蘇教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

有理數(shù)的意義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題中具有相反意義的量；

2.理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念；

3.掌握有理數(shù)的分類(lèi)方法，初步建立分類(lèi)討論的思想.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

像+3、+1.5、+->+584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)；像一3、一1.5、-584等

在正數(shù)前面加“一”號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)一個(gè)數(shù)前面的是這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，“+”常省略，但不能省略.

(2)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種為正可任意選擇，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上

升”等規(guī)定為正，而把“后退、下降”等規(guī)定為負(fù).

(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線.

要點(diǎn)二、有理數(shù)的分類(lèi)

(1)按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類(lèi)：(2)按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類(lèi)：

證整數(shù).正整數(shù)

正有理數(shù)

整數(shù)正分?jǐn)?shù)

.負(fù)整數(shù)

有理數(shù)有理數(shù)

'正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù),負(fù)整數(shù)

、負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)<

負(fù)分?jǐn)?shù)

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)有理數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).

(2)分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互化，所以有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可看作分?jǐn)?shù),

但無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是分?jǐn)?shù)，例如萬(wàn).

(3)正數(shù)和零統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱(chēng)為非正數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)整數(shù).

【典型例題】

類(lèi)型一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

e1.(2016?廣州)中國(guó)人很早開(kāi)始使用負(fù)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”

一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù).如果收入100元記作+100元.那么-80元表示

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路點(diǎn)撥】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.

【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，收入100元記作+100元，

則-80表示支出80元.

故選：C.

【總結(jié)升華】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)

具有相反意義的量.

舉一反三：

【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例3(1)】

【變式1](2015?太倉(cāng)市模擬)一種大米的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為"(50±0.5)千克”，則下列各袋

大米中質(zhì)量不合格的是()

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】D.

解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克.

【變式2](1)如果收入300元記作+300元，那么支出500元用表示，0元表

示.

(2)若購(gòu)進(jìn)50本書(shū)，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

【答案】(1)-500元；既沒(méi)有收入也沒(méi)有支出.(2)不是一對(duì)具有相反意義的量，不能表示.

【變式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示為().

A.—20mB.-40mC.20mD.40m

【答案】B

?^2.體育課上，華英學(xué)校對(duì)九年級(jí)男生進(jìn)行了引體向上測(cè)試，以能做7個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)

的次數(shù)記為正數(shù)，不足的次數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中8名男生的成績(jī)?nèi)缦拢?,T,0,3,-2,-3,

1,0

(1)這8名男生有百分之幾達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)？

(2)他們共做了多少引體向上？

【答案與解析】(1)由題意可知：正數(shù)或0表示達(dá)標(biāo)，

而正數(shù)或0的個(gè)數(shù)共有5個(gè)，所以百分率為：-x100%=62.5%；

8

答：這8名男生有62.5%達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).

(2)(7+2)+(7-1)+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56(個(gè))

答：他們共做了引體向上56個(gè).

【總結(jié)升華】一定要先弄清“基準(zhǔn)”是什么.

類(lèi)型二、有理數(shù)的分類(lèi)

【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例2】

▼3.下面說(shuō)法中正確的是（）.

A.非負(fù)數(shù)一定是正數(shù).

B.有最小的正整數(shù)，有最小的正有理數(shù).

c.一。一定是負(fù)數(shù).

D.正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)正有理數(shù).

【答案】D

【解析】（A）不對(duì)，因?yàn)榉秦?fù)數(shù)還包括0；（B）最小的正整數(shù)為1,但沒(méi)有最小的正有理數(shù)；

（C）不對(duì)，當(dāng)。為負(fù)數(shù)或。時(shí)，則一。為正數(shù)或0,而不是負(fù)數(shù)；（D）對(duì)

【總結(jié)升華】一個(gè)有理數(shù)既有性質(zhì)符號(hào)，又有除性質(zhì)符號(hào)外的數(shù)值部分，兩者合在一起才表

示這個(gè)有理數(shù).

舉一反三：

【變式1】判斷題：

（1）0是自然數(shù)，也是偶數(shù).（）（2）0既可以看作是正數(shù)，也可以看成是負(fù)數(shù).（）

（3）整數(shù)又叫自然數(shù).（）（4）非負(fù)數(shù)就是正數(shù)，非正數(shù)就是負(fù)數(shù).（）

【答案】V,x,X,x

【變式2】下列四種說(shuō)法，正確的是（）.

（A）所有的正數(shù)都是整數(shù)（B）不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)

（C）正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)（D）0不是最小的有理數(shù)

【答案】D

4.請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里.

7??

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——，0.23.

23

正整數(shù)集合：{…},負(fù)整數(shù)集合：{…},

整數(shù)集合：{…},正分?jǐn)?shù)集合：{…},

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{…},分?jǐn)?shù)集合：{…},

非負(fù)數(shù)集合：{…},非正數(shù)集合：{…}.

【答案】正整數(shù):1；負(fù)整數(shù)：-700；整數(shù):1,0,-700；正分?jǐn)?shù)：0.0708,3.14159265,

0.23.

7

負(fù)分?jǐn)?shù)：-3.88,------；

23

,,7

分?jǐn)?shù)：0.0708,3.14159265,023,-3.88,——；

23

非負(fù)數(shù)：1,0.0708,3.14159265,0,0.23；

7

非正數(shù)：-700,-3.88,0,——

23

.正整數(shù)

正有理數(shù)＜

【解析】正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)0

【總結(jié)負(fù)整數(shù)升華】填數(shù)的方法有兩種：一種是逐個(gè)考察，一一

負(fù)有理數(shù)＜

進(jìn)行填負(fù)分?jǐn)?shù)寫(xiě)；二是逐個(gè)填寫(xiě)相關(guān)的集合，從給出的數(shù)中找出

屬于這個(gè)集合的數(shù).此外注意幾個(gè)概念：非負(fù)數(shù)包括0和正數(shù)；非正數(shù)包括0和負(fù)數(shù).

舉一反三：

【變式】（2014秋?惠安縣期末）在有理數(shù)-2、-5、3.14中，屬于分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)共有個(gè).

3

【答案】2.

類(lèi)型三、探索規(guī)律

?Z.某校生物教師李老師在生物實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，將水稻種子分組進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)：第1

組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，.按此規(guī)律，那么請(qǐng)你推測(cè)第

n組應(yīng)該有種子是粒.

【答案】（2n+l）

【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，，由此我們觀

察到的粒數(shù)與組數(shù)之間有一定關(guān)系：3=2*1+1,5=2x24-1,7=2x34-1,

9=2x4+1,，按此規(guī)律，第n組應(yīng)該有種子數(shù)（2〃+1）粒.

【總結(jié)升華】研究一列數(shù)的排列規(guī)律時(shí)，其中的數(shù)與符號(hào)往往都與序數(shù)有關(guān).

舉一反三:

【變式1】有一組數(shù)列：2,-3,2,-3,2,-31,根據(jù)這個(gè)規(guī)律，那么第2010個(gè)數(shù)是:

【答案】-3

【變式2】觀察下列有規(guī)律的數(shù)：…，根據(jù)其規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)是:

26122030

【答案】—

90

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重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2014?甘肅模擬）下列語(yǔ)句正確的（）個(gè)

（1）帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)；

（2）如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)；

（3）不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù)；

（4）（TC表示沒(méi)有溫度.

A.0B.1C.2D.3

2.關(guān)于數(shù)“0”，以下各種說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.0是整數(shù)B.0是偶數(shù)

C.0是正整數(shù)D.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

3.如果規(guī)定前進(jìn)、收入、盈利、公元后為正，那么下列各語(yǔ)句中錯(cuò)誤的是（）

A.前進(jìn)T8米的意義是后退18米

B.收入-4萬(wàn)元的意義是減少4萬(wàn)元

C.盈利的相反意義是虧損

D.公元-300年的意義是公元后300年

4.一輛汽車(chē)從甲站出發(fā)向東行駛50千米，然后再向西行駛20千米，此時(shí)汽車(chē)的位置是（）

A.甲站的東邊70千米處B.甲站的西邊20千米處

C.甲站的東邊30千米處D.甲站的西邊30千米處

5.在有理數(shù)中，下面說(shuō)法正確的是（）

A.身高增長(zhǎng)1.2c〃，和體重減輕1.2kg是一對(duì)具有相反意義的量

B.有最大的數(shù)

C.沒(méi)有最小的數(shù)，也沒(méi)有最大的數(shù)

D.以上答案都不對(duì)

6.下列各數(shù)是正整數(shù)的是（）

A.-1B.2C.0.5D.A/2

二、填空題

1.（2014秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可記作—.

11.

2.在數(shù)0.5,-2-,100,0,1-—45,0.1中，非負(fù)數(shù)是；非正數(shù)

22

是.

3.把公元2008年記作+2008,那么-2008年表示.

4.既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)是.

5.（2016春?溫州校級(jí)期中）如果向東行駛10米，記作+10米,那么向西行駛20米，記作.

_________米.

6.是整數(shù)而不是正數(shù)的有理數(shù)是.

7.既不是整數(shù)，也不是正數(shù)的有理數(shù)是.

8.一種零件的長(zhǎng)度在圖紙上是（10：黑）毫米，表示這種零件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是毫米,

加工要求最大不超過(guò)毫米，最小不小于毫米.

三、解答題

1.說(shuō)出下列語(yǔ)句的實(shí)際意義.

(1)輸出-12t(2)運(yùn)進(jìn)-5t(3)浪費(fèi)-14元(4)上升-2m(5)向南走-7m

2.(2014秋?晉江市期末)下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，請(qǐng)把下列6個(gè)數(shù)填入這兩

個(gè)圈中合適的位置.

負(fù)數(shù)集分?jǐn)?shù)集

3.(2015秋?贛州校級(jí)期末)隨著人們的生活水平的提高，家用轎車(chē)越來(lái)越多地進(jìn)入普通家

庭.小明家買(mǎi)了一輛小轎車(chē)，他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程，以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于

50km的記為“+”，不足50km的記為“-”，剛好50km的記為“0”，記錄數(shù)據(jù)如下表:

時(shí)間第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程(km)-8-11-140-16+41+8

(1)請(qǐng)你估計(jì)小明家的小轎車(chē)一月(按30天計(jì))要行駛多少千米？

(2)若每行駛100km需用汽油8L,汽油每升7.14元，試求小明家一年(按12個(gè)月計(jì))的

汽油費(fèi)用是多少元？

4.觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律?請(qǐng)接著寫(xiě)出后面的兩個(gè)數(shù)，你能說(shuō)出

第2011個(gè)數(shù)是什么嗎？

(1)1,-2,3,-4,5,-6,7,_8>,,…，…

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】(1)帶“-”號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)，如-(-2),錯(cuò)誤；

(2)如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)，正確；

(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù)此表述錯(cuò)誤;

(4)0℃表示沒(méi)有溫度，錯(cuò)誤.

綜上，正確的有(2),共一個(gè).

2.【答案】C

【解析】0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但。是整數(shù)，是偶數(shù)，是自然數(shù).

3.【答案】I)

【解析】D錯(cuò)誤，公元-300年的意義應(yīng)該是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】畫(huà)個(gè)圖形有利于問(wèn)題分析，向東50千米然后再向西20千米后顯然此時(shí)汽車(chē)在

甲站的東邊30千米處.

5.【答案】C

【解析】A錯(cuò)誤，因?yàn)樯砀吲c體重不是具有相反意義的量；B錯(cuò)誤，沒(méi)有最大的數(shù)也沒(méi)有

最小數(shù)；C對(duì).

6.【答案】B

二、填空題

1.【答案】-5米

1-I

2.【答案】0.5,100,0,1-0」；-2-,0,-45

22

【解析】正數(shù)和零統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱(chēng)為非正數(shù)，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

3.【答案】公元前2008年

【解析】正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：..?向東行駛10米，記作+10米，

.?.向西行駛20米,記作-20米，

故答案為：-20.

6.【答案】負(fù)整數(shù)和0

【解析】整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，又因?yàn)椴皇钦龜?shù)，所以只能是負(fù)整數(shù)和0.

7.【答案】負(fù)分?jǐn)?shù)

【解析】不是整數(shù)，則只能是分?jǐn)?shù)，又不是正數(shù)，所以只能是負(fù)分?jǐn)?shù).

8.【答案】10,10.03,9.98

【解析】10二需表示的數(shù)的范圍為：大于(10-0.02),而小于(10+0.03),即大于9.98

而小于10.03.

三、解答題

1.【解析】(1)輸出T2t表示輸入12t；

(2)運(yùn)進(jìn)-5t表示運(yùn)出5t；

(3)浪費(fèi)T4元表示節(jié)約14元;

(4)上升-2m表示下降2m；

(5)向南走-7m表示向北走7m.

提示：表示相反意義的量.

2.【解析】

負(fù)數(shù)集分?jǐn)?shù)集

3.【解析】

解：⑴50X7--16+41+8二50,

7

50X30=1500（km）.

答：小明家的小轎車(chē)一月要行駛1500千米;

（2）理則X8X7.14X12=10281.6（元），

100

答：小明家一年的汽油費(fèi)用是10281.6元.

4.【解析】（1）9,T0,…，2011,…

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重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

有理數(shù)與無(wú)理數(shù)知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、理解有理數(shù)的意義，知道無(wú)理數(shù)是客觀存在的，了解無(wú)理數(shù)的概念.

2、會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù).

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、有理數(shù)

我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式強(qiáng)（m,n是整數(shù)，nWO）的數(shù)叫做有理數(shù).

n

要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，他們都是有理數(shù).

（2）所有整數(shù)都可以寫(xiě)成分母是1的分?jǐn)?shù)，因此可以理解為整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為

有理數(shù).

要點(diǎn)二、無(wú)理數(shù)

1.定義：

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限.無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，

不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.

（2）目前常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有兩種形式：①含乃類(lèi).②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù),

如：1.313113111.....

2.有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別

（1）無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù).

（2）任何一個(gè)有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無(wú)理數(shù)則不能.

要點(diǎn)三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

1.定義：

如果一個(gè)無(wú)限小數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字，從小數(shù)部分的某一位起，按一定順序不斷重復(fù)

出現(xiàn)，那么這樣的小數(shù)叫做無(wú)限循環(huán)小數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)循環(huán)小數(shù)，其中重復(fù)出現(xiàn)的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字

叫做它的一個(gè)循環(huán)節(jié).

2.純循環(huán)小數(shù)

從小數(shù)點(diǎn)后面第一位起就開(kāi)始循環(huán)的小數(shù)，叫做純循環(huán)小數(shù).例如：0.666…、0.2..純

循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法是：分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)；分母的各位數(shù)字都是9,

9的個(gè)數(shù)等于一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù).

例如0.3=-=i,0.189=-=—.

9399937

3.混循環(huán)小數(shù)

如果小數(shù)點(diǎn)后面的開(kāi)頭幾位不循環(huán)，到后面的某一位才開(kāi)始循環(huán)，這樣的小數(shù)叫做混

循環(huán)小數(shù).例如：0.12、0.3456456-.混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法是：分子是不循環(huán)部

分和一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)減去不循環(huán)部分的數(shù)字組成的數(shù)所得的差，分母就是按一個(gè)

循環(huán)節(jié)的位數(shù)寫(xiě)幾個(gè)9,再在后面按不循環(huán)部分的位數(shù)添寫(xiě)幾個(gè)0組成的數(shù).

例如。?勿8坐0.239=空上=2。.35135=35135-35=型）0=2

11090025999009990037

要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）任何一個(gè)循環(huán)小數(shù)都可化為分?jǐn)?shù).

（2）混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)也可以先化為純循環(huán)小數(shù)，然后再化為分?jǐn)?shù).

【典型例題】

類(lèi)型一、有理數(shù)

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)B.分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)

C.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)D.無(wú)限小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)

【答案】B

【解析】A選項(xiàng)整數(shù)包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0；C選項(xiàng)正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù);

D選項(xiàng)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才叫做無(wú)理數(shù)，所以選B.

【總結(jié)升華】概念問(wèn)題同學(xué)們往往忽略0的存在而模糊分類(lèi)的界限，只有對(duì)定義達(dá)到真正的

理解認(rèn)識(shí)才不會(huì)出錯(cuò).

舉一反三：

【變式1】下列說(shuō)法：①一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)；②有理數(shù)包括正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù);

③分?jǐn)?shù)可分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；④存在最大的負(fù)整數(shù)；⑤不存在最小的正有理數(shù).其中正確

的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【變式2】（2015?杭州模擬）工是（）

12

A.整數(shù)B.有限小數(shù)C.無(wú)限循環(huán)小數(shù)D.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

【答案】C

C^2.在實(shí)數(shù)旄，22.0.2L.A/36，-1.414,有理數(shù)有（）

72

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，可得答案.

【答案】D

【解析】

解：第，0,736，-1.414,是有理數(shù)，

7

【總結(jié)升華】本題考查了有理數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù).

類(lèi)型二、無(wú)理數(shù)

C>3.（2016?鹽城）下列實(shí)數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的為（）

A.-4B.0.101001C.LD.J?

3

【思路點(diǎn)撥】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概

念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng).即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

是無(wú)理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).

【答案】D

【解析】解：A、-4是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、0.101001是小數(shù)，屬于分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、上是小數(shù)，屬于分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

3

D、&是無(wú)理數(shù)，正確；

故選D.

【總結(jié)升華】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有："，2"等;

開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).

舉一反三：

【變式】以下各正方形的邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)的是（）

A.面積為25的正方形；B.面積為16的正方形；

C.面積為8的正方形；D.面積為1.44的正方形.

【答案】C

^^4.將下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)

122

34，-2,-一，3.020020002—,0,一,-（-2）,2012,-0.23

27

整數(shù)集合：{}

分?jǐn)?shù)集合：{}

負(fù)有理數(shù)集合：{}

無(wú)理數(shù)集合：｛｝

【答案與解析】

整數(shù)集合：｛-2,0,-(-2),2012｝

22、

分?jǐn)?shù)集合：｛,—，-0.23

127)

負(fù)有理數(shù)集合：｛-2,-0.231

2J

無(wú)理數(shù)集合：{3%,3.020020002-,}

【總結(jié)升華】本題考查了對(duì)有理數(shù)的有關(guān)概念的理解和應(yīng)用，關(guān)鍵是能區(qū)分有關(guān)定義，注意:

整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)；有理數(shù)包括正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)；無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)

小數(shù).

類(lèi)型三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

^^5.把下列循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

(1)0,6(2)3,102(3)0,215；(4)6.353

【思路點(diǎn)撥】按循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律方法化即可.

【答案與解析】

?62

(1)0.6=—：

93

1023410234

(2)0.102=，所以3.102=3=3

999333999333

215-221371

(3)0.215

990990330

353-35318,53

(4)6.353=6-----------=6------=6-----

900900150

【總結(jié)升華】循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)時(shí)，整數(shù)部分不動(dòng)，在掌握兩種化簡(jiǎn)規(guī)律的基礎(chǔ)上把小數(shù)部分

進(jìn)行相應(yīng)的化簡(jiǎn)即可.

舉一反三：

【變式】在6.4040…、3.333、9.505三個(gè)數(shù)中，是循環(huán)小數(shù)，把這個(gè)數(shù)化為分

數(shù)可以寫(xiě)作.

40

【答案】6.4040…；6一

99

蘇教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)負(fù)有理數(shù)

B.正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù)

C.正有理數(shù)與負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)

D.3.14是小數(shù)，也是分?jǐn)?shù)

2.（2016春?文昌校級(jí)月考）下列說(shuō)法：

①-2.5既是負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)；

②-22既是負(fù)數(shù)、整數(shù)，也是自然數(shù)；

③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但是整數(shù)；

④0是非負(fù)數(shù).

其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.0這個(gè)數(shù)是（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.整數(shù)D.無(wú)理數(shù)

4.對(duì)于有理數(shù)a,下列說(shuō)法中正確的是（）

A.a表示正有理數(shù)B.-a表示負(fù)有理數(shù)

C.a與-a中，必有一個(gè)是負(fù)有理數(shù)D.aXa是非負(fù)數(shù)

5.下列說(shuō)法正確的是（）

A.不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)

B.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)

C.無(wú)理數(shù)大于有理數(shù)

D.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和還是無(wú)理數(shù)

6.把循環(huán)小數(shù)6.142化成分?jǐn)?shù)是（）

,142/7,26衛(wèi)

A.6-----B.6—C.6-----D.

99945999225

二、填空題

7.和統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù).

8.寫(xiě)出一個(gè)比-4大的負(fù)無(wú)理數(shù)

9.已知a為有理數(shù)，b為無(wú)理數(shù)，你們a+b為

10.在-1,0.2,-1,3,0,-0.3,工中，負(fù)分?jǐn)?shù)有，整數(shù)有

52

11.（2016春?豐城市期末）在孕，3.14159,V7--8,我，0.6,0,736,空中是無(wú)

3

理數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).

12.0.2666…化為分?jǐn)?shù)是

三、解答題

13.下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，請(qǐng)把下列6個(gè)數(shù)填入這兩個(gè)圈中合適的位置.

14.把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號(hào)：-2.4,3,2.004,--,1-,-0.15,

34

0,-（-2.28）,3.14.

正有理數(shù)集合：{…},

負(fù)有理數(shù)集合：{…},

整數(shù)集合：{…},

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{…}.

15.試驗(yàn)與探究我們知道!寫(xiě)為小數(shù)即0.3,反之，無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.3寫(xiě)成分?jǐn)?shù)即1.一般

33

地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式.現(xiàn)在就以0.7為例進(jìn)行討論：設(shè)0.7=x,

77

由0.7=0.7777-,可知，10x-x=7,解方程得x=-,于是得0.7=—.請(qǐng)仿照上述例題完

99

成下列各題：

（1）請(qǐng)你把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.5寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，即0.5=.

（2）你能化無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.73位分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)仿照上述例子求之.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C

【解析】正有理數(shù)與0,負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)，C錯(cuò)誤.

2.【答案】C

【解析】解：①-2.5既是負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)，正確；

②-22既是負(fù)數(shù)、整數(shù)，但不是自然數(shù)，錯(cuò)誤；

③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但是整數(shù)，正確；

④0是非負(fù)數(shù)，正確；

故選C.

3.【答案】C

4.【答案】1）

【解析】當(dāng)a<0是，a表示負(fù)有理數(shù)，-a表示正有理數(shù)，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a=0

時(shí)，a和-a都不表示負(fù)有理數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以選D.

5.【答案】B

【解析】無(wú)限小數(shù)也可能是有理數(shù)如0.333-,無(wú)理數(shù)大于有理數(shù)也不一定如果無(wú)理數(shù)

是負(fù)數(shù)有理數(shù)是正數(shù)就不成立，兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和可能為0如乃+（-萬(wàn)）=0.

6.【答案】D

142-14,128,32

【解析】6.142=6-------o----6----

900900225

二、填空題

7.【答案】整數(shù)；分?jǐn)?shù)

8.【答案】-71（答案不唯一）

9.【答案】無(wú)理數(shù)

【解析】如3+3.333…=3.333….

10.【答案】-工，-0.3；-1,3,0.

5

11.【答案】3.

【解析】解：22是有理數(shù)，3.14159是一個(gè)有限小數(shù)，是有理數(shù)，正是無(wú)理數(shù)，-8

7

是有理數(shù)，版是無(wú)理數(shù)，0.6是有理數(shù)，0是有理數(shù)，倔=6是有理數(shù)，生是

無(wú)理數(shù).

故答案為：3.

4

12.【答案】—

15

【解析】0.2666?“=2^6^-2=三24=一4.

909015

三、解答題

解：正有理數(shù)集合：｛3,2.004,1-,-(-2.28),3.14.…｝,

4

負(fù)有理數(shù)集合：｛-2.4,--,-0.15,

3

整數(shù)集合：｛3,0…｝,

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛-2.4,--,-0.15,???).

3

15.【解析】

解：(1)設(shè)0.5二y,由0.5二0.5555…，可知，10y-y=5,解方程得尸一,于是得0.5=3.

99

73

(2)設(shè)0.73=y,由0.73=0.7373-,可知，100y-y=73,解方程得y二板,

73

于是得0.73=—.

99

蘇教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

數(shù)軸一一知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解數(shù)軸的概念及三要素，能正確畫(huà)出數(shù)軸；

2.能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，初步感受數(shù)形結(jié)合的思想方法；

3.能利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、數(shù)軸

定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)定義中的“規(guī)定”二字是說(shuō)原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長(zhǎng)度大小的確定，都是

根據(jù)需要“規(guī)定”的.通常，習(xí)慣取向右為正方向.

(2)長(zhǎng)度單位與單位長(zhǎng)度是不同的，單位長(zhǎng)度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長(zhǎng)度

單位是為度量線段的長(zhǎng)度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.

要點(diǎn)二、數(shù)軸的畫(huà)法

(1)畫(huà)一條直線(通常畫(huà)成水平位置)；

(2)在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，這點(diǎn)表示0；

(3)規(guī)定直線上向右為正方向，畫(huà)上箭頭；

(4)再選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上1,2,3,…從

原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上T,-2,-3,-

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)原點(diǎn)的位置、單位長(zhǎng)度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選取.

(2)確定單位長(zhǎng)度時(shí)根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn).

要點(diǎn)三、數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系

任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，還可以

表示其他數(shù)，比如》.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)一般地，數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)也對(duì)，即正數(shù)用

數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示.

(2)一般地，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

【典型例題】

類(lèi)型一、數(shù)軸的概念及畫(huà)法

C1.（2015秋?滄州期末）下列各圖中，能正確表示數(shù)軸的是（）

A.-101B.1

C.~01D.01^

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，即可解答.

【答案】D

【解析】解：由數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，可知D正確；

故選：D.

【總結(jié)升華】數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸；數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位

長(zhǎng)度缺一不可.

C2.（2015?徐州校級(jí)模擬）一只螞蟻沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)A向右直爬15個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B,點(diǎn)B

表示的數(shù)為-2,則點(diǎn)A所表示的數(shù)為（）

A.15B.13C.-13D.-17

【答案】D

【解析】設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為x,x+15=-2,解得：x=-17,故選：D.

【總結(jié)升華】本題考查的是數(shù)軸的知識(shí)，掌握數(shù)軸的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，點(diǎn)在數(shù)軸上

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是向左減，向右加.

舉一反三：

【變式】如圖為北京地鐵的部分線路.假設(shè)各站之間的距離相等且都表示為一個(gè)單位長(zhǎng).現(xiàn)

以萬(wàn)壽路站為原點(diǎn)，向右的方向?yàn)檎?，那么木樨地站表示的?shù)為,古城站表示的數(shù)

為;如果改以古城站為原點(diǎn)，那么木樨地站表示的數(shù)變?yōu)?

。

。

?！鯭

8」￥

玉

公

軍

八

五

萬(wàn)

古

八

■南X

寶

泉

棵

主

壽

事

城

樨

角

禮

山

松

路

路

墳

站

地

博

游

士

站

站

站

站

站

站

物

樂(lè)

路

館

園

站

站

站

【答案】3,-5,8

類(lèi)型二、利用數(shù)軸比較大小

C3.在數(shù)軸上表示2.5,0,-1,-2.5,1-,3有理數(shù)，并用把它連接起

44

來(lái).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)軸的三要素先畫(huà)好數(shù)軸，表示數(shù)的字母要依次對(duì)應(yīng)有理數(shù)，然后根據(jù)在

數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，比較大小.

【答案與解析】

31

如圖所示，點(diǎn)A、B、C、1）、E、F、G分別表示有理數(shù)2.5,0,一一，-1,-2.5,1-13.

44

EDCBAG

-4-3-2-101234

31

由上圖可得：—2.5v—lv——<0<l-<2.5<3

44

【總結(jié)升華】注意數(shù)軸上整單位的點(diǎn)一般用細(xì)短線表示，而表示題目中的數(shù)的點(diǎn)，應(yīng)畫(huà)成實(shí)

心的小圓點(diǎn).

舉一反三：

【變式1】有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式不成立的是（）

--------------1-----------1~?-------------->

a0b

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【變式2】填空：

大于-39且小于7。的整數(shù)有______個(gè)；比3』小的非負(fù)整數(shù)是____________.

775—

【答案】11；0,1,2,3

C4.若p,q兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖所示，請(qǐng)用或“>”填空.

6pk

①P—q；②一P0；③-p__q；④-P.Q;

【答案】>;<;<;>

【解析】根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，將P，q,-P，-q均表示在數(shù)軸上，如下圖：

Q-POPR

然后再根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，及原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示大于0的正數(shù)，而原點(diǎn)左

邊的點(diǎn)表示小于0的負(fù)數(shù)，可得上述答案.

【總結(jié)升華】在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.正數(shù)都大于0;負(fù)數(shù)都小

于0;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

蘇教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.如圖所示的數(shù)軸中，畫(huà)得正確的是（）

-101-101-1-2-30I2-2-101

ABCD

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)可以表示兩個(gè)不同的有理數(shù)

B.數(shù)軸上的兩個(gè)不同的點(diǎn)表示同一個(gè)有理數(shù)

C.有的有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來(lái)

D.任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)

3.如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)可能是（）

----1---1----1--------1------>

-3-2-10123

A.1.5B.-1.5C.-2.6D.2.6

4.（2015?東城區(qū)二模）如圖，數(shù)軸上有A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)，其中到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)

是（）

AB,C,D

―?---i-----1—?—I------

-2-1012

A.點(diǎn)B與點(diǎn)DB.點(diǎn)A與點(diǎn)CC.點(diǎn)A與點(diǎn)DD.點(diǎn)B與點(diǎn)C

5.數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn).某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這條數(shù)軸上任意畫(huà)出

一條長(zhǎng)為2004厘米的線段AB,