第03講多邊形及其內(nèi)角和

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握多邊形及其與多邊形有關(guān)的概念。

①多邊形的認(rèn)識2.掌握多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式，內(nèi)角和公式的推導(dǎo)

②多邊形的內(nèi)角和與外角和過程及其相關(guān)計(jì)算，掌握多邊形的外角和度數(shù)。

③正多邊形3.掌握正多邊形的概念，且根據(jù)正多邊形的性質(zhì)解決

相應(yīng)的題目。

知識點(diǎn)01多邊形的認(rèn)識

1.多邊形的概念：

在平面內(nèi)，由多條線段首位順次連接所組成的圖形是多邊形。組成的線段有多少條，則圖形就是一個

幾邊形。

2.多邊形的相關(guān)概念：

如圖：組成多邊形的線段叫做多邊形的邊；相鄰兩條邊的交點(diǎn)

叫多邊形的頂點(diǎn)；相鄰兩條邊構(gòu)成的角是多邊形的角；任

意兩個不相鄰的頂點(diǎn)間的連線段叫做多邊形的對角線；多邊形的

邊與鄰邊的延長線構(gòu)成的角叫做多邊形的外角。

題型考點(diǎn)：判斷圖形。

【即學(xué)即練1】

1.如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）個．

A．3B．4C．5D．6

【解答】解：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個、第二個、第五個．

故選：A．

知識點(diǎn)02多邊形的內(nèi)角和外角和

1.多邊形的對角線計(jì)算：

總結(jié)規(guī)律：若多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形一個頂點(diǎn)的對角線條數(shù)為n3條，多邊形所有的對角

線條數(shù)為nn3條。

2

2.多邊形一個頂點(diǎn)的對角線把多邊形分成的三角形數(shù)量計(jì)算：

由上圖總結(jié)：一個頂點(diǎn)的對角線分多邊形成三角形的個數(shù)為：n2個。

3.多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式：

由上圖可知，多邊形的內(nèi)角和等于圖中所有三角形的內(nèi)角和之和。即：n2180。

4.多邊形的外角和：

任意多邊形的外角和都等于360°。

題型考點(diǎn)：①利用內(nèi)角和公式求內(nèi)角和或求多邊形的邊數(shù)。

②利用多邊形的內(nèi)外角關(guān)系計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

2.十二邊形的內(nèi)角和是（）

A．1440°B．1620°C．1800°D．1980°

【解答】解：十二邊形的內(nèi)角和等于：（12﹣2）?180°＝1800°；

故選：C．

3.若一個多邊形的內(nèi)角和是1080度，則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A．6B．7C．8D．10

【解答】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得

（n﹣2）?180＝1080，

解得n＝8．

∴這個多邊形的邊數(shù)是8．

故選：C．

【即學(xué)即練2】

4.多邊形的邊數(shù)由3增加到2021時，其外角和的度數(shù)（）

A．增加B．減少C．不變D．不能確定

【解答】解：∵任何多邊形的外角和都是360°，

∴多邊形的邊數(shù)由3增加到2021時，其外角和的度數(shù)不變，

故選：C．

【即學(xué)即練3】

5.一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，則這個多邊形的邊數(shù)是．

【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，

根據(jù)題意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，

解得n＝7．

故答案為：7．

6.若一個多邊形的內(nèi)角和比外角和大360°，則這個多邊形的邊數(shù)為．

【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，

根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°﹣360°＝360°，

解得n＝6．

故答案為：6．

知識點(diǎn)03正多邊形

1.正多邊形的概念：

每條邊都相等，每個內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形。

2.正多邊形的每個內(nèi)角計(jì)算：

因?yàn)檎噙呅蔚膬?nèi)角和為n2180，每個內(nèi)角都相等且有n個內(nèi)角，所以正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)

為：n2180。

n

3.正多邊形的每個外角計(jì)算：

360

正多邊形的外角和是360°，每個外角也相等，所以正多邊形的每個外角度數(shù)為。

n

4.正多邊形的內(nèi)角與外交關(guān)系：

n2180360

180°；

nn

題型考點(diǎn)：利用正多邊形的相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

7.若一個多邊形的每個內(nèi)角都為135°，則它的邊數(shù)為（）

A．6B．8C．5D．10

【解答】解：∵一個正多邊形的每個內(nèi)角都為135°，

∴這個正多邊形的每個外角都為：180°﹣135°＝45°，

∴這個多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°＝8．

故選：B．

8.一個多邊形的每一個外角都等于36°，那么這個多邊形的內(nèi)角和是°．

【解答】解：360°÷36°＝10，

（10﹣2）×180°＝1440°．

即這個多邊形的內(nèi)角和是1440°，

故答案為1440．

9.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比是7：2，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A．11B．10C．9D．8

【解答】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，

由題意得：（n﹣2）×180＝360，

解得：n＝9，

故選：C．

題型01多邊形的截角問題

【典例1】

如圖，在△ABC中，∠C＝70°，沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）

A．140°B．180°C．250°D．360°

【解答】解：∵∠C＝70°，

∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，

∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．

故選：C．

變式1：

一個多邊形截去一個角（截線不過頂點(diǎn)）之后，所形成的多邊形的內(nèi)角和是2520°，那么原多邊形的邊數(shù)

是（）

A．19B．17C．15D．13

【解答】解：設(shè)內(nèi)角和是2520°的多邊形的邊數(shù)是n．

根據(jù)題意得：（n﹣2）?180＝2520，

解得：n＝16．

則原來的多邊形的邊數(shù)是16﹣1＝15．

故選：C．

變式2：

一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）

A．10B．11C．12D．10或11或12

【解答】解：設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為n，

則（n﹣2）?180°＝1620°，

解得n＝11，

∵截去一個角后邊上可以增加1，不變，減少1，

∴原來多邊形的邊數(shù)是10或11或12．

故選：D．

變式3：

一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為1440°，則原多邊形的邊數(shù)是．

【解答】解：設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為n，

則（n﹣2）?180°＝1440°，

解得n＝10，

∵截去一個角后邊上可以增加1，不變，減少1，

∴原多邊形的邊數(shù)是9或10或11．

故答案為：9或10或11．

題型02實(shí)際生活與正多邊形

【典例1】

小華從A點(diǎn)出發(fā)向前直走50m，向左轉(zhuǎn)18°，繼續(xù)向前走50m，再向左轉(zhuǎn)18°，他以同樣的走法回到A點(diǎn)

時，共走了m．

【解答】解：∵多邊形的邊數(shù)為360°÷18°＝20，

∴小華要走20次才能回到原地，

∴小華走的距離為20×50＝1000（m）．

故答案為：1000．

變式1：

如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C，再向左轉(zhuǎn)

45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D…照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時所走的路程為（）

A．100米B．80米C．60米D．40米

【解答】解：∵小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)45度，

∴他走過的圖形是正多邊形，

∴邊數(shù)n＝360°÷45°＝8，

∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時，一共走了8×10＝80（m）．

故選：B．

【典例2】

一名模型賽車手遙控一輛賽車，先前進(jìn)1m，然后，原地逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a（0°＜＜180°）被稱為一次

操作．若五次操作后，發(fā)現(xiàn)賽車回到出發(fā)點(diǎn)，按照向量考慮，則角為（）α

A．72°B．108°或144°C．144°αD．72°或144°

【解答】解：360÷5＝72°，

720÷5＝144°．

故選：D．

變式1：

活動課上，小華從點(diǎn)O出發(fā)，每前進(jìn)1米，就向右轉(zhuǎn)體a°（0＜a＜180），照這樣走下去，如果他恰好能

回到O點(diǎn)，且所走過的路程最短，則a的值等于．

【解答】解：根據(jù)題意，小華所走過的路線是正多邊形，

∴邊數(shù)n＝360°÷a°，

走過的路程最短，則n最小，a最大，

n最小是3，a°最大是120°．

故答案為：120．

題型03正多邊形的圖形組合

【典例1】

如圖，平面上兩個正方形與正五邊形都有一條公共邊，則的度數(shù)為（）

α

A．36°B．92°C．144°D．150°

【解答】解：如圖，

∵正五邊形的每個內(nèi)角是108°，正方形的每個內(nèi)角90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝108°﹣90°＝18°，

∴∠＝180°﹣18°﹣18°＝144°．

故選：αC．

變式1：

如圖，由一個正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠ABC的度數(shù)應(yīng)是（）

A．72°B．84°C．82°D．94°

【解答】解：如圖，

由題意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，

則∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，

所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．

故選：B．

變式2：

如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的邊CD重合，DH的延長線與AB交于點(diǎn)P，則∠BPD的度

數(shù)是（）

A．83°B．84°C．85°D．86°

【解答】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，

∴∠BCD＝∠B＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，

∵五邊形GHCDL為正五邊形，

∴CD＝CH，∠DCH＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，

∴∠CDH＝∠CHD＝＝36°，

∵四邊形BCDP的內(nèi)角和為360°，

∴∠BPD＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，

故選：B．

變式3：

把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDM的CD邊重合，按照如圖的方式疊合在一起，延長

MG交AF于點(diǎn)N，則∠ANG等于（）

A．140°B．144°C．148°D．150°

【解答】解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，

（5﹣2）×180°÷5＝108°，

∠ANG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2

＝720°﹣360°﹣216°

＝144°．

故選：B．

1．八邊形的內(nèi)角和是外角和的（）倍．

A．2B．3C．4D．5

【解答】解：∵八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°＝1080°，其外角和為360°，

∴1080°÷360°＝3（倍），

故選：B．

2．下列角度不可能是多邊形內(nèi)角和的為（）

A．180°B．270°C．540°D．1440°

【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n（n≥3且n為整數(shù)），

則（n﹣2）?180°＝180°，

解得：n＝3，

則A不符合題意；

（n﹣2）?180°＝270°，

解得：n＝3.5，

則B符合題意；

（n﹣2）?180°＝540°，

解得：n＝5，

則C不符合題意；

（n﹣2）?180°＝1440°，

解得：n＝10，

則D不符合題意；

故選：B．

3．如圖，∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B的度數(shù)是（）

A．180°B．240°C．300°D．360°

【解答】解：∵∠A+∠B+∠AFB＝180°，∠CFE＝∠AFB，

∴∠A+∠B＝180°﹣∠CFE

∴∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B

＝∠C+∠D+∠E﹣（∠A+∠B）

＝∠C+∠D+∠E﹣（180°﹣∠CFE）

＝∠C+∠D+∠E+∠CFE﹣180°

＝360°﹣180°

＝180°，

故選：A．

4．清明節(jié)當(dāng)天八年級某班組織學(xué)生去烈士林園為革命先烈掃墓，以此表達(dá)對先烈的追思和崇敬之情，細(xì)心

燈小明發(fā)現(xiàn)革命烈士紀(jì)念塔的塔底平面為八邊形，這個八邊形的內(nèi)角和（）

A．720°B．900°C．1080°D．1440°

【解答】解：八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°＝1080°，

故選：C．

5．如圖，四邊形ABCD為一矩形紙帶，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將紙帶沿EF折疊，點(diǎn)A、D的對

應(yīng)點(diǎn)分別為A'、D'，若∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（）?

A．62.5°B．72.5°C．55°D．45°

【解答】解：∵∠2＝35°，

∴∠AEA′＝180°﹣35°＝145°，

∴由折疊性質(zhì)可得：∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝72.5°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠AEF＝72.5°，

故選：B．

6．如圖，奇奇先從點(diǎn)A出發(fā)前進(jìn)4m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)4m，又向右轉(zhuǎn)15°，…，這樣一直走下去，

他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時，一共走了（）

A．24mB．48mC．64mD．96m

【解答】解：∵奇奇從A點(diǎn)出發(fā)最后回到出發(fā)點(diǎn)A時正好走了一個正多邊形，

∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為n＝360°÷15°＝24，

則一共走了24×4＝96（米）．

故選：D．

7．若一個正多邊形每一個外角都相等，且一個內(nèi)角的度數(shù)是140°，則這個多邊形是（）

A．正七邊形B．正八邊形C．正九邊形D．正十邊形

【解答】解：180°﹣140°＝40°，

360°÷40°＝9，

∴這個多邊形是正九邊形．

故選：C．

8．如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥CD，∠1＝50°，∠2＝70°，則∠3的度數(shù)是（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【解答】解：∵四邊形ABCDE為五邊形，

∴其內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，

∵AE∥CD，

∴∠D+∠E＝180°，

∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，

∴∠1+∠2+∠3＝180°×3﹣360°＝180°，

∵∠1＝50°，∠2＝70°，

∴∠3＝180°﹣50°﹣70°＝60°，

故選：C．

9．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．

【解答】解：如圖，連接AD，

∵∠E+∠F+∠EMF＝∠MAD+∠MDA+∠AMD＝180°，∠EMF＝∠AMD，

∴∠E+∠F＝∠MAD+∠MDA，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

＝∠BAM+∠B+∠C+∠CDM+∠MAD+∠MDA

＝∠DAB+∠B+∠C+∠ADC

＝360°，

故答案為：360．

10．如圖，正五邊形ABCDE的對角線BD、CE相交于點(diǎn)F，則∠CFD的度數(shù)為．

?

【解答】解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，

∴∠BCD＝∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝CD＝DE，

∴∠BDC＝∠CBD＝∠DCE＝∠CED＝＝36°，

∴∠CFD＝180°﹣∠BDC﹣∠DCE＝180°﹣36°﹣36°＝108°，

故答案為：108°．

11．如圖，四邊形ABOC中，∠BAC與∠BOC的角平分線相交于點(diǎn)P，若∠B＝16°，∠C＝42°，則∠P

＝°．

【解答】解：延長CO交AB于點(diǎn)D，OC與AP交于點(diǎn)E，

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，

∠BDC＝∠C+∠BAC＝42°+2∠BAP，

∠BOC＝∠B+∠BDC＝58°+2∠BAP則∠COP＝29°+∠BAP，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，

∠COP+∠P＝∠C+∠BAP，

所以∠P＝∠C+∠BAP﹣∠COP＝13°，

故答案為：13．

12．將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊AB與正方形的邊CD在同一條直線上，則∠BOC

的度數(shù)是．

【解答】解：∵圖中六邊形為正六邊形，

∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，

∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，

∵正方形中，OC⊥CD，

∴∠OCB＝90°，

∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，

故答案為：30°．

13．（1）正八邊形的每個內(nèi)角是每個外角的m倍，求m的值；

（2）一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)．

【解答】解：（1）∵正八邊形的每個內(nèi)角為：（8﹣2）×180°÷8＝135°，

∴它的每個外角為：180°﹣135°＝45°，

則m＝135÷45＝3；

（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，

則（n﹣2）?180°×＝360°，

解得：n＝14，

即這個多邊形的邊數(shù)為14．

14．已知，如圖，AD與BC交于點(diǎn)O．

（1）如圖1，判斷∠A+∠B與∠C+∠D的數(shù)量關(guān)系：，并證明你的結(jié)論．

（2）如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為．

（3）如圖3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF與DE交于點(diǎn)M，∠E+∠F＝50°，請直接寫出

∠A+∠B＝