曲面分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.經(jīng)典雙側(cè)曲面8-5第二型曲面積分1.雙側(cè)曲面動(dòng)點(diǎn)在雙側(cè)曲面上連續(xù)移動(dòng)(不跨越曲面邊界)并返回到起始點(diǎn)時(shí),其法向量指向不變.第1頁(yè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面曲面分左側(cè)和右側(cè)第2頁(yè)經(jīng)典單側(cè)曲面:莫比烏斯帶第3頁(yè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分，必須指定曲面?zhèn)龋軌蚪?jīng)過曲面上法向量指向來定出曲面?zhèn)龋缜鎧=z(x,y),若它法向量n指向朝上，就認(rèn)為取定曲面上側(cè)；對(duì)于閉合曲面，若取它法向量指向朝外，則認(rèn)為取定曲面外側(cè)。曲面法向量指向決定曲面?zhèn)?選定了側(cè)曲面稱為有向曲面.通常碰到曲面都是雙側(cè)曲面.方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)

>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)要求第4頁(yè)?設(shè)S為有向曲面,其面元在xOy面上投影面積為則要求類似可要求曲面元素投影記為第5頁(yè)2.第二型曲面積分概念實(shí)例:流向曲面一側(cè)流量.設(shè)有一河道，并假定河道中每一點(diǎn)水流速度與時(shí)間無關(guān)，只與點(diǎn)位置相關(guān).設(shè)河道中每一點(diǎn)(x,y,z)處水流速度向量為由假定在河道中有一雙側(cè)曲面S，并在S上選定一側(cè).求在單位時(shí)間內(nèi)水流沿選定一側(cè)質(zhì)量即流量m.第6頁(yè)第7頁(yè)現(xiàn)在考慮不是平面閉區(qū)域而是一片曲面，且流速是變量.1.分割則該點(diǎn)流速為

單位法向量為

把曲面S分成n小塊(,第i小塊曲面面積）同時(shí)也表示在

上任取一點(diǎn)2.近似替換第8頁(yè)3.求和經(jīng)過S流向指定側(cè)流量該點(diǎn)處曲面S單位法向量第9頁(yè)4.取極限.得到流量m準(zhǔn)確值第10頁(yè)第11頁(yè)第二型曲面積分定義設(shè)S是一個(gè)分片光滑雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)單位法向量為假設(shè)在S上給定了一個(gè)向量函數(shù)將S分割成n個(gè)不相重合小曲面片在上任取一點(diǎn)作和式令是中直徑最大者

在S上選定了一側(cè),第12頁(yè)若和式對(duì)Ｓ任意一個(gè)分割及中間點(diǎn)任意選取，當(dāng)時(shí)總有極限，則稱此極限為向量函數(shù)在Ｓ所指定一側(cè)上第二型曲面積分，也稱為對(duì)坐標(biāo)曲面積分或第13頁(yè)其中與為同一個(gè)曲面兩個(gè)相反定向.(2)若積分與存在,則其中為任意常數(shù)．第二型曲面積分性質(zhì)第14頁(yè)其中由互不重合兩個(gè)曲面組成．

第二型曲面積分可表示成第一型曲面積分形式和坐標(biāo)形式若單位法向量方向余弦為第二型曲面積分可寫成

第一型曲面積分第15頁(yè)為在平面上有向投影面積.(上正下負(fù))

幾何意義：第16頁(yè)為在平面上有向投影面積.為在平面上有向投影面積.(前正后負(fù))(右正左負(fù))記為記為所以有第二型曲面積分坐標(biāo)形式第17頁(yè)則第一型曲面積分第二型曲面積分坐標(biāo)形式第18頁(yè)稱為P在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)y,z曲面積分;稱為Q在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)z,x曲面積分;稱為R在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)x,y曲面積分;若以-S表示曲面S另一側(cè)，則由定義可得注意:對(duì)坐標(biāo)曲面積分,必須注意曲面所取側(cè).第19頁(yè)3.第二型曲面積分計(jì)算第二型曲面積分可化成第一型曲面積分計(jì)算例1求解

因?yàn)榍娑ㄏ驗(yàn)橥鈧?cè)法向量，故取法向量為（x,y,z),那么單位法向量第20頁(yè)

因即第21頁(yè)第22頁(yè)法向量指向上側(cè)時(shí)取正，指向下側(cè)時(shí)取負(fù)．單位法向量方向余弦是：曲面

在點(diǎn)處法向量為比如將第二型曲面積分直接化成二重積分關(guān)鍵是正確了解曲面S面積元dS在坐標(biāo)平面上有向投影．第23頁(yè)(8.10)第24頁(yè)上述就是把第二型曲面積分化為二重積分公式，其中正負(fù)號(hào)由S定向決定：法向量指向上側(cè)取正號(hào)，指向下側(cè)取負(fù)號(hào).公式表明將第二型曲面積分化為二重積分，只需把P，Q，R中z換成f(x,y,),再將P，Q，R分別乘以然后相加，就組成二重積分被積函數(shù).而二重積分積分區(qū)域D是曲面S在oxy平面上投影.再依據(jù)S指向，確定取“+”還是取“-”.第25頁(yè)例2求其中S為上半球面上側(cè).解這里P=0，Q=yz，R=zx,于是第26頁(yè)注意：例3求其中S是球面：部分內(nèi)側(cè).第27頁(yè)zxyo解S由單位球面在第一掛限及第五掛限部分組成，它們方程分別為由題設(shè)法向量指向朝下，法向量指向朝上.與在oxy平面上投影為同一區(qū)域被積函數(shù)中P=Q=0，R=xyz,故化為二重積分時(shí)，被積函數(shù)為第28頁(yè)其中第29頁(yè)======代入上式得由例3得出當(dāng)曲面S由方程z=z(x,y)表出時(shí)，可推出計(jì)算方法.設(shè)光滑曲面（上側(cè)正下側(cè)負(fù)）上側(cè)下側(cè)（單值）第30頁(yè)若光滑曲面右側(cè)左側(cè)(右側(cè)正左側(cè)負(fù))尤其有右側(cè)左側(cè)(右側(cè)正左側(cè)負(fù))第31頁(yè)若光滑曲面前側(cè)后側(cè)(前側(cè)正左側(cè)負(fù))尤其有前側(cè)后側(cè)(前側(cè)正左側(cè)負(fù))第32頁(yè)小結(jié):曲面上側(cè),下側(cè)（上側(cè)正下側(cè)負(fù)）曲面前側(cè),后側(cè)(前側(cè)正后側(cè)負(fù))右側(cè),左側(cè)曲面(右側(cè)正左側(cè)負(fù))第33頁(yè)光滑曲面（上側(cè)正下側(cè)負(fù)）上側(cè)下側(cè)

(前側(cè)正后側(cè)負(fù))光滑曲面前側(cè)后側(cè)（單值）（單值）小結(jié):光滑曲面右側(cè)左側(cè)(右側(cè)正左側(cè)負(fù))第34頁(yè)例4求曲面積分其中S是立方體：邊界面外側(cè).解它們方程分別為：oyxz第35頁(yè)對(duì)曲面與應(yīng)用公式（8.13)得解第36頁(yè)對(duì)曲面與應(yīng)用公式（8.11)得第37頁(yè)對(duì)曲面與應(yīng)用公式（8.10)得第38頁(yè)例5求其中S是柱面及平面z=0,z=3所圍立體之邊界曲面外側(cè).第39頁(yè)o解它們方程分別為：曲面與在Ozy平面及Ozx平面投影為直線段，投影面積為0，故dydz=dzdx=0.又取上側(cè)而取下側(cè)，故第40頁(yè)顯然曲面與在Oxy平面投影為曲線，投影面積為0，故dxdy=0.又取前側(cè)而取后側(cè)，故第41頁(yè)所以第42頁(yè)補(bǔ)例.2所圍成立體表面外側(cè)及=z解xyz第43頁(yè)y0x1Z=x1xz0DZX第44頁(yè)y0x1解法二第45頁(yè)第二型曲面積分性質(zhì)（坐標(biāo)形式）⑴⑵若曲面S由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)曲面

Si

i=1,2,...,n所組成，則第46頁(yè)由第二型曲面積分定義，流體以速度從曲面S負(fù)側(cè)流向正側(cè)總流量第47頁(yè)第一型與第二型曲線(