4N汽

---------------------1。

B'----------------------C

34.如圖，梯形A3C。中，AB//CD,AB^24cm,DC^10cm,點P和。同時從。、B出發(fā),

P由。向C運動，速度為每秒1c%,點。由8向A運動，速度為每秒3cm,試求幾秒后,

尸、。和梯形A8CO的兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形？

0B

35.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD^Ucm,BC=15c〃z,點尸自點A向。以IcmJs

的速度運動，到。點即停止.點。自點C向8以2c加/s的速度運動，到8點即停止，點

P,。同時出發(fā)，設運動時間為r(s).

(1)用含f的代數(shù)式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=.

(2)當/為何值時，四邊形4PQB是平行四邊形？

(3)當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？

36.如圖，在等邊三角形A8C中，BC=6cm,射線AG〃8C,點E從點A出發(fā)沿射線AG

以lcm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運動，設運動時間

為t(5).

(1)連接斯，當所經(jīng)過AC邊的中點。時，求證：AADE義ACDF；

(2)當/為多少時，四邊形ACFE是菱形.

37.如圖，在矩形ABCZ)中，AB=24cm,8C=8c:w,點P從A開始沿折線A-8-C-。以

4aMs的速度移動，點Q從C開始沿C。邊以Icmls的速度移動，如果點P、Q分別從4

C同時出發(fā)，當其中一點到達。時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為f(s).當f

為何值時，四邊形QP2C為矩形？

D2<-----C

38.如圖，在平面直角坐標系中，AB//OC,A(0,12),B(a,c),C(6,0),并且a,b

滿足b=4a-21+、/21-a+16.一動點尸從點A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度

的速度向點B運動；動點。從點。出發(fā)在線段0C上以每秒1個單位長度的速度向點C

運動，點P、。分別從點A、。同時出發(fā)，當點P運動到點8時，點。隨之停止運動.設

運動時間為t(秒)

(1)求8、C兩點的坐標；

(2)當/為何值時，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時P、。兩點的坐標；

(3)當r為何值時，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P、Q兩點的坐標.

39.在正方形ABCD中，P是CD上的一動點，連接PA,分別過點B、D作BELPA.DF

LPA,垂足為E、F.

(1)求證：BE=EF+DF；

(2)如圖(2),若點P是。C的延長線上的一個動點，請?zhí)剿鰾E、DF、跖三條線段

之間的數(shù)量關系？并說明理由；

(3)如圖(3),若點尸是CD的延長線上的一個動點，請?zhí)剿鰾E、DF、EF三條線之

間的數(shù)量關系？(直接寫出結論，不需說明理由).

40.如圖，點G是正方形對角線C4的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正

方形AEFG,線段EB和GD相交于點H.

(1)求證：AEAB絲AGAD；

(2)若A8=3&,AG=3,求的長.

41.如圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂

點A重合，三角板的一邊交C。于點F,另一邊交CB的延長線于點G.

(1)求證：EF=EG；

(2)如圖2,移動三角板，使頂點E始終在正方形ABC。的對角線AC上，其他條件不

變.(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

42.已知，如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，四邊形。43c是矩形，點A、C的

坐標分別為A(10,0),C(0,4),點。是。4的中點，點尸在邊上運動.當△ODP

是腰長為5的等腰三角形時，求點尸的坐標.

43.D、E分別是不等邊三角形ABC(即ABW8CWAC)的邊AB、AC的中點.。是AABC

所在平面上的動點，連接08、OC,點G、F分別是。氏OC的中點，順次連接點。、G、

F、E.

(1)如圖，當點。在△ABC的內(nèi)部時，求證：四邊形。GFE是平行四邊形；

(2)若四邊形。GFE是菱形，則。4與應滿足怎樣的數(shù)量關系？(直接寫出答案，

不需要說明理由.)

A

44.如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,點。是BC的中點.作正方

形DEFG,使點A,C分別在。G、DE上，連接AE、BG.

(1)試猜想線段2G和AE的數(shù)量關系，請直接寫出你得到的結論;

(2)將正方形。所G繞點。逆時針方向旋轉一定角度后(旋轉角度大于0°,小于或等

于360。)，如圖②，(1)中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立,

請說明理由.

45.在數(shù)學活動課中，小輝將邊長為我和3的兩個正方形放置在直線/上，如圖1,他連結

AD.CF,經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)AO=CR

(1)他將正方形ODE/繞。點逆時針旋轉一定的角度，如圖2,試判斷與B還相

等嗎？說明你的理由;

(2)他將正方形。。/繞。點逆時針旋轉，使點E旋轉至直線/上，如圖3,請你求出

46.已知，如圖，O為坐標原點，四邊形O48C為矩形，A(10,0),C(0,4),點。是

OA的中點，點P在邊2C上以每秒1個單位長的速度由點C向點8運動.

(1)當f為何值時，四邊形POO8是平行四邊形？

(2)在線段PB上是否存在一點0,使得。。。尸為菱形？若存在，求f的值；若不存在,

請說明理由；

(3)△。尸。為等腰三角形時，寫出點P的坐標(不必寫過程).

47.如圖1,在平面直接坐標系中，矩形OA8C的頂點A、C的坐標分別為(10,0)、(0,

4),點。是OA的中點，點P在8c上運動，當△OD尸是腰長為5的等腰三角形時，求

發(fā)沿方向向點。以1cm/s的速度運動，動點。從點C開始沿著CB方向向點8以3cm/s

的速度運動.點P、。分別從點A和點C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點隨

之停止運動.

(1)經(jīng)過多長時間，四邊形PQC。是平行四邊形？

(2)經(jīng)過多長時間，四邊形尸。A4是矩形？

49.如圖，在RtaABC中，/B=90°,BC=$M，NC=30°.點。從點C出發(fā)沿C4

方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒

1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運

動.設點。、￡運動的時間是t秒(r>0).過點。作。尸，BC于點尸，連接。E、EF.

(1)求證：AE=DF；

(2)四邊形AEED能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的才值；如果不能，說明理由.

A

50.如圖①，在正方形ABC。中，尸是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且

PE=PB.

(1)求證：ABCP咨ADCP；

(2)求證：ZDPE=ZABC；

(3)把正方形ABC。改為菱形，其它條件不變(如圖②)，若NABC=58°,貝叱。尸￡

=度.

圖①圖②

人教新版八年級下學期《第18章平行四邊形》2019年

單元測試卷

參考答案與試題解析

解答題（共50小題）

1.四邊形A2CD為正方形，點E為線段AC上一點，連接。E,過點E作EPLOE,交射線

8c于點兒以DE、EF為鄰邊作矩形。EFG,連接CG.

（1）如圖1,求證：矩形。E/G是正方形；

（2）若48=2,CE=V2>求CG的長度；

（3）當線段DE與正方形42。的某條邊的夾角是30°時，直接寫出NEFC的度數(shù).

【分析】（1）作EP1CD于P,EQ_L8C于。，證明RtAEQF咨RtAEPD,得到EF=ED,

根據(jù)正方形的判定定理證明即可；

（2）通過計算發(fā)現(xiàn)￡是AC中點，點廠與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即

可解決問題.

（3）分兩種情形考慮問題即可；

【解答】（1）證明：作EPJ_C。于P,EQ_L8C于Q,

,：ZDCA=ZBCA,

；.EQ=EP,

,：ZQEF+ZFEC^45°,ZPED+ZFEC=45°,

:./QEF=/PED,

在RtLEQF和RtAEPZ）中，

'NQEF=NPED

'EQ=EP，

kZEQF=ZEPD

RtAEQF^RtAEPD,

：.EF=ED,

矩形。EFG是正方形;

(2)如圖2中，在RtaABC中.AC=y[^B=2版,

???EC=亞，

J.AE^CE,

，點尸與C重合，此時△OCG是等腰直角三角形，易知CG=J]

圖2

(3)①當。E與的夾角為30°時，NEFC=120°,

②當。E與。C的夾角為30°時，NEFC=30°

綜上所述，ZEFC=120°或30°.

圖1

【點評】本題考查正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等

知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題.

2.如圖①，在正方形ABC。中，尸是對角線BD上的一點，點E在的延長線上，且PE

=PA,PE交CD于F.

(1)求證：PC=PE；

(2)求NCPE的度數(shù)；

(3)如圖②，把正方形ABCD改為菱形ABC。，其它條件不變，若NA2C=65°,則N

CPE=115度.

圖①圖②

【分析】(1)先證出△A2P絲△C3P,得B4=PC,由于E4=PE,得PC=PE；

(2)由△ABP0△CBP,得NBAP=NBCP,進而得NZMP=NOCP,由24=PC,得到

NDAP=/E,ZDCP=ZE,最后/CPF=/EDF=90°得到結論；

(3)由△QRl0ZYDPC,推出/ZMP=/OCP,PA=PC,推出PA=PE,推出/ZMP=

ZE,推出NE=NPCD,由NDFE=NCPP,推出NCPF=NEDF,由此即可解決問題;

【解答】解：(1)證明：在正方形A8CZ)中，AB=BC,

NABP=NCBP=45°,

在△ABP和△CBP中，

'AB=BC

<NABP=/CBP，

TB=PB

:.AABP2ACBP(SAS),

：.PA=PC,

\'PA=PE,

:.PC=PE；

(2)由(1)知，ZXAB尸出△CBP,

：.ZBAP=ZBCP,

：.ZDAP=ZDCP,

"：PA^PE,

：.ZDAP=ZE,

：.ZDCP=ZE,

,：/CFP=ZEFD(對頂角相等)，

，180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

即/。尸/=/瓦甲=90°；

(3)在菱形A8CD中，AD=DC,ZADP=ZCDP,DP=DP,

：./\DPA^/\DPC,

：.ZDAP=ZDCP,PA=PC,

；.NDAP=/E,

:./E=/PCD,

'：ZDFE=ZCFP,

：.ZCPF=ZEDF,

VZABC^ZA￡)C=65°,

；.NCPE=NEDF=180°-ZADC=115°

圖①圖②

【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，等腰三角

形的判定和性質，正確尋找全等三角形的條件是解題的關鍵.

圖1圖2圖3

(1)四邊形A3。是菱形嗎？為什么？

(2)如圖2,將△B￡?C沿射線8。方向平移到△2bDiG的位置，則四邊形ABCiDi是平

行四邊形嗎？為什么？

（3）在△BOC移動過程中，四邊形ABQOi有可能是矩形嗎？如果是，請求出點3移動

的距離（寫出過程）；如果不是，請說明理由（圖3供操作時使用）.

【分析】（1）根據(jù)四條邊都相等的四邊形ABC。是菱形證明即可；

（2）四邊形ABQO1是平行四邊形，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判

定即可；

（3）在△BDC移動過程中，四邊形ABCbDi有可能是矩形，此時此時，ZDiBCi=30°,

ZZ）iCiB=90°,G￡>i=l,利用在直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半即可

求出點B移動的距離.

【解答】解：（1）四邊形A3。是菱形；

理由如下：

?.?△48。和48。（7都是邊長為1的等邊三角形.

：.AB=AD=CD=BC=DB,

：.AB=AD^CD^BC,

四邊形ABC。是菱形；

（2）四邊形A8GD1是平行四邊形.

理由：=

：.AB//CxDi，

又?；4B=CbDi，

...四邊形ABCiOi是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

（3）四邊形42cbeh有可能是矩形.

此時，ZE>iBCi=30°,ZDiCiB=90o,G5=l

：.BDi=2,

：.BBX=\,

即點8移動的距離是1.

A

v圖1w圖2v圖3l

【點評】本題考查了等邊三角形的性質、菱形的判定和性質矩形的判定和性質以及直角

三角形的性質，掌握特殊平行四邊形的判定定理是解此題的關鍵.

4.△ABC中，點。是AC邊上■個動點，過點。作直線設MN交NBCA的平分

線于E,交/OCA的平分線于點?

（1）求證：EO=FO；

（2）當點。運動到何處時，四邊形AEC尸是矩形？并證明你的結論.

【分析】（1）由于CE平分/BC4,那么有Nl=/2,MMN//BC,利用平行線的性質有

N1=N3,等量代換有N2=N3,于OE=OC,同理OC=OE,于是OE=OF；

（2）OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是NBCA及其外

角的角平分線，易證/ECF是90°,從而可證四邊形AECf1是矩形.

【解答】（1）證明？如圖所示：：CE平分NBCA,

又,：MN〃BC,

.\Z1=Z3,

/.Z3=Z2,

：.EO=CO,

同理，F(xiàn)O=CO,

:.EO=FO；

(2)解：當點。運動到AC中點時，四邊形AEC尸是矩形;

理由如下：

：OA=OC,

四邊形AECF是平行四邊形，

是N2C4的外角平分線，

Z4=Z5,

又：N1=N2,

.*.Z1+Z5=Z2+Z4,

X".'Z1+Z5+Z2+Z4=18O°,

/.Z2+Z4=90o,

平行四邊形AECF是矩形.

【點評】本題考查了矩形判定，平行四邊形判定，平行線性質，角平分線定義的應用，

主要考查學生的推理能力.

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，/區(qū)4。的平分線與的延長線交于點E,與。C交于

點F.

(1)求證：CD=BE；

(2)若AB=4,點尸為DC的中點，DGLAE,垂足為G,且QG=1,求AE的長.

【分析】(1)由平行四邊形的性質和角平分線證出NBAE=NE.得出AB=BE,即可得

出結論；

(2)同(1)證出。4=。尸，由尸為。C中點，AB=CD,求出與。尸的長，得出三

角形尸為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為中點，在直角三角形AZJG中，由

與。G的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形尸與三

角形ECV全等，得出AF=E/，即可求出AE的長.

【解答】(1)證明：為的平分線，

：.ZDAE=ZBAE.

"/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,CD=AB.

：.ZDAE=ZE.

：.ZBAE=ZE.

:.AB=BE.

：.CD=BE.

(2)解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.CD//AB,

：.ZBAF^ZDFA.

：.ZDAF^ZDFA.

J.DA^DF.

為。C的中點，AB=4,

：.DF=CF=DA=2.

'：DG±AE,DG=1,

：.AG=GF.

:.AG=M-

：.AF=2AG=2y/3.

rZDAF=ZE

在小和△￡(7尸中，＜NADF=NECF，

,DF=CF

.?.△ADF段AECF(AAS).

：.AF=EF,

；.A￡=2AF=46.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三

角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題(2)

的關鍵.

6.如圖，在口428中，NABC的平分線交AD于點E,延長BE交C。的延長線于足

(1)若/歹=20°,求NA的度數(shù)；

(2)若AB=5,BC=8,CE±AD,求=ABC。的面積.

【分析】(1)由平行四邊形的性質和已知條件得出/AE8=/C8產(chǎn)，ZABE=ZF=20°,

證出/AEB=/ABE=20°,由三角形內(nèi)角和定理求出結果即可；

(2)求出。E,由勾股定理求出CE,即可得出結果.

【解答】解：(1)???四邊形ABCQ是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC=S,CD=AB=5,AB//CD,

：.ZAEB=ZCBF,ZABE=ZF=20°,

,/ZABC的平分線交AD于點E,

/ABE=/CBF,

：.ZAEB=ZABE=20°,

J.AE^AB,NA=(180°-20°-20°)+2=140°；

(2):AE=A2=5,AD=BC=8,CD=AB^5,

：.DE^AD-AE^3,

'：CE±AD,

22=22=4,

；?CE=7CD-DEV5-3

：.°ABCD的面積=AO?CE=8X4=32.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握

平行四邊形的性質，證出是解決問題的關鍵.

7.如圖：在平行四邊形48C。中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交8C于點E(尺規(guī)作

圖的痕跡保留在圖中了)，連接跖.

(1)求證：四邊形ABEF為菱形；

(2)AE,BF相交于點。，若BF=6,AB=5,求AE的長.

：F

?W'BAE。

【分析】(1)由尺規(guī)作尸的角平分線的過程可得，AB=AF,/BAE=/R1E,根據(jù)

平行四邊形的性質可得/剛E=/AEB,然后證明AF=BE,進而可得四邊形A8EF為平

行四邊形，再由AB=A尸可得四邊形ABE尸為菱形；

(2)根據(jù)菱形的性質可得AE1_BRB0=LFB=3,AE=2AO,利用勾股定理計算出AO

2

的長，進而可得AE的長.

【解答】(1)證明：由尺規(guī)作/BAF的角平分線的過程可得AB=AEZBAE=ZFAE,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.ZFAE=NAEB,

:./BAE=/AEB,

：.AB=BE,

：.BE=FA,

...四邊形ABEF為平行四邊形，

'：AB=AF,

四邊形48匹為菱形；

(2)解：：四邊形ABE尸為菱形，

C.AELBF,BO=LFB=3,AE=2AO,

2

在RtzMOB中，AO=J52_32=4,

.\AE=2AO=8.

【點評】此題主要考查了菱形的性質和判定，關鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是

菱形，菱形對角線互相垂直且平分.

8.如圖，在正方形ABC。中，點E,尸分別在邊AB,BC上,ZADE^ZCDF.

(1)求證：AE=CF；

(2)連接DB交EF于點。，延長0B至點G,使OG=OD,連接EG、FG,判斷四邊

形。EGP是怎樣的四邊形，并說明理由.

【分析】(1)證明△D4Eg△QCR根據(jù)全等三角形的性質證明；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得到DE=DF,證明DG是EF的垂直平分線，得到DE=

EG=GF=GF,證明結論.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。是正方形，

：.DA=DC,ZA=ZC=90°,

在△D4E和△QCF中，

'NADE=/CDF

，DA=DC，

LZA=ZC

：.^DAE^/\DCF,

：.AE=CF；

(2)四邊形DEGP是菱形，

△D4E絲△OCR

:.DE=DF,

'：AE=CF,

:.BE=BF,

：.DG是EF的垂直平分線，

:.GE=GF,

VOG=OD,DG±EF,

：.ED=EG,

：.DE=EG=GF=FD,

.??四邊形DEGF是菱形.

【點評】本題考查的是正方形的性質、菱形的判定、全等三角形的判定和性質，掌握相

關的性質定理和判定定理是解題的關鍵.

9.已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，點尸在邊BC上，且AE=CR作EG

//FH,分別與對角線8。交于點G、H,連接EH,FG.

(1)求證：ABFH沿4DEG；

(2)連接。E若BF=DF,則四邊形EGF”是什么特殊四邊形？證明你的結論.

【分析】(1)由平行四邊形的性質得出AD〃BC,AD=BC,OB=OD,由平行線的性質

得出NFBH=NEDG,/OHF=/OGE,得出尸=NDGE,求出BF=DE,由AAS

即可得出結論；

(2)先證明四邊形EGF”是平行四邊形，再由等腰三角形的性質得出EfUGH,即可得

出四邊形EGFH是菱形.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

：.ZFBH=NEDG,

"：AE=CF,

：.BF=DE,

,JEG//FH,

：.ZOHF=ZOGE,

：.ZBHF=NDGE,

在△8FW和△DEG中，

'NFBH=/EDG

<NBHF=/DGE，

LBF=DE

:.BFH咨ADEG(AAS)；

(2)解：四邊形EGFH是菱形；理由如下:

連接。F,設EF交BD于0.如圖所示：

由(1)得：BFHm4DEG,

：.FH=EG,

又,：EG〃FH,

，四邊形EGM是平行四邊形，

?：DE=BF,ZEOD=ZBOF,ZEDO=ZFBO,

：./\EDO^/\FBO,

：.OB=OD,

,:BF=DF,OB=OD,

：.EF1BD,

：.EF±GH,

...四邊形EGFH是菱形.

SF

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質，菱形的判定，等腰三角

形的性質，平行四邊形的性質和判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明

三角形全等是解決問題的關鍵.

10.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,是中線，E是的中點，過點A作A尸〃8C

交8E的延長線于凡連接CF.

(1)求證：AD=AF；

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AOC尸的形狀，并證明你的結論.

【分析】(1)由E是AD的中點，AF//BC,易證得△AEP之△。班，即可得

又由在△ABC中，ZBAC=90°,AD是中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一

半，即可證得AD=BO=C￡>=L?C,即可證得：AD=AF；

(2)由AP=BD=￡)C,AF//BC,可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB=AC,

根據(jù)三線合一的性質，可得AD_LBC,AD=DC,繼而可得四邊形AOCE是正方形.

【解答】⑴證明：

：.ZEAF=ZEDB,

是AO的中點，

：.AE=DE,

在△A￡F和△。防中，

'NEAF=/EDB

<AE=DE，

1ZAEF=ZDEB

:.AAEF絲ADEB(ASA),

：.AF=BD,

?.?在△ABC中，ZBAC=9Q°,AD是中線，

AD=BD=DC=LBC,

2

：.AD=AF；

(2)解：四邊形AZJCb是正方形.

"：AF=BD=DC,AF//BC,

四邊形ADCF是平行四邊形，

"：AB=AC,AO是中線，

：.AD±BC,

\'AD=AF,

四邊形AOb是正方形.

【點評】此題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與

性質.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.

11.【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABC。的外側，作兩個等邊三角形A8E和ADR連結

ED與FC交于點M,則圖中可知磯>=尸。，求得N￡)MC=90°.

【拓展應用】如圖②，在矩形ABC。(AB>BC)的外側，作兩個等邊三角形A3E和AOR

連結即與歹C交于點

(1)求證：ED=FC.

(2)若/AOE=20°,求/OWC的度數(shù).

F

【分析】閱讀發(fā)現(xiàn)：只要證明/。尸。=/。。尸=/24。石=/4或)=15°,即可證明.

拓展應用：(1)欲證明皮)=FC,只要證明△AOE/即可.

(2)根據(jù)/?！?。=/立小什/。b。=//。4+/40￡+/。/。即可計算.

【解答】解：如圖①中，???四邊形A8CQ是正方形，

：.AD=AB=CD,ZAZ)C=90°,

AADEmADFC,

：.DF=CD=AE=AD,

9：ZFDC=60°+90°=150°,

：.ZDFC=ZDCF=ZADE=ZAED=15°,

：.ZFDE=60°+15°=75°,

：.ZMFD+ZFDM=90°,

：.ZFMD=90°,

故答案為90°

(1).「△ABE為等邊三角形，

???NEA3=60°,EA=AB.

???△A。/為等邊三角形，

：.ZFDA=60°,AD=FD.

???四邊形ABC。為矩形，

：.ZBAD=ZADC=90°,DC=AB.

：.EA=DC.

VZEAD=ZEAB+ZBAD=150°,ZCDF=ZFDA-^-ZADC=150°,

：.ZEAD=ZCDF.

在△EAO和△CDb中,

AE=CD

<ZEAD=ZFDC>

,AD=DF

：.ED=FC；

(2)'：/\EAD^/\CDF,

；./ADE=/DFC=20°,

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、正方形的性質、矩形的性質等知識，解題

的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的尋找解決問題，屬于中考?？碱}型.

12.已知：如圖，口42。￡)中，。是CD的中點，連接A。并延長，交BC的延長線于點E.

(1)求證：△A。。g△EOC；

(2)連接AC,DE,當45°和44匹=45°時，四邊形ACED是正方形？

【分析】(1)首先根據(jù)。是CD的中點，可得。0=C。，再證明/D=NOCE,然后可

利用ASA定理證明△AOOg/XEOC；

(2)當N2=45°和/A￡B=45°時，四邊形ACED是正方形；首先證明/BAE=90°,

然后證明AC是8E邊上的中線，根據(jù)直角三角形的性質可得4C=CE,然后利用等腰三

角形的性質證明ACL3E,可得結論.

【解答】(1)證明：是C。的中點，

C.DO^CO,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AD//BC,

:./D=/OCE,

，ZD=ZOCE

在△ADO和△ECO中，DO=CO

,ZA0D=ZC0E

AAOD^AEOC(ASA)；

(2)解：當/B=45°和/AEB=45°時，四邊形ACED是正方形,

VZB=45°和NA匹=45,,

/.ZBAE=90°,

,/△40。絲△EOC,

：.AO=EO,

:。。=CO,

.??四邊形ACED是平行四邊形，

J.AD^CE,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,

:.BC=CE,

'：ZBAE=90°,

：.AC=CE,

平行四邊形ACE。是菱形，

?；/B=/AEB,BC=