湘教版數(shù)學(xué)必修第二冊

第3章復(fù)數(shù)3.1復(fù)數(shù)的概念章節(jié)引言人類認(rèn)識數(shù)的范圍是一步一步擴(kuò)充的.數(shù)系的每一次擴(kuò)充，都意味著人類理性思維的一次飛躍.經(jīng)過漫長的歲月，數(shù)系從自然數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù).四百多年前，人們在求解方程時(shí)，引進(jìn)了虛數(shù)單位i作為x2=1的根，從而使數(shù)的范圍擴(kuò)充到了復(fù)數(shù).“虛數(shù)”并不虛，本章我們就將領(lǐng)略它的風(fēng)采.而復(fù)數(shù)的引入不但成為數(shù)學(xué)理論不可或缺的一部分，更為人們解決實(shí)際問題提供了新的工具.復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)2：實(shí)數(shù)是如何分類的？復(fù)習(xí)1：數(shù)的擴(kuò)充過程？自然數(shù)→分?jǐn)?shù)→負(fù)數(shù)→無理數(shù)→虛數(shù)有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)自然數(shù)集Q→整數(shù)集Z→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集R→復(fù)數(shù)集C問題引入實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解

新知學(xué)習(xí)我們把形如a+bi(其中a,b∈R)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a稱為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)a+bi的虛部，i稱為虛數(shù)單位.

全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}稱為復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的定義復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)相等注意：兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，它們之間不能比較大小，只能說相等或不相等。若兩個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）的實(shí)部與虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即：a+bi=c+di

a=c且b=d.新知學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)

a

＋

b

i（

a

，

b

∈R），當(dāng)且僅當(dāng)

b

＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)

a

＝

b

＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)

b

≠0時(shí)，它叫作虛數(shù)；當(dāng)

a

＝0且

b

≠0時(shí)，它叫作純虛數(shù).顯然實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的

，且由C中虛部為0的全體復(fù)數(shù)組成.

z

＝

a

＋

b

i（

a

，

b

∈R）實(shí)數(shù)（??=0）

虛數(shù)（??≠0）

非純虛數(shù)（??≠0）

純虛數(shù)（??=0）

Venn圖表示:真子集典例剖析

練習(xí)鞏固

典例剖析

練習(xí)鞏固

典例剖析

練習(xí)鞏固

練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固

A.0B.1C.2D.3

C2.若（

x

2－1）＋（

x

2＋3

x

＋2）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)

x

的值是（

B

）A.－1B.1C.±1D.－1或－2

B練習(xí)鞏固3.復(fù)數(shù)4－3

a

－

a

2i與復(fù)數(shù)

a

2＋4

a

i相等，則實(shí)數(shù)

a

的值為（

C

）A.1B.1或－4C.－4D.0或－4

C4.若復(fù)數(shù)

z

＝

m

＋（

m

2－1）i（

m

∈R）滿足

z

＜0，則

m

＝

?.

－1課堂練習(xí)一、選擇題1.設(shè)集合

A

＝{虛數(shù)}，

B

＝{純虛數(shù)}，

C

＝{復(fù)數(shù)}，則

A

，

B

，

C

間的關(guān)系為

（

B

）A.A?B?CB.B?A?CC.B?C?AD.A?C?B解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所

示.故選B.B練習(xí)鞏固2.（多選）下列命題中，是真命題的為（

ACD

）A.自然數(shù)集是非負(fù)整數(shù)集B.實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集的交集為{0}C.實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集為實(shí)數(shù)集D.純虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的交集為空集解析：由復(fù)數(shù)的分類知選ACD.ACD練習(xí)鞏固3.復(fù)數(shù)（2

x

2＋5

x

＋2）＋（

x

2＋

x

－2）i為虛數(shù)，則實(shí)數(shù)

x

滿足（

D

）A.x＝－B.x＝－2或x＝－C.x＝－2D.x≠1且x≠－2解析：∵（2

x

2＋5

x

＋2）＋（

x

2＋

x

－2）i為虛數(shù)，∴

x

2＋

x

－2≠0，即（

x

－1）（

x

＋2）≠0，∴

x

≠1且

x

≠－2，故選D.D練習(xí)鞏固4.下列命題中：①若

x

，

y

∈C，則

x

＋

y

i＝2＋i的充要條件是

x

＝2，

y

＝1；②純虛數(shù)集相對復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集；③若（

z

1－

z

2）2＋（

z

2－

z

3）2＝0，則

z

1＝

z

2＝

z

3.真命題的個(gè)數(shù)是（

A

）A.0B.1C.2D.3解析：①

x

，

y

∈C，

x

＋

y

i不一定是代數(shù)形式，故①錯.②③錯.故選A.A練習(xí)鞏固5.（多選）下列命題正確的是（

AD

）A.1＋i2＝0B.若a，b∈R，且a＞b，則a＋i＞b＋iC.若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0D.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小解析：對于A，因?yàn)閕2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正確；對于B，兩個(gè)虛數(shù)不能比較

大小，故B錯誤，D正確；對于C，當(dāng)

x

＝1，

y

＝i時(shí)，

x

2＋

y

2＝0成立，但

x

≠

y

，

故C錯誤.故選AD.AD練習(xí)鞏固6.（多選）已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是（

BD

）A.若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1B.（a2＋1）i（a∈R）是純虛數(shù)C.－1沒有平方根D.當(dāng)m＝4時(shí)，復(fù)數(shù)lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是純虛數(shù)

BD練習(xí)鞏固

A.2kπ－（k∈Z）B.2kπ＋（k∈Z）C.2kπ±（k∈Z）D.π＋（k∈Z）

B練習(xí)鞏固8.已知集合

M

＝{1，2，（

m

2－3

m

－1）＋（

m

2－5

m