1/14.2直線、圓的位置關(guān)系4.2.3直線與圓的方程應(yīng)用(朱海軍)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過直線與圓方程的綜合應(yīng)用，熟練掌握使用代數(shù)法來解決問題的方法.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.坐標(biāo)法解決直線和圓的應(yīng)用問題（分析，建系，抽象出數(shù)學(xué)問題）.2.與圓有關(guān)的最值問題.3.與圓有關(guān)的中點(diǎn)弦問題.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)綜合使用直線與圓的方程來解決問題.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.2.在運(yùn)用坐標(biāo)系證明幾何問題時(shí)，合理建立直角坐標(biāo)系的方法.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材中的例題4，了解將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的具體例子；（2）記一記：用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.（3）做一做：完成課后習(xí)題2，體會(huì)使用直線與圓方程解決問題的過程.2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）趙州橋的跨度是37.4米，圓拱高約為7.2米，求這座圓拱橋的拱圓方程.【知識(shí)點(diǎn)】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法.【數(shù)學(xué)思想】代數(shù)法【解題過程】放在一元二次方程中，我們可以畫出拱圓圖形是一個(gè)拋物線，則設(shè)拱圓的方程為，頂點(diǎn)在y軸上若跨度兩邊的點(diǎn)在x軸上，則方程過點(diǎn)（-18.75,0)、(18.75,0)、(0,7.2)，將這三個(gè)點(diǎn)代入方程，解出a,b,c即可若拱圓的頂點(diǎn)在x軸上,則方程過點(diǎn)(-18.75,-7.2)、(18.75,-7.2)、(0,0)，將這三個(gè)點(diǎn)代入方程，解出a,b,c即可.但是由于此題要求的是拱圓方程，則我們必須求出的是一個(gè)圓的方程，因此我們可以設(shè)圓心坐標(biāo)為原點(diǎn)，半徑為r，則圓拱橋的方程為，則有，半徑與跨度一般、半徑減圓拱高的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形.有：，解出=28.0再代入圓的方程即可.【思路點(diǎn)撥】建立直角坐標(biāo)系【答案】（2）如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是________.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的最值問題【數(shù)學(xué)思想】化歸與轉(zhuǎn)化【解題過程】分析可知，的最值是過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)的直線的斜率，設(shè)，所以的最大值是【思路點(diǎn)撥】看成連線的斜率【答案】（3）過圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線的方程為________.【知識(shí)點(diǎn)】切線、切點(diǎn)弦【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】設(shè)切點(diǎn)為，則的方程為，同理的方程為，則，可看作都滿足方程，所以直線的方程為.【思路點(diǎn)撥】先按為切點(diǎn)寫出兩條切線方程.【答案】(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）直線與圓的方程表達(dá)式；（2）代數(shù)思想解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系中的問題.2.問題探究探究一坐標(biāo)法求直線和圓的應(yīng)用性問題★●活動(dòng)①對(duì)比幾何法和代數(shù)法，明確幾何法的優(yōu)良性同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)時(shí)已經(jīng)了解到教材上例4用的坐標(biāo)法來解決幾何問題的，那么大家能否總結(jié)一下坐標(biāo)法（代數(shù)法）解決幾何問題的步驟呢？（舉手回答）解決直線與圓的問題時(shí)，一般采用坐標(biāo)法（代數(shù)法）和幾何法來解決問題，多數(shù)是采用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來解決，我們教材上例4采用了代數(shù)法，那么大家能用幾何法來完成例4嗎？試著做一下！比較幾何法和坐標(biāo)法（代數(shù)法），大家覺得哪一種方法比較簡便實(shí)用？【例題】請(qǐng)使用兩種方法——代數(shù)法和幾何法解決以下問題：該圓的圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，每隔4米有一根支柱，求高度.（書上例題4）【答案】<1>代數(shù)方法第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論；<2>幾何方法過點(diǎn)作.由已知，，在中，有,設(shè)拱圓所在的半徑為，則有.解得.中，有.根據(jù)圖形我們可以知道=2，又，于是有我們可以很容易得到下列結(jié)論，結(jié)論如下：，所以支柱的長度約為3.86cm.所以我們把兩種方法比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)法通俗易懂，而幾何法比較難想，繁瑣，因此解題時(shí)要有所選擇.【設(shè)計(jì)意圖】明確在解決該類問題的時(shí)候，代數(shù)方法優(yōu)于幾何方法，但是在做題時(shí)也要注意哪種方法更加簡便明確.●活動(dòng)②用轉(zhuǎn)化思想求解與圓有關(guān)的問題在解決一些幾何問題時(shí)我們可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將一個(gè)方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)我們已知的圖形，而在許許多多的方程中，圓的方程是比較好觀察出來的，并且圓的優(yōu)良性質(zhì)也有利于我們解決問題.下面就通過一道例題來具體看看吧.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則b取值范圍是【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓.【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)【解題過程】可知表示單位圓的右半圓，直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，易知直線和圓相切時(shí)的，結(jié)合圖像可知或.【思路點(diǎn)撥】表示半圓【答案】或.【設(shè)計(jì)意圖】該題的方程表示的是半圓，就容易求解出答案，使同學(xué)們明白在題目中要將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用圓的性質(zhì).探究二與圓有關(guān)的最值問題●活動(dòng)①用數(shù)形結(jié)合方法求解函數(shù)的最值問題圓是我們比較熟悉的曲線，在求解最值問題的時(shí)候經(jīng)常涉及到有關(guān)直線與圓，此時(shí)我們需要抓住圓的特征和性質(zhì)來解決問題.來看下面的題目已知，求的最小值.【知識(shí)點(diǎn)】圓的最值.【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合【解題過程】本題看似無從下手，但若注意到已知條件是二次曲線方程，可將聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離，即將根式中的一次式轉(zhuǎn)化為二次式來做.因?yàn)?，即，此問題就轉(zhuǎn)化為了圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A和B兩點(diǎn)之間距離之和最小，即，此時(shí).【思路點(diǎn)撥】將聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離【答案】【設(shè)計(jì)意圖】首先使用學(xué)生比較熟悉的數(shù)形結(jié)合的求解最值問題方法，引出與圓有關(guān)的最值問題.●活動(dòng)②使用線性規(guī)劃的方法求解函數(shù)的最值問題在使用了數(shù)形結(jié)合的方法求解與圓相關(guān)的最值問題之后，如何使用代數(shù)方法求解最值問題呢？這里引入一個(gè)新的概念——線性規(guī)劃.具體做法我們用一道例題來看一看.如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式，求的最大值.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的最值問題【數(shù)學(xué)思想】化歸與轉(zhuǎn)化【解題過程】已知圓圓心，半徑.由于知，求的最大值就是求圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率的最大值，且直線與圓相切時(shí)達(dá)到最大值.假設(shè)，則直線，由線心距離等于半徑可得，故解得，故最大值為.【思路點(diǎn)撥】是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率【答案】.【設(shè)計(jì)意圖】求切線斜率的值總是通過線心距求解，同時(shí)我們將這樣一個(gè)最值問題轉(zhuǎn)化成為了一個(gè)代數(shù)問題簡單求解.探究三動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡問題.●活動(dòng)①在高考中有關(guān)于圓的中點(diǎn)弦問題的考點(diǎn)，這一部分知識(shí)內(nèi)容比較困難，通過本次課程，大家先逐步了解，要求基礎(chǔ)好的同學(xué)能完全徹底理解.【例題】已知圓O的方程為，求過點(diǎn)所作的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)】求軌跡方程【數(shù)學(xué)思想】方程思想、數(shù)形結(jié)合【解題過程】解法一：參數(shù)法（常規(guī)方法）設(shè)過A所在的直線方程為（k存在時(shí)）,，則，消去y，得到如下方程所以我們可以得到下面結(jié)果，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及中點(diǎn)在直線上，得：(k為參數(shù)）.消去k得P點(diǎn)的軌跡方程為，當(dāng)k不存在時(shí)，中點(diǎn)的坐標(biāo)也適合方程.所以P點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)（1/2,1)為圓心，為半徑的圓.解法二：做差法（涉及中點(diǎn)問題可考慮此法）我們可以設(shè)過點(diǎn)A的弦為MN，則可以設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)镸、N都在圓上，所以我們可以得到，然后我們把兩式向減可以得到：設(shè)則.所以由這個(gè)結(jié)論和M、N、P、A四點(diǎn)共線，可以得到.所以，所以P點(diǎn)的軌跡方程為（x=1時(shí)也成立），所以P點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)（1/2,1)為圓心，為半徑的圓.解法三：數(shù)形結(jié)合（利用平面幾何知識(shí)），由垂徑定理可知,故點(diǎn)P的軌跡是以AO為直徑的圓.【思路點(diǎn)撥】求軌跡的常見方法【答案】【同類訓(xùn)練】已知過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，（1）若弦的長為，求直線的方程；（2）設(shè)弦的中點(diǎn)為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)】弦長、軌跡方程【數(shù)學(xué)思想】分類討論、方程思想、數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）若直線的斜率不存在，則的方程為，此時(shí)有，弦，所以不合題意.故設(shè)直線的方程為，即.將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)式得，所以圓心，半徑.圓心到直線的距離，因?yàn)橄倚木?、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形，所以，即，所以.所求直線的方程為.（2）設(shè)，圓心，連接，則.當(dāng)且時(shí)，，又，則有，化簡得（1）當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為都是方程（1）的解，所以弦中點(diǎn)的軌跡方程為.【思路點(diǎn)撥】利用弦長求斜率，求軌跡【答案】；3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）用建立直角坐標(biāo)系的方法求解直線和圓的應(yīng)用性問題，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，對(duì)問題進(jìn)行分析、建系、抽象出數(shù)學(xué)問題.（2）利用數(shù)形結(jié)合和線性規(guī)劃的方法解決與圓有關(guān)的最值問題.（3）中點(diǎn)弦問題的解決方法.重難點(diǎn)歸納（1）建立數(shù)學(xué)建模的思想.（2）培養(yǎng)使用坐標(biāo)系解決問題的方法.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.已知A(1,2)，B(1,－2)，M(－1,0)則過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表達(dá)式【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】設(shè)所求圓的方程為，所以，解得從而所求方程為，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【思路點(diǎn)撥】三個(gè)點(diǎn)，三個(gè)未知數(shù)即可求解【答案】.2.已知直線l過圓的圓心，且與直線垂直，則l的方程是()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的直線求解問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】依題意，得直線l過點(diǎn)(0,3)，斜率為1，所以直線l的方程為，即【思路點(diǎn)撥】由于與直線垂直，則易得另一直線的斜率【答案】D3.直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則=________.【知識(shí)點(diǎn)】圓與直線的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.轉(zhuǎn)化思想【解題過程】由題意得，直線l1截圓所得的劣弧長為，則圓心到直線l1的距離為，即，同理可得，則.【思路點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離【答案】24.設(shè)點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為()A.6B.25C.26D.36【知識(shí)點(diǎn)】圓中的最值問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)，圓的圓心為.易知的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，由于點(diǎn)P在圓上，故所求的最大值是【思路點(diǎn)撥】所求代數(shù)式的意義【答案】D5.已知集合，，其中x，y∈R.若A?B，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.[0，]B.[－，0]C.[－，]D.[－，＋∞)【知識(shí)點(diǎn)】平面區(qū)域、集合【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】集合A表示的點(diǎn)集是單位圓上的點(diǎn)，集合B表示的是二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，其邊界直線是，該直線必過定點(diǎn)，所以要使A?B，則圓與直線必須相切或相離，故，解得【思路點(diǎn)撥】弄清楚兩個(gè)集合分別表示的是什么圖形【答案】C6.已知圓，若點(diǎn)是圓C上一點(diǎn)，則的取值范圍_.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的最值問題【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【解題過程】設(shè)，因?yàn)槭菆A上的任意一點(diǎn)，所以該直線與圓相交或相切，即，所以，，即的取值范圍為.【思路點(diǎn)撥】使用線性規(guī)劃的方法求解【答案】能力型師生共研7.已知圓，圓C2：，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A.－4B.－1C.6－D.【知識(shí)點(diǎn)】轉(zhuǎn)化方法求解問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′1(2，－3)，則(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝，所以(|PM|＋|PN|)min＝－(1＋3)＝－4【思路點(diǎn)撥】在與圓有關(guān)的題目中利用轉(zhuǎn)換的思想【答案】A8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值和最小值分別是________.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的最值問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】原方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)，即.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得.(如圖)所以的最大值為，最小值為.【思路點(diǎn)撥】線性規(guī)劃【答案】，.探究型多維突破9.在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線相切，則圓C面積的最小值為()A.B.C.(6－)πD.【知識(shí)點(diǎn)】不等式、圓的幾何知識(shí)【數(shù)學(xué)思想】不等式思想、數(shù)形結(jié)合【解題過程】法一：設(shè)，，圓C的圓心坐標(biāo)為，，由題知圓心到直線的距離，即，，由（柯西不等式），得，即圓C的面積.法二：由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小.又圓C與直線相切，所以由平面幾何知識(shí)，知圓的直徑的最小值為點(diǎn)O到直線的距離，此時(shí)2r＝，得r＝，圓C的面積的最小值為S＝πr2＝.【思路點(diǎn)撥】找到最小半徑即可【答案】A10.求函數(shù)的最值.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓應(yīng)用中的最值問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】原函數(shù)改寫為將其中的理解為動(dòng)點(diǎn)到直線的距離即可，不難得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡為單位圓的上半部分，如圖所示，從而易得函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，因此求得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【思路點(diǎn)撥】把函數(shù)理解為動(dòng)點(diǎn)到直線距離即可【答案】，自助餐1.圓心在曲線上，且與直線相切的面積最小的圓的方程是________.【知識(shí)點(diǎn)】最小圓面積問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，故圓方程為.【思路點(diǎn)撥】求該圓的半徑最小值即可【答案】2.自點(diǎn)的切線，則切線段長為（）A.B.3C.D.5【知識(shí)點(diǎn)】切線段長度【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】【思路點(diǎn)撥】找出切線段長度的求法【答案】3.已知直線經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是()A.9B.8C.4D.