2025-2026學(xué)年21.1一元二次方程教案學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容為《一元二次方程》。教材章節(jié)包括：一元二次方程的定義、解法（公式法、配方法、因式分解法）、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握一元二次方程的基本概念和解法，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。學(xué)生將通過(guò)探索一元二次方程的特點(diǎn)和解法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力；通過(guò)推理和解題過(guò)程，提升邏輯推理能力；通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建模，鍛煉數(shù)學(xué)建模能力；通過(guò)圖形和方程的直觀關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象能力；通過(guò)公式法和因式分解等運(yùn)算，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；通過(guò)分析方程根的性質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)，①

①理解一元二次方程的定義，明確其一般形式和系數(shù)的意義；

②掌握一元二次方程的解法，包括公式法、配方法和因式分解法，并能靈活運(yùn)用；

③理解并應(yīng)用根的判別式，判斷一元二次方程根的情況；

④掌握根與系數(shù)的關(guān)系，能夠利用系數(shù)關(guān)系求解特定條件下的方程。

2.教學(xué)難點(diǎn)，①

①理解并掌握配方法和因式分解法的適用條件和具體步驟，能夠正確操作；

②在解一元二次方程時(shí)，能夠根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法，避免錯(cuò)誤；

③理解并應(yīng)用根的判別式，區(qū)分一元二次方程的根的情況，包括實(shí)根和復(fù)根；

④在解決實(shí)際問(wèn)題中，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)解決問(wèn)題。教學(xué)資源-硬件資源：投影儀、白板、計(jì)算器、學(xué)生用草稿本。

-課程平臺(tái)：班級(jí)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)或在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)。

-信息化資源：多媒體教學(xué)課件、在線數(shù)學(xué)教育軟件、一元二次方程相關(guān)教學(xué)視頻。

-教學(xué)手段：實(shí)物演示、板書教學(xué)、小組討論、課堂練習(xí)、數(shù)學(xué)游戲等。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念——一元二次方程。在學(xué)習(xí)之前，請(qǐng)大家回憶一下，我們之前學(xué)習(xí)過(guò)哪些方程？它們有什么特點(diǎn)呢？（學(xué)生回答：一元一次方程、二元一次方程等，都有唯一解，并且解是實(shí)數(shù)。）那么，今天我們要學(xué)習(xí)的一元二次方程，又是怎樣的一個(gè)方程呢？讓我們一起揭開(kāi)這個(gè)數(shù)學(xué)之謎。

2.新課探究

（1）引入一元二次方程

首先，我們來(lái)探究一元二次方程的定義。請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)課本，閱讀21.1節(jié)的定義部分，思考以下問(wèn)題：

①一元二次方程的一般形式是怎樣的？

②一元二次方程的系數(shù)有哪些？

③一元二次方程的解是什么樣的？

請(qǐng)同學(xué)們小組討論，并選出代表回答問(wèn)題。（學(xué)生回答：一元二次方程的一般形式為ax^2+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c是系數(shù)，x是未知數(shù)，方程的解是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。）

（2）一元二次方程的解法

①公式法：一元二次方程的解可以用公式直接求出。

②配方法：通過(guò)配方法，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，然后求解。

③因式分解法：通過(guò)因式分解，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，然后求解。

請(qǐng)同學(xué)們先閱讀課本，再跟隨我的講解，嘗試掌握這三種解法。

首先，我們來(lái)看公式法。請(qǐng)同學(xué)們跟隨課本，了解一元二次方程的求根公式。接下來(lái)，我將通過(guò)一個(gè)例子，展示如何運(yùn)用公式法求解一元二次方程。

例子：求解方程2x^2+5x-3=0。

解：根據(jù)公式法，我們先計(jì)算判別式Δ=b^2-4ac=5^2-4×2×(-3)=49。由于Δ>0，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

然后，我們計(jì)算根的值：

x1=(-b+√Δ)/(2a)=(-5+√49)/(2×2)=-3/2，

x2=(-b-√Δ)/(2a)=(-5-√49)/(2×2)=1/2。

所以，方程2x^2+5x-3=0的解為x1=-3/2，x2=1/2。

例子：求解方程x^2-4x+4=0。

解：首先，我們將方程x^2-4x+4=0寫成(x^2-4x+4)=0的形式。

然后，我們將方程左邊的三項(xiàng)進(jìn)行配方，得到(x-2)^2=0。

最后，我們解方程x-2=0，得到x1=x2=2。

所以，方程x^2-4x+4=0的解為x1=x2=2。

最后，我們學(xué)習(xí)因式分解法。請(qǐng)同學(xué)們跟隨課本，了解因式分解法的步驟。然后，我將通過(guò)一個(gè)例子，展示如何運(yùn)用因式分解法求解一元二次方程。

例子：求解方程x^2-5x+6=0。

解：首先，我們觀察方程x^2-5x+6=0，發(fā)現(xiàn)它的兩項(xiàng)可以分解為(x-2)(x-3)。

然后，我們將方程x^2-5x+6=0寫成(x-2)(x-3)=0的形式。

最后，我們解方程x-2=0和x-3=0，得到x1=2，x2=3。

所以，方程x^2-5x+6=0的解為x1=2，x2=3。

（3）一元二次方程的根的判別式

一元二次方程的根的判別式是一個(gè)非常重要的概念。它可以幫助我們判斷一元二次方程的根的情況。請(qǐng)同學(xué)們跟隨課本，了解以下內(nèi)容：

①根的判別式的定義：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式Δ=b^2-4ac。

②根的判別式的性質(zhì)：當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

請(qǐng)同學(xué)們先閱讀課本，再跟隨我的講解，掌握根的判別式的定義和性質(zhì)。

例子：判斷方程3x^2+4x+2=0的根的情況。

解：首先，我們計(jì)算判別式Δ=b^2-4ac=4^2-4×3×2=-8。

由于Δ<0，所以方程3x^2+4x+2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

（4）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也是一個(gè)非常重要的概念。它可以幫助我們更好地理解一元二次方程的根。請(qǐng)同學(xué)們跟隨課本，了解以下內(nèi)容：

①根與系數(shù)的關(guān)系的定義：一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個(gè)根x1和x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系為x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a。

②根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)：請(qǐng)同學(xué)們跟隨課本，了解根與系數(shù)的關(guān)系是如何推導(dǎo)出來(lái)的。

請(qǐng)同學(xué)們先閱讀課本，再跟隨我的講解，掌握根與系數(shù)的關(guān)系的定義和推導(dǎo)。

例子：求解方程2x^2-5x+3=0，并驗(yàn)證根與系數(shù)的關(guān)系。

解：首先，我們求解方程2x^2-5x+3=0的根。通過(guò)因式分解法，我們得到方程的兩個(gè)根為x1=1，x2=3/2。

然后，我們驗(yàn)證根與系數(shù)的關(guān)系。計(jì)算x1+x2=1+3/2=5/2，x1×x2=1×3/2=3/2。

由于x1+x2=-b/a=-(-5)/2=5/2，x1×x2=c/a=3/2，所以方程2x^2-5x+3=0的根與系數(shù)的關(guān)系成立。

3.鞏固練習(xí)

為了幫助同學(xué)們更好地掌握本節(jié)課的內(nèi)容，我們來(lái)進(jìn)行一些鞏固練習(xí)。

（1）選擇題

1.一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的判別式Δ=b^2-4ac，下列說(shuō)法正確的是（）。

A.Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；Δ<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

B.Δ>0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；Δ=0，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；Δ<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

C.Δ>0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；Δ=0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；Δ<0，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

D.Δ>0，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；Δ=0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；Δ<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

2.若方程2x^2-3x+1=0的判別式Δ=9，則方程的解是（）。

A.x1=2，x2=1/2

B.x1=1，x2=2

C.x1=1/2，x2=2

D.x1=2，x2=1

（2）填空題

1.一元二次方程x^2-6x+9=0的解是_________。

2.一元二次方程x^2-3x+2=0的根的乘積是_________。

3.若方程3x^2+4x-3=0的根是x1和x2，則x1+x2=_________，x1×x2=_________。

4.判斷下列方程是否有實(shí)數(shù)根：①x^2+2x-3=0；②x^2+2x+3=0。

（3）解答題

1.求解方程x^2-4x+4=0，并寫出其解法。

2.求解方程x^2-3x-4=0，并判斷其根的情況。

4.一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x1和x2，已知x1+x2=2，x1×x2=3，求方程的解。

4.總結(jié)與反思

①一元二次方程的定義、解法（公式法、配方法、因式分解法）、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系。

②一元二次方程的解可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。

③通過(guò)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以更好地理解一元二次方程的根。

請(qǐng)同學(xué)們回顧一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，總結(jié)一下自己的收獲，并思考以下問(wèn)題：

①你覺(jué)得哪種解一元二次方程的方法最簡(jiǎn)單？為什么？

②你在解題過(guò)程中遇到過(guò)哪些困難？你是如何克服的？

③你認(rèn)為一元二次方程在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？

同學(xué)們，今天的學(xué)習(xí)就到這里，希望大家課后能夠認(rèn)真復(fù)習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。我們下節(jié)課再見(jiàn)！學(xué)生學(xué)習(xí)效果六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果

1.知識(shí)掌握程度

學(xué)生能夠熟練掌握一元二次方程的定義、一般形式、系數(shù)的意義以及解法（公式法、配方法、因式分解法）。他們能夠根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求解，并能正確計(jì)算出方程的根。

2.解題能力提升

學(xué)生在解決一元二次方程問(wèn)題時(shí)，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用公式法、配方法和因式分解法，提高了解題的準(zhǔn)確性和效率。他們能夠根據(jù)方程的特點(diǎn)和條件，快速找到解題思路，避免了錯(cuò)誤。

3.數(shù)學(xué)思維發(fā)展

4.應(yīng)用能力增強(qiáng)

學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程的過(guò)程中，不僅掌握了理論知識(shí)，還學(xué)會(huì)了如何將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。他們能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)進(jìn)行求解，提高了解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

5.學(xué)習(xí)興趣激發(fā)

本節(jié)課通過(guò)生動(dòng)的例子和互動(dòng)環(huán)節(jié)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生在探究一元二次方程的過(guò)程中，體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)動(dòng)力。

6.團(tuán)隊(duì)合作能力

在小組討論和課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會(huì)了與他人合作，共同解決問(wèn)題。他們能夠傾聽(tīng)他人的觀點(diǎn)，積極參與討論，提高了團(tuán)隊(duì)合作能力。

7.自主學(xué)習(xí)能力

學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)會(huì)了自主學(xué)習(xí)。他們能夠通過(guò)閱讀課本、觀看教學(xué)視頻、參與課堂討論等方式，主動(dòng)獲取知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效果。

8.學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成

總之，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在知識(shí)掌握、解題能力、數(shù)學(xué)思維、應(yīng)用能力、學(xué)習(xí)興趣、團(tuán)隊(duì)合作、自主學(xué)習(xí)和學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面取得了顯著的效果。這些效果將有助于他們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中取得更好的成績(jī)。課后作業(yè)1.實(shí)踐題

題目：已知一元二次方程2x^2-5x+3=0，求方程的解。

答案：通過(guò)因式分解法，將方程2x^2-5x+3=0分解為(2x-3)(x-1)=0。解得x1=3/2，x2=1。

2.應(yīng)用題

題目：一輛汽車以每小時(shí)60公里的速度行駛，行駛了3小時(shí)后，又以每小時(shí)80公里的速度行駛了2小時(shí)。求汽車行駛的總路程。

答案：設(shè)汽車行駛的總路程為S公里。根據(jù)題意，可以列出方程60×3+80×2=S。解得S=360公里。

3.探究題

題目：已知一元二次方程x^2-4x+4=0，求方程的解，并驗(yàn)證根與系數(shù)的關(guān)系。

答案：通過(guò)公式法，解得方程的解為x1=x2=2。驗(yàn)證根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=2+2=4，x1×x2=2×2=4。由于4=-(-4)/1，4=4/1，所以根與系數(shù)的關(guān)系成立。

4.創(chuàng)新題

題目：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x1和x2，且x1+x2=3，x1×x2=4，求方程的解。

答案：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，我們有x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a。代入已知條件，得到-b/a=3，c/a=4。解得a=-4，b=-12，c=-16。所以方程為-4x^2-12x-16=0。通過(guò)因式分解法，解得x1=2，x2=-2。

5.綜合題

題目：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的兩倍，且長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24厘米。求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

答案：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x厘米，則長(zhǎng)為2x厘米。根據(jù)題意，可以列出方程2(2x+x)=24。解得x=4厘米，長(zhǎng)為2x=8厘米。所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是4厘米。板書設(shè)計(jì)1.一元二次方程的定義

①一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）

②系數(shù)的意義：a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)

③未知數(shù)x的次數(shù)：x的次數(shù)為2

2.一元二次方程的解法

①公式法：x=(-b±√Δ)/(2a)

②配方法：通過(guò)配方將方程轉(zhuǎn)化為(x±m(xù))^2=n的形式

③因式分解法：將方程因式分解為(x-