信號與系統(tǒng)第11講教材位置:第4章連續(xù)時間傅里葉變換

§4.4-§4.7內(nèi)容概要:卷積性質(zhì)、相乘性質(zhì)；

由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講2開講前言－前講回顧連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)線性時移性質(zhì)頻移性質(zhì)共軛及共軛對稱性質(zhì)時域微分積分性質(zhì)頻域微分積分性質(zhì)對偶性質(zhì)時域與頻域的尺度變換帕斯瓦爾定理2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講3課堂練習(xí)1210-13-32025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講4作業(yè)解答3.34（b）2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講5開講前言－本講導(dǎo)入連續(xù)時間傅里葉變換的基本性質(zhì)已經(jīng)介紹在對信號的變換求解中很有用處還有兩個性質(zhì)涉及信號和系統(tǒng)之間的作用關(guān)系卷積性質(zhì)討論信號和系統(tǒng)之間的關(guān)系，單位沖激響應(yīng)表征的系統(tǒng)，可以通過沖激響應(yīng)與輸入信號的卷積求得輸出，這種關(guān)系的傅里葉變換情況如何？乘積性質(zhì)信號相乘能實(shí)現(xiàn)很多信號處理的功能，這種相乘的關(guān)系在傅里葉變換中具有什么特征？2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講6§4.4卷積性質(zhì)0.時域卷積性質(zhì)的導(dǎo)出復(fù)指數(shù)信號是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)周期信號表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的加權(quán)和（傅里葉級數(shù)）非周期信號表示為復(fù)指數(shù)信號的積分（傅里葉變換）單位沖激響應(yīng)的傅里葉變換2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講7§4.4卷積性質(zhì)系統(tǒng)的級聯(lián)在時域分析的時候知道，系統(tǒng)的級聯(lián)，其總的沖激響應(yīng)為各個系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，LTI系統(tǒng)，卷積滿足交換律在頻域分析中，根據(jù)卷積性質(zhì)，系統(tǒng)級聯(lián)，其總的頻率響應(yīng)為各個系統(tǒng)頻率響應(yīng)的相乘，LTI系統(tǒng)，頻域相乘滿足交換律效果相同的三種系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性信號傅里葉變換的存在，需要滿足狄里赫利條件，系統(tǒng)頻率響應(yīng)的存在也需要滿足狄里赫利條件條件1：絕對可積，意味系統(tǒng)是穩(wěn)定的其他兩個條件，一般有意義的系統(tǒng)都會滿足不穩(wěn)定系統(tǒng)的分析用拉普拉斯變化方法解決時域不方便求取的逆系統(tǒng)沖激響應(yīng)，在頻域中的求解方法？2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講8§4.4卷積性質(zhì)1.舉例(1)一個純延時系統(tǒng)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：結(jié)論：一個純延時系統(tǒng)，不會影響輸入信號各個諧波分量的幅度，但是對相位卻有與ω成線性關(guān)系的響應(yīng)-ωt02025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講9§4.4卷積性質(zhì)（2）微分器系統(tǒng)，時域關(guān)系為：頻域關(guān)系為：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：結(jié)論：放大高頻信號，突出細(xì)節(jié)信息（3）積分器系統(tǒng)時域關(guān)系為：對單位沖激信號的響應(yīng)為單位階躍信號系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：由卷積性質(zhì)得到的輸出：結(jié)論：由頻率響應(yīng)知，積分器放大低頻信號，平滑細(xì)節(jié)信息結(jié)果與直接利用積分性質(zhì)計算一樣2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講10§4.4卷積性質(zhì)（4）利用卷積性質(zhì)簡化計算直接卷積計算比較復(fù)雜，轉(zhuǎn)換到頻域相乘來簡化計算2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講11§4.4卷積性質(zhì)如果系數(shù)a=b利用微分關(guān)系利用頻域微分性質(zhì)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講12§4.4卷積性質(zhì)（5）sinc函數(shù)信號通過理想低通濾波器的響應(yīng)沖激響應(yīng)的表達(dá)輸入信號的表達(dá)時域、頻域門函數(shù)的傅里葉變換對2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講13§4.5相乘性質(zhì)0.時域相乘性質(zhì)時域卷積→頻域相乘時域相乘→頻域卷積兩信號相乘，在信號處理中常用作調(diào)制，上式又稱調(diào)制性質(zhì)用A信號對B信號進(jìn)行調(diào)制，意味著B信號的幅度受到A信號影響舉例（1）調(diào)制過程：2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講14§4.5相乘性質(zhì)舉例（2）解調(diào)過程：用一截止頻率為ω1的低通濾波器，取出的信號頻譜與s(t)頻譜只有加權(quán)的影響。該信號與s(t)也只有加權(quán)的不同思考：單邊帶調(diào)制與解調(diào)？窄帶調(diào)制與解調(diào)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講15§4.5相乘性質(zhì)舉例（3）利用相乘性質(zhì)簡化計算寬度為2和1的兩個門函數(shù)的卷積2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講16§4.5相乘性質(zhì)1.具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波RC電路構(gòu)成濾波器，頻率調(diào)整需要多種元器件參數(shù)的調(diào)整，居多不便構(gòu)造一個固定特性的濾波器，中心頻率通過移動頻率的方法實(shí)現(xiàn)y(t)的頻譜是將x(t)的頻譜右移低通濾波器取出x(t)頻譜中靠近-ωc附近，寬度為2ω0的頻譜f(t)的頻譜是將w(t)的頻譜左移2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講17§4.5相乘性質(zhì)頻譜搬移如圖所示最后的等效效果如同一個帶通濾波器x(t)為實(shí)信號，但輸出y(t)為復(fù)信號濾波需要的實(shí)信號，幅頻特性應(yīng)如下通過取復(fù)信號y(t)的實(shí)部可以得到該結(jié)果等效的濾波器為：如何推倒出這一結(jié)論？2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講18采用正弦載波調(diào)制的帶通濾波2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講19§4.7由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)1.由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)連續(xù)的LTI系統(tǒng)可用線性常系數(shù)微分方程表示如何確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)？第一種方法根據(jù)復(fù)指數(shù)信號是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)帶人微分方程可以解得第二種方法利用傅里葉變換的微分性質(zhì)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講20§4.7由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)頻率響應(yīng)與單位沖激響應(yīng)時域的表示根據(jù)傅里葉變換的卷積性質(zhì)傅里葉變換存在的條件是單位沖激響應(yīng)絕對可積物理含義：穩(wěn)定系統(tǒng)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講21§4.7由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)2.舉例（1）有一個LTI系統(tǒng)的微分方程為

其中：a>0,求其頻率響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)（2）LTI系統(tǒng)微分方程 2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講22§4.7由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)（3）前題得到系統(tǒng)頻率響應(yīng)，計算指定輸入情況下的輸出響應(yīng)

系數(shù)求解公式的推導(dǎo)？頻域微分性質(zhì)用于反變換的推導(dǎo)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講23因果系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對于沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)的因果系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可用其實(shí)部完全代表2025/4/30信號與系統(tǒng)－第11講24本講小結(jié)傅里葉變換的卷積性質(zhì)時域卷積，頻域乘積，時域：輸入與單位沖激響應(yīng)卷