PAGEPAGE167．3組合第一課時組合與組合數(shù)公式及其性質(zhì)[讀教材·填要點]1．組合從n個不同的元素中取出m(m≤n)個不同的元素，不論次序地構(gòu)成一組，稱為一個組合，我們用符號Ceq\o\al(m,n)表示全部不同的組合個數(shù)，稱Ceq\o\al(m,n)為從n個不同的元素中取m個元素的組合數(shù)．2．組合數(shù)有關(guān)公式(1)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！),0≤m≤n.(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！),0≤m≤n.3．組合數(shù)的性質(zhì)(1)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，(2)假如Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(k,n)，則m＝k或者m＝n－k，(3)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).[小問題·大思維]1．“abc”和“acb”是相同的排列還是相同的組合？提示：由于“abc”與“acb”的元素相同，但排列的依次不同，所以“abc”與“acb”是相同的組合，但不是相同的排列．2．如何區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題？提示：區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素是否與依次有關(guān)，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換隨意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題．3．“組合”和“組合數(shù)”是同一個概念嗎？有什么區(qū)分？提示：“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)，而是詳細(xì)的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù).組合的概念[例1]推斷下列問題是排列問題，還是組合問題．(1)從1,2,3，…，9九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1,2,3，…，9九個數(shù)字中任取3個，然后把這三個數(shù)字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？(3)從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作，有多少種不同的選法？[解](1)當(dāng)取出3個數(shù)字后，假如變更3個數(shù)字的依次，會得到不同的三位數(shù)，此問題不但與取出元素有關(guān)，而且與元素的支配依次有關(guān)，是排列問題．(2)取出3個數(shù)字之后，無論怎樣變更這3個數(shù)字的依次，其和均不變，此問題只與取出元素有關(guān)，而與元素的支配依次無關(guān)，是組合問題．(3)兩名學(xué)生完成的是同一份工作，沒有依次，是組合問題．區(qū)分排列與組合的方法區(qū)分排列與組合的方法是首先弄清晰事務(wù)是什么，區(qū)分的標(biāo)記是有無依次，而區(qū)分有無依次的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果解出來，然后交換這個結(jié)果中隨意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變更，若有新變更，即說明有依次，是排列問題；若無新變更，即說明無依次，是組合問題．1．推斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)設(shè)集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？(2)某鐵路途上有5個車站，則這條線上共需打算多少種車票？多少種票價？(3)3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？(4)把3本相同的書分給5個學(xué)生，每人最多得1本，有幾種安排方法？解：(1)因為本問題與元素依次無關(guān)，故是組合問題．(2)因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價與依次無關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題．(3)因為一種分工方法是從5種不同的工作中取出3種，按確定次序分給3個人去干，故是排列問題．(4)因為3本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的依次，故是組合問題．組合數(shù)公式及其性質(zhì)應(yīng)用[例2](1)求值：Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)；(2)求證：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n－m)Ceq\o\al(m＋1,n).[解](1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－n≤n，,5－n≥0，,9－n≤n＋1，,9－n≥0，))解得4≤n≤5.又因為n∈N＋，所以n＝4或n＝5.當(dāng)n＝4時，原式＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5，當(dāng)n＝5時，原式＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.(2)證明：因為Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)，eq\f(m＋1,n－m)Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(m＋1,m＋1！)·eq\f(n！,n－mn－m－1！)＝eq\f(n！,m！n－m！)，所以Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n－m)Ceq\o\al(m＋1,n).關(guān)于組合數(shù)公式的選取技巧(1)涉及詳細(xì)數(shù)字的可以干脆用eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(n－1！,m！n－1－m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n)進行計算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)計算．(3)計算時應(yīng)留意利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運算．2．(1)計算Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(98,100)·Ceq\o\al(7,7)；(2)計算Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)；(3)解方程：Ceq\o\al(x2－x,16)＝Ceq\o\al(5x－5,16)；(4)解不等式：Ceq\o\al(m－4,m)＞Ceq\o\al(m－6,m－1)＋Ceq\o\al(6,m－1).解：(1)原式＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,100)×1＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＋eq\f(100×99,2×1)＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32.(3)∵Ceq\o\al(x2－x,16)＝Ceq\o\al(5x－5,16)，∴x2－x＝5x－5①或x2－x＋5x－5＝16.②解①得x＝1或x＝5.解②得x＝3或x＝－7.經(jīng)檢驗知，原方程的解是x＝1或x＝3.(4)原不等式可化為Ceq\o\al(4,m)＞Ceq\o\al(5,m－1)＋Ceq\o\al(6,m－1)，即Ceq\o\al(4,m)＞Ceq\o\al(6,m)，∴eq\f(m！,4！m－4！)＞eq\f(m！,6！m－6！).∴30＞(m－4)(m－5)．即m2－9m－10＜0，∴－1＜m＜10.又∵m≥7且m∈N*，∴m＝7或8或9.組合的簡潔應(yīng)用[例3]在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參與市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)隨意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參與；(3)甲、乙、丙三人不能參與；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與．[解](1)Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法；(2)甲、乙、丙三人必需參與，只需從另外的9人中選2人，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法；(3)甲、乙、丙三人不能參與，只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與，分兩步，先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3種選法，再從另外的9人中選4人有Ceq\o\al(4,9)種選法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378種不同的選法．解簡潔的組合應(yīng)用題，只需依據(jù)組合的定義，干脆列出組合數(shù)即可，留意分清元素的總個數(shù)及取出元素的個數(shù)，必要時，須要分清完成一件事情須要分類還是分步．在分類和分步時，留意有無重復(fù)或遺漏．3．現(xiàn)有10名老師，其中男老師6名，女老師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參與會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男老師或2名女老師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？(3)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參與會議，有多少種不同的選法？解：(1)從10名老師中選2名去參與會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類狀況：第1類，選出的2名是男老師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第2類，選出的2名是女老師有Ceq\o\al(2,4)種方法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝15＋6＝21種不同的選法．(3)分步：首先從6名男老師中任選2名，有Ceq\o\al(2,6)種選法，再從4名女老師中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所以共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝90種不同的選法.解題高手妙解題化簡：Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,5)＋…＋Aeq\o\al(2,100).[嘗試][巧思]由于Aeq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(2,n)·Aeq\o\al(2,2)(n≥2)，所以原式可變形為(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100))·Aeq\o\al(2,2)，然后利用組合數(shù)性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)求解即可．[妙解]原式＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＋…＋Ceq\o\al(2,100)Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,100))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)…＝(Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,101)－1)·Aeq\o\al(2,2)＝2Ceq\o\al(3,101)－2＝333298.1．以下四個問題，屬于組合問題的是()A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)支配為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D．從13位司機中任選出兩位開兩輛車從甲地到乙地解析：選C由組合的定義可知，選項C屬于組合問題．2．已知Ceq\o\al(2,n)＝10，則n的值為()A．10 B．5C．3 D．4解析：選B∵Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn－1,2×1)＝10，∴n＝5(n＝－4舍去)．3．異面直線a，b上分別有4個點和5個點，由這9個點可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A．20 B．9C．Ceq\o\al(3,9) D．Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)解析：選B分兩類：第一類，在直線a上任取一點，與直線b可確定Ceq\o\al(1,4)個平面；其次類，在直線b上任取一點，與直線a可確定Ceq\o\al(1,5)個平面．故可確定Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)＝9個不同的平面．4．若Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，則n＝________.解析：由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！).整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.答案：7或145．從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積；任取兩個不同的數(shù)相除，有n個不同的商，則m∶n＝________.解析：∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．已知6Ceq\o\al(x－7,x－3)＝10Aeq\o\al(2,x－4)，求x的值．解：原方程變?yōu)閑q\f(6x－3！,x－7！x－3－x＋7！)＝eq\f(10x－4！,x－4－2！)(x＞7)，即x2－9x－22＝0.解得x1＝11，x2＝－2(舍去)，所以x的值為11.一、選擇題1．計算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝()A．120 B．240C．60 D．480解析：選ACeq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝eq\f(7×8,2×1)＋eq\f(6×7×8,3×2×1)＋eq\f(8×9,2×1)＝120.2．已知平面內(nèi)A、B、C、D這4個點中任何3點不共線，則由其中每3點為頂點的全部三角形的個數(shù)為()A．3 B．4C．12 D．24解析：選B由于與依次無關(guān)，所以是組合問題，共有Ceq\o\al(3,4)＝4個．3．將2名老師、4名學(xué)生分成2個小組，分別支配到甲、乙兩地參與社會實踐活動，每個小組由1名老師和2名學(xué)生組成，不同的支配方案共有()A．12種 B．10種C．9種 D．8種解析：選A先支配1名老師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名老師和2名學(xué)生支配到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種支配方案．4．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)須要從中選出6名成員組成考察團外出參觀學(xué)習(xí)，假如按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則此考察團的組成方法種數(shù)是()A．Ceq\o\al(3,10)Ceq\o\al(3,5) B．Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)C．Ceq\o\al(5,15) D．Aeq\o\al(4,10)Aeq\o\al(2,5)解析：選B按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)種抽法．二、填空題5．若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，則n＝________.解析：Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，即Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.答案：146．過三棱柱隨意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有__________對．解析：三棱柱共6個頂點，由此6個頂點可組成Ceq\o\al(4,6)－3＝12個不同四面體，而每個四面體有三對異面直線則共有12×3＝36對．答案：367．對全部滿意1≤m≤n≤5的自然數(shù)m、n，方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1所表示的不同橢圓的個數(shù)為________．解析：∵1≤m≤n≤5，∴Ceq\o\al(m,n)有Ceq\o\al(1,2)，Ceq\o\al(1,3)，Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)，Ceq\o\al(2,4)，Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)，Ceq\o\al(2,5)，Ceq\o\al(3,5)，Ceq\o\al(4,5)共10個．其中Ceq\o\al(1,3)＝Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)＝Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(4,5)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,5)，所以x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1能表示的不同橢圓有6個．答案：68．不等式Ceq\o\al(2,n)－n<5的解集為________．解析：由Ceq\o\al(2,n)－n<5，得eq\f(nn－1,2)－n<5，∴n2－3n－10<0.解得－2<n<5.由題設(shè)條件知n≥2，且n∈N＋，∴n＝2,3,4.故原不等式的解集為{2,3,4}．答案：{2,3,4}三、解答題9．(1)解方程：Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)；(2)解不等式：Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8).解：(1)原方程等價于m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，∴4＝m－3，m＝7.(2)由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤8，,x≤8，))∴x≤8，且x∈N＋，∵Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8)，∴eq\f(8！,x－1！9－x！)>eq\f(3×8！,x！8－x！).即eq\f(1,9－x)>eq\f(3,x)，∴x>3(9－x)，解得x>eq\f(27,4)，∴x＝7,8.∴原不等式的解集為{7,8}．10．袋中裝有大小相同標(biāo)號不同的白球4個，黑球5個，從中任取3個球．(1)共有多少種不同結(jié)果？(2)取出的3球中有2個白球，1個黑球的結(jié)果有幾個？(3)取出的3球中至少有2個白球的結(jié)果有幾個？解：(1)從4個白球，5個黑球中任取3個的全部結(jié)果有Ceq\o\al(3,9)＝84個不同結(jié)果．(2)設(shè)“取出3球中有2個白球，1個黑球”的全部結(jié)果組成的集合為A，A所包含的種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5).所以共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝30種不同的結(jié)果．(3)設(shè)“取出3球中至少有2個白球”的全部結(jié)果組成集合為B，B包含的結(jié)果數(shù)是Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5).所以共有Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝34種不同的結(jié)果．其次課時組合的綜合應(yīng)用有限制條件的組合問題[例1]某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名組成醫(yī)療小組到社區(qū)義診，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？[解](1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再從除去外科專家的6名專家中任選4名，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90(種)抽調(diào)方法．(2)“至少”的含義是“不低于”，有兩種解答方法：法一(干脆法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名外科專家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名外科專家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)種選法；依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185(種)抽調(diào)方法．法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有Ceq\o\al(6,10)種選法．考慮選取1名外科專家參與，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；考慮沒有外科專家參與，有Ceq\o\al(6,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185(種)抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種狀況，分類解答：①沒有外科專家參與，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名外科專家參與，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法．③有2名外科專家參與，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115(種)抽調(diào)方法．保持例題條件不變，求恰有1名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？解：恰有1名外科專家指：1名外科專家和5名非外科專家，故有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＝4×6＝24種不同的抽調(diào)方法．解答有限制條件的組合問題的基本方法是“干脆法”和“間接法(解除法)”，其中用干脆法求解時，應(yīng)依據(jù)“特殊元素優(yōu)先支配”的原則，即優(yōu)先支配特殊元素，再支配其他元素．而選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問題分類較多、較困難或計算量較大時，不妨從反面問題入手，試一試看是否簡潔些，特殊是涉及“至多”、“至少”等組合問題時更是如此．此時正確理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等詞語的準(zhǔn)確含義是解決這些組合問題的關(guān)鍵．1．課外活動小組共13人，其中男生8名，女生5名，并且男、女生各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩名隊長當(dāng)選；(3)至少有一名隊長當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選；(5)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選．解：(1)一名女生，四名男生，故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350(種)選法．(2)將兩名隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165(種)選法．(3)干脆法：至少有一名隊長當(dāng)選含有兩類狀況：只有一名隊長當(dāng)選和兩名隊長都當(dāng)選，故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825(種)選法．間接法：共有Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種)選法．(4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類狀況：有兩名女生當(dāng)選，只有一名女生當(dāng)選，沒有女生當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(種)選法．(5)分兩類：第一類女隊長當(dāng)選：Ceq\o\al(4,12)種；其次類女隊長不當(dāng)選：(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4))種．故共有Ceq\o\al(4,12)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝790(種)選法.幾何問題中的組合問題[例2]平面上有9個點，其中有4個點共線，除此外無3點共線．(1)經(jīng)過這9個點，可確定多少條直線？(2)以這9個點為頂點，可確定多少個三角形？(3)以這9個點為頂點，可以確定多少個四邊形？[解]法一：(干脆法)(1)可確定直線Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝31(條)．(2)可確定三角形Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝80(個)．(3)可確定四邊形Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝105(個)．法二：(間接法)(1)可確定直線Ceq\o\al(2,9)－Ceq\o\al(2,4)＋1＝31(條)(2)可確定三角形Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,4)＝80(個)．(3)可確定四邊形Ceq\o\al(4,9)－Ceq\o\al(4,4)－Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝105(個)．解答幾何組合應(yīng)用題的思索方法與一般的組合應(yīng)用題基本一樣，只要把圖形隱含的條件視為組合應(yīng)用題的限制條件即可．計算時可用干脆法，也可用間接法，要留意在限制條件較多的狀況下，須要分類計算符合題意的組合數(shù)．2．已知M，N是兩個平行平面，在M內(nèi)取4個點，在N內(nèi)取5個點，這9個點中再無其他4點共面，則(1)這些點最多能確定幾個平面？(2)以這些點為頂點，能作多少個三棱錐？解：法一：干脆法：(1)在平面M內(nèi)取2個點有Ceq\o\al(2,4)種方法，在平面N內(nèi)取1個點有Ceq\o\al(1,5)種方法，這3個點確定不共線，可構(gòu)成Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)個平面；在平面M內(nèi)取1個點，在平面N內(nèi)取2個點，可構(gòu)成Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)個平面，再有就是M、N這兩個平面．共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋2＝72個平面；(2)在平面M內(nèi)取3個點有Ceq\o\al(3,4)種方法，在平面N內(nèi)取1個點有Ceq\o\al(1,5)種方法，這4個點可構(gòu)成Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)個三棱錐；在平面M內(nèi)取2個點，在平面N內(nèi)取2個點；還可以在平面M內(nèi)取1個點，在平面N內(nèi)取3個點．可構(gòu)成Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝120個三棱錐．法二：解除法：(1)從9個點中任取3個點的方法有Ceq\o\al(3,9)種，其中從平面M內(nèi)4個點中任取3個點，即Ceq\o\al(3,4)種，從平面N內(nèi)5個點中任取3個點，即Ceq\o\al(3,5)種，這Ceq\o\al(3,4)及Ceq\o\al(3,5)表示的都僅僅是平面M及平面N.能構(gòu)成Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,5)＋2＝72個平面；(2)從9個點中任取4個點的方法Ceq\o\al(4,9)中去掉從平面M內(nèi)4個點取4個及從平面N內(nèi)5個點任取4個點這兩類構(gòu)不成三棱錐(僅是平面M或平面N)的狀況．能構(gòu)成Ceq\o\al(4,9)－Ceq\o\al(4,4)－Ceq\o\al(4,5)＝120個三棱錐．排列與組合的綜合應(yīng)用[例3]有5個男生和3個女生，從中選出5人擔(dān)當(dāng)5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必需少于男生；(2)某女生確定擔(dān)當(dāng)語文科代表；(3)某男生必需包括在內(nèi)，但不擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)科代表；(4)某女生確定要擔(dān)當(dāng)語文科代表，某男生必需擔(dān)當(dāng)科代表，但不擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)科代表．[解](1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種，后排有Aeq\o\al(5,5)種，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400種．(2)除去該女生后，先選后排有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840種．(3)先選后排，但先支配該男生有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種，再支配該男生有Ceq\o\al(1,3)種，其余3人全排有Aeq\o\al(3,3)種，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360種．解決排列、組合綜合問題要遵循兩個原則：(1)按事情發(fā)生的過程進行分步；(2)按元素的性質(zhì)進行分類．解決時通常從三個途徑考慮；①以元素為主考慮，即先滿意特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿意特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)．3．有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)．(1)共有幾種放法？(2)恰有1個空盒，有幾種放法？(3)恰有2個盒子不放球，有幾種放法？解：(1)44＝256(種)．(2)先從4個小球中取2個放在一起，有Ceq\o\al(2,4)種不同的取法，再把取出的兩個小球與另外2個小球看作三堆，并分別放入4個盒子中的3個盒子里，有Aeq\o\al(3,4)種不同的放法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的放法共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(種)．(3)恰有2個盒子不放球，也就是把4個不同的小球只放入2個盒子中，有兩類放法；第一類，1個盒子放3個小球，1個盒子放1個小球，先把小球分組，有Ceq\o\al(3,4)種，再放到2個小盒中有Aeq\o\al(2,4)種放法，共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)種放法；其次類，2個盒子中各放2個小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種放法，故恰有2個盒子不放球的方法共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84(種)．解題高手多解題用0到9這10個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中含3個奇數(shù)與2個偶數(shù)的五位數(shù)有多少個？[解]法一：干脆法把從5個偶數(shù)中任取2個分為兩類：(1)不含0的：由3個奇數(shù)和2個偶數(shù)組成的五位數(shù)，可分兩步進行：第1步，選出3奇2偶的數(shù)字，方法有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)種；第2步，對選出的5個數(shù)字全排列有Aeq\o\al(5,5)種方法．故全部適合條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)個．(2)含有0的：這時0只能排在除首位(萬位)以外的四個位置中的一個，有Aeq\o\al(1,4)種排法；再從2,4,6,8中任取一個，有Ceq\o\al(1,4)種取法，從5個奇數(shù)數(shù)字中任取3個，有Ceq\o\al(3,5)種取法，再把取出的4個數(shù)全排列有Aeq\o\al(4,4)種方法，故有Aeq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)種排法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝11040個符合要求的數(shù)．法二：間接法假如對0不限制，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)種，其中0居首位的有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種．故共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝11040個符合條件的數(shù)．1．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有()A．36種 B．48種C．96種 D．192種解析：選C完成這件事情可用分步計數(shù)原理，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,4)＝96種．2．某中學(xué)從4名男生和3名女生中舉薦4人參與社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有()A．140種 B．120種C．35種 D．34種解析：選D若選1男3女有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)＝4種；若選2男2女有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＝18種；若選3男1女有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝12種，所以共有4＋18＋12＝34種不同的選法．3．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A．30種 B．35種C．42種 D．48種解析：選A法一：選修1門A類，2門B類課程的選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)種；選修2門A類，1門B類的課程的選法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)種．故選法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30(種)．法二：從7門選修課中選修3門的選法有Ceq\o\al(3,7)種，其中3門課都為A類的選法有Ceq\o\al(3,3)種，都為B類的選法有Ceq\o\al(3,4)種，故選法共有Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(3,4)＝30(種)．4．7名志愿者中支配6人在周六、周日兩天參與社區(qū)公益活動．若每天支配3人，則不同的支配方案共有________種(用數(shù)字作答)．解析：第1步，從7名志愿者中選出3人在周六參與社區(qū)公益活動，有Ceq\o\al(3,7)種不同的選法；第2步，從余下的4人中選出3人在周日參與社區(qū)公益活動，有Ceq\o\al(3,4)種不同的選法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(3,4)＝140種不同的支配方案．答案：1405．從4臺甲型和5臺乙型電視機中任選3臺，其中至少有甲型和乙型電視各一臺，則不同的取法有______種．解析：分為兩類：第一類，選出的3臺電視機有2臺甲型1臺乙型有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)種選法；其次類，選出的3臺電視機有1臺甲型2臺乙型有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)種選法；依據(jù)分類加法計數(shù)原理共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＝70種．答案：706．某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選法？解：分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，此時選法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,6)＝75(種)；其次類，選的4名鉗工中有1名“多面手”，此時選法為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,5)＝100(種)；第三類，選的4名鉗工中有2名“多面手”，此時選法為Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＝10(種)．由分類加法計數(shù)原理，得不同的選法共有75＋100＋10＝185(種)．一、選擇題1．某班共有10名任課老師，其中4名男老師，6名女老師．老師節(jié)這天要表彰一位男老師和一位女老師，不同的表彰方法有()A．12種 B．30種C．15種 D．24種解析：選D分兩步：第一步先選女老師，有Ceq\o\al(1,6)種選法；其次步選男老師，有Ceq\o\al(1,4)種選法，共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4)＝24種選法．2．以一個正三棱柱的頂點為頂點的四面體有()A．6個 B．12個C．18個 D．30個解析：選B從6個頂點中任取4個有Ceq\o\al(4,6)＝15種取法，其中四點共面的有3個，所以滿意題意的四面體有15－3＝12個．3．將5名同學(xué)分成甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同分組方案的種數(shù)為()A．180 B．120C．80 D．60解析：選C由題意可得不同的組合方案種數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＝80.4．某中學(xué)從4名男生和3名女生中舉薦4人參與某高校自主招生考試，若這4人中必需既有男生又有女生，則不同的選法共有()A．140種 B．120種C．35種 D．34種解析：選D從7人中選4人，共有Ceq\o\al(4,7)＝35種選法，4人全是男生的選法有Ceq\o\al(4,4)＝1種．故4人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為35－1＝34.二、填空題5．從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參與公益活動，每人一天，要求星期五有一人參與，星期六有兩人參與，星期日有一人參與，則不同的選派方法共有________種．解析：5人中選4人則有Ceq\o\al(4,5)種，周五一人有Ceq\o\al(1,4)種，周六兩人則有Ceq\o\al(2,3)，周日則有Ceq