第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年湖北省荊州市沙市中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知A={x|y=lnx+(x?1)0}，B={y|y=x+1A.[0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞)2.若z∈C，i為虛數(shù)單位，|z+2i?1|=1，則|z?i|的最大值為(

)A.2 B.10?1 C.4 3.學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學(xué)每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會互相影響，則不同的選法種數(shù)為(

)A.20 B.25 C.225 D.4504.已知向量a，b滿足|a|=2，a?(2a+A.3 B.4 C.6 D.75.已知數(shù)列{an}中，a2=1，記Sn為{an}的前A.2023 B.2024 C.2025 D.20266.已知點M(a,0)，N(2,3)到同一直線的距離分別為2，3，若這樣的直線恰有2條，則a的取值范圍為(

)A.(?2,0) B.(?2,6) C.(0,6) D.(2,6)7.函數(shù)f(x)=|x?1|+|x?3|+2ex的最小值為(

)A.6 B.2+2e C.6?2ln2 D.e8.已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，C的準(zhǔn)線與其對稱軸交于點D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且AB=2BD，若射線FB為∠DFA的平分線，則A.43 B.4 C.5 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=3sin(2x?π4)，下列說法正確的是A.2π是f(x)的一個周期

B.f(x)在(π8,5π8)上遞減

C.將f(x)圖象向左平移π8個單位可得到y(tǒng)=3sin2x10.下列說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位數(shù)為9

B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且P(D?)=1?P(D|C)，則C，D相互獨立

C.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2)，σ越大，該物理量在一次測量中在(9.8,10.2)的概率越大

D.若樣本數(shù)據(jù)xi(i=1,2,…,5)的平均數(shù)為4，xi2(i=1,2,…,5)的平均數(shù)為22，則樣本數(shù)據(jù)11.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長相等，且均為2，N在A.存在點N，使得C1N⊥平面A1B1C

B.若C1N=5，則動點N的軌跡長度為π3

C.E為A1C1中點，若C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x2?1x)613.在某抽獎活動中，設(shè)置3個不同顏色的抽獎箱，每個箱子中的小球大小相同質(zhì)地均勻，其中紅色箱子中放有紅球2個，黃球2個，綠球2個；黃色箱子中放有紅球3個，黃球1個，綠球2個；綠色箱子中放有紅球3個，黃球2個.要求參與者先從紅色箱子中隨機抽取一個小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再從放入小球的箱子中隨機抽取一個小球，抽獎結(jié)束.若第二次抽取的是紅色小球，則獲得獎品，否則不能獲得獎品.若甲為參與者，在其第一次抽取的不是紅球的條件下，獲得獎品的概率為______．14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l1交C的右支于點A，B(點A在點B上方)，|AF2|=2|BF2|，過點F1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且23acsinB=(a+b+c)(a+b?c)．

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若a+b=7，△ABC的面積為216.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB．

(1)已知O為PC中點，求證：AO⊥平面PBD；

(2)求平面DPC與平面PCB的夾角．17.(本小題15分)

已知橢圓C：x22+y2=1，直線l：x=2與x軸交于點P，過點P的直線與C交于A，B兩點(點A在點B的右側(cè))．

(1)若點A是線段PB的中點，求點A的坐標(biāo)；

(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點18.(本小題17分)

已知f(x)=xax?ex+1(a>1)．

(1)當(dāng)a=e時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a≥e時，求證：f(x)≥0；

(3)19.(本小題17分)

設(shè)n維向量a=(x1,x2,…,xn)，b=(y1,y2,…,yn)，定義運算：a?b=x1y1+x2y2+…+xnyn．

(1)當(dāng)n=2時，若c=(y2,y1)且x1<x2，y1<y2，試比較a?b與參考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.A

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.15

13.132814.2115.解：(1)由余弦定理，可得cosC=a2+b2?c22ab，

即a2+b2?c2=2abcosC，

又23acsinB=(a+b+c)(a+b?c)=a2+b2?c2+2ab，

所以3csinB=bcosC+b，

由正弦定理，可得3sinCsinB=sinBcosC+sinB，

又sinB≠0，則有3sinC?cosC=1，即sin(C?π616.解：(1)證明：取PB中點E，連接AE，OE，AC，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AC⊥BD，BC⊥AB，

∵PA⊥平面ABCD，BD，BC?平面ABCD，

∴PA⊥BD，PA⊥BC，

∵AB∩PA=A，AC∩PA=A，AB，PA?平面PAB，AC，PA?平面PAC，

∴BC⊥平面PAB，BD⊥平面PAC，又O，E為PC，PB中點，

∴OE//BC，

∴OE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，AO?平面PAC，

∴PB⊥OE，AO⊥BD，

∵PA=AB，E為PB中點，

∴AE⊥PB，

∵AE∩OE=E，AE，OE?平面AOE，

∴PB⊥平面AOE，

又AO?平面AOE，

∴PB⊥AO，

∵PB∩BD=B，PB，BD?平面PBD，

∴AO⊥平面PBD．

(2)以A為坐標(biāo)原點，AD,AB,AP正方向為x，y，z軸正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系：

不妨設(shè)PA=AB=1，則P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)，B(0,1,0)，

∴DP=(?1,0,1)，DC=(0,1,0)，BP=(0,?1,1)，BC=(1,0,0)，

設(shè)平面DPC的法向量n=(x,y,z)，

則DP?n=(?1,0,1)?(x,y,z)=?x+z=0DC?n=y=0，

令x=1，解y=0，z=1，

∴n=(1,0,1)，

設(shè)平面PCB的法向量m=(a,b,c)，

則BP?m=(0,?1,1)?(a,b,c)=?b+c=0BC?m=(1,0,0)?(a,b,c)=a=0，

令b=1，則a=0，c=1，

17.解：(1)因為橢圓C：x22+y2=1，直線l：x=2與x軸交于點P，過點P的直線與C交于A，B兩點(點A在點B的右側(cè))，

所以P(2,0)，

設(shè)點A(x0,y0)，由點A是線段PB的中點，得B(2x0?2,2y0)，

由點A，B都在橢圓C上，得x022+y02=1(2x0?2)22+4y02=1，解得x0=54y0=±148，

所以點A的坐標(biāo)為(54,±148)；

(2)依題意，過B作x軸的垂線交橢圓于點D，連AD，可得直線AB的斜率存在且不為0，

設(shè)直線AB的方程為y=k(x?2)，k≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，

由點A在點B的右側(cè)，得?2<x2<x1<2，

由y=k(x?2)18.解：(1)根據(jù)題目已知：f(x)=xax?ex+1(a>1)

當(dāng)a=e時，f(x)=xex?ex+1，f′(x)=(x+1)ex?ex=xex，

當(dāng)x∈(0,+∞)時，f′(x)>0，則f(x)在(0,+∞)為增函數(shù)；

當(dāng)x∈(?∞,0)時，f′(x)<0，則f(x)在(?∞,0)為減函數(shù)；

所以當(dāng)a=e時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(?∞,0)，增區(qū)間內(nèi)為(0,+∞)．

(2)證明：因為a≥e，當(dāng)x≥0時，ax≥ex，所以xax≥xex，

當(dāng)x<0時，ax≤ex，所以xax≥xex，所以xax?ex+1≥xex?ex+1，

設(shè)p(x)=xex?ex+1，由(1)可知p(x)≥p(0)=0，所以不等式f(x)≥0成立．

(3)解法一：f′(x)=(lna?x+1)ax?ex=ax((lna?x+1)?(ea)x)，

設(shè)φ(x)=(lna?x+1)?(ea)x，此時φ(0)=0，

則φ′(x)=lna?(1?lna)?(ea)x，

因為1<a≤e，所以0<lna≤12,ea>1，

則φ′(x)在R為減函數(shù)，φ′(0)=2lna?1，

①當(dāng)a=e時，φ′(0)=0，結(jié)合φ′(x)在R為減函數(shù)，

當(dāng)x∈(?∞,0)時，φ′(x)>0，φ(x)在(?∞,0)為增函數(shù)；

當(dāng)x∈(0,+∞)時，φ′(x)<0，φ(x)在(0,+∞)為減函數(shù)；

所以φ(x)≤φ(0)=0，所以f′(x)≤0，即f(x)在R上為減函數(shù)，

又因為f(0)=0，所以f(x)只有一個零點；

②當(dāng)1<a<e時，φ′(0)=2lna?1<0，

所以存在x0<0，使得φ′(x0)=0，

當(dāng)x∈(?∞,x0)時，φ′(x)>0，所以φ(x)在(?∞,x0)上增函數(shù)；

當(dāng)x∈(x0,+∞)時，φ′(x)<0，所以φ(x)<0在(x0,+∞)上減函數(shù)．

因為φ(0)=0，則φ(x0)>0，當(dāng)x→?∞，φ(x)→?∞，

?x1∈(?∞,x0)使得φ(x1)=0，

所以x∈(?∞,x1)時，φ(x)<0，即f′(x)<0，即f(x)在(?∞,x1)為減函數(shù)；

當(dāng)x∈(x1,0)時，φ(x)>0，即f′(x)>0，即f(x)在(x1,0)為增函數(shù)；

當(dāng)x∈(0,+∞)時，φ(x)<0，即f′(x)<0，即f(x)在(0,+∞)為減函數(shù)；

當(dāng)x→?∞，f(x)→1，又因為f(0)=0，所以f(x1)<0．

所以?x2∈(?∞,x1)使得f(x2)=0，

f(x)在(0,+∞)為減函數(shù)，所以f(x)<f(0)=0，所以f(x)存在兩個零點．

綜上所述：當(dāng)a=e時，函數(shù)f(x)有1個零點；當(dāng)1<a<e函數(shù)f(x)有2個零點．

19.解：(1)由題該a?b?a?c=(x1y1+x2y2)?(x1y2+x2y1)=(x1?x2)(y1?y2)>0，

所以a?b>a?c；