十七變換和操作（B）

年級班姓名得分

一、填空題

1.對于324和612，把第一個數(shù)加上3,同時把第二

個數(shù)減3,這算一次操作，操作一次后兩個數(shù)相等.

2.對自然數(shù)n,作如下操作：各位數(shù)字相加，得另一自然

數(shù)，若新的自然數(shù)為一位數(shù)，那么操作停止，若新的自然數(shù)

不是一位數(shù)，那么對新的自然數(shù)繼續(xù)上面的操作，當?shù)玫揭?/p>

個一位數(shù)為止，現(xiàn)對1,2,3...,1998如此操作，最后得到的一位

數(shù)是7的數(shù)一共有一個.

3.在1,2,3,4,5,...,59,60這60個數(shù)中，第一次從左向右劃

去奇數(shù)位上的數(shù)；第二次在剩下的數(shù)中，再從左向右劃去奇

數(shù)位上的數(shù)；如此繼續(xù)下去，最后剩下一個數(shù)時，這個數(shù)是

4.把寫有1,2,3,...,25的25張卡片按順序疊齊,寫有1

的卡片放在最上面，下面進行這樣的操作：把第一張卡片放

到最下面，把第二張卡片扔掉；再把第一張卡片放到最下面,

把第二張卡片扔掉；…按同樣的方法，反復進行多次操作，

當剩下最后一張卡片時，卡片上寫的是—.

5.一副撲克共54張,最上面的一張是紅桃K.如果每次把

最上面的4張牌，移到最下面而不改變它們的順序及朝向，那

么，至少經(jīng)過____次移動，紅桃K才會出現(xiàn)在最上面.

1

6.寫出一個自然數(shù)A才巴A的十位數(shù)字與百位數(shù)字相加,

再乘以個位數(shù)字才巴所得之積的個位數(shù)字續(xù)寫在A的末尾，稱

為一次操作.

如果開始時A=1999,對1999進行一次操作得到19992,

再對19992進行一次操作得到199926，如此進行下去直到

得出一個1999位數(shù)為止，這個1999位數(shù)的各位數(shù)字之和

是____?

7.黑板上寫有1987個數(shù):123,…，1986,1987.任意擦

去若干個數(shù)，并添上被擦去的這些數(shù)的和被7除的余數(shù)，稱為

一個操作.如果經(jīng)過若干次這種操作，黑板上只剩下了兩個數(shù),

一個是987,那么，另一個數(shù)是一.

8.下圖中有5個圍棋子圍成一圈.現(xiàn)在將同色的兩子之間

放入一個白子，在異色的兩子之間放入一個黑子，然后將原來

的5個拿掉，剩下新放入的5個子中最多能有一個黑子.

9.在，.L2,。目鄰的數(shù)之間寫

上它們的益6息「^5）再重復這一過程

5次,圓周上共出現(xiàn)192個數(shù),則月渴寂些數(shù)的和是.

10.在黑板上任意寫一個自然數(shù)，然后用與這個自然數(shù)互

質并且大于1的最小自然數(shù)替換這個數(shù),稱為一次操作，那么

最多經(jīng)過一次操作，黑板上就會出現(xiàn)2.

二、解答題

2

11.甲盒中放有1993個白球和1994個黑球，乙盒中放

有足夠多個黑球.現(xiàn)在每次從甲盒中任取兩球放在外面，但當

被取出的兩球同色時，需從乙盒中取出一個黑球放入甲盒；當

被取出的兩球異色時，便將其中的白球再放回甲盒，這樣經(jīng)

過3985次取、放之后，甲盒中剩下幾個球？各是什么顏色

的球？

12.如圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上，開始時，

圓盤上每個數(shù)字所對應的黑板處均寫著0,然后轉動圓盤，

每次可以轉動90。的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個數(shù)將分別正對

著黑板上寫軍曲簫即上的數(shù)加到黑板上對應位置的

數(shù)上問經(jīng)冷干次反黑板上的四個數(shù)是否可能都是1999?

13.有三%打整&由每堆中拿掉一個或相同數(shù)目

的石子（每次這個數(shù)由不一定相同），或由任一堆中取一半石子

（如果這堆石子是偶數(shù)個）放入另外任一堆中，開始時三堆石子

數(shù)分別為1989,989,89.如按上述方式進行操作，能否把這三

堆石子都取光?如行，請設計一種取石子的方案，如不行，說明

理由.

14.如圖，圓周上順次排列著L2、3....12這十二

個數(shù)，我們規(guī)定：相鄰的四個數(shù)al、a2、a3、a4順序顛倒

為a4、a3、a2、al,稱為一次"變換"（如：L2、3、4

變?yōu)閺V又如廠、￥、L2變?yōu)?、1、12、

11,?限次'，二個數(shù)的順序變?yōu)?、1、

3

2、3...........8、10、lls12（如圖）?請說明理由.

---------------------------------答案-------------

1.48

每操作一次，兩個數(shù)的差減少6,經(jīng)（612-324）+6=48次操

作后兩個數(shù)相等.

2.222

由于操作后所得到的數(shù)與原數(shù)被9除所得的余數(shù)相同，因

此操作最后為7的數(shù)一定是原數(shù)除以9余7的數(shù)，即

7,16,25,...,1996,一共有（1996-7"9+1=222（個）

3.32

第一次操作后，剩下2,4,6,...,60這30個偶數(shù);

第二次操作后，剩下4,8,12,...,60這15個數(shù)（都是4的

倍數(shù)）；

第三次操作后，剩下8,16,24,…,56這7個數(shù)（都是8的

倍數(shù)）；

第四次操作后,剩下16,32,48這3個數(shù)；

第五次操作后，剩下一個數(shù)，是32.

4.19

第一輪操作，保留L35…，25共13張卡片；

第二輪保留3,7,11,15,19,23這6張卡片；

第三輪保留3,11,19這3張卡片；

4

接著扔掉11,3;

最后剩下的一張卡片是19.

5.27次

因為[54,4]=108,所以移動108張牌,又回到原來的狀況.

又因為每次移動4張牌,所以至少移動108+4=27(次).

6.66

按照操作的規(guī)則，尋找規(guī)律知,A=1999時得到的1999位

數(shù)為:1999266864600…0.其各位數(shù)字和為

1+9+9+9+2+6+6+8+6+4+6=66

7.0

黑板上的數(shù)的和除以7的余數(shù)始終不變.

(1+2+3+...+1987)7=282154

又1+2+3+...

+1987=1987x1988=1987X994=1987x142x7是7的倍數(shù).

所以黑板上剩下的兩個數(shù)之和為7的倍數(shù).

又987=7x141是7的倍數(shù)，所以剩下的另一個數(shù)也應是

7的倍數(shù)，又這個數(shù)是某些數(shù)的和除以7的余數(shù)，故這個數(shù)只

能是0.

8.4個

提示:因為5個子不可能黑白相間，所以永遠不會得到5個

給日甲7

土7E志丁?

5

9.5103

記第i次操作后,圓周上所有數(shù)的和為ai,依題意彳導

ai+l=2ai+ai=3ai.

又原來三數(shù)的和為a0=l+2+4=7,所以

al=3a0=21,a2=3al=63,

a3=3a2=189,a4=3a3=567,a5=3a4=1701,a6=3a5=510

3,即所有數(shù)的和為5103.

10.2

如果寫的是奇數(shù)，只需1次操作；如果寫的是大于2的偶

數(shù)，經(jīng)過1次操作變?yōu)槠鏀?shù)，再操作1次變?yōu)?.

11.由操作規(guī)則知，每次操作后，甲盒中球數(shù)減少一個,

因此經(jīng)過3985次操作后用盒中剩下1993+1994-3985=2

個球.

每次操作白球數(shù)要么不變，要么減少2個.因此，每次操作

后甲盒中白球數(shù)的奇偶性不變很白球數(shù)為奇數(shù).因此最后剩

下的2個球中，白球1個,故另一個必為黑球.

12.每次加上的數(shù)之和是1+2+3+4=10,所以黑板上的

四個數(shù)之和永遠是10的整數(shù)倍.因此，無論如何操作,黑板上

的四個數(shù)不可能都是1999.

13.要把三堆石子都取光是不可能的.

按操作規(guī)則，每次拿出去的石子總和是3的倍數(shù)，即不改變

石子總數(shù)被3除的余數(shù).而1989+989+89=3067被3除余

6

L三堆石子取光時總和被3除余0.所以，三堆石子都取光是辦

不到的.

14.能

解所示卜一^笠屈J/1、12三個數(shù)

被順時針移動了兩個;聲經(jīng)過3次這樣的兩次變

11108

換,10、11、12三個數(shù)又被順時針移動了六個位置，變?yōu)橄?/p>

圖，圖中十二個數(shù)的順序符合題意.

題目：客、貨兩車分別從A、B兩地同時相對開出，已知

客、貨兩車的速度比是4:5.兩車在途中相遇后繼續(xù)行駛。

貨車把速度提高20%,客車速度不變，再行4小時后，貨

車到達A地，而客車離B地還有112千米。A、B兩地相距

多少千米？

本題解法使用比例知識和分數(shù)知識的有關內容

比例知識:時間一定彳亍駛的路程和對應的速度成正比例,

也就是行駛的路程的比等于對應的速度的比

分數(shù)知識：找112千米與單位"1"也就是全程的關系

列式為：解：設客車第二次行的路程與全程的關系為X

X:4/9=4:[5x(1+20%)]

7

X=8/27

1124-（5/9-8/27）=432（千米）

十七變換和操作（A）

年級班姓名得分

一、填空題

1.黑板上寫著8,9,10,11,12,13,14七個數(shù)，每次任意擦

去兩個數(shù)，再寫上這兩個數(shù)的和減1.例如，擦掉9和13,要寫上

21.經(jīng)過幾次后，黑板上就會只剩下一個數(shù)，這個數(shù)是一.

2.口袋里裝有99張小紙片,上面分別寫著1~99.從袋中

任意摸出若干張小紙片，然后算出這些紙片上各數(shù)的和，再將

這個和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中.經(jīng)過若干次

這樣的操作后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數(shù)是

3.用1~10十個數(shù)隨意排成一排.如果相鄰兩個數(shù)中，前

面的大于后面的，就將它們變換位置.如此操作直到前面的數(shù)

都小于后面的數(shù)為止.已知10在這列數(shù)中的第6位，那么最少

要實行次交換.最多要實行次交換.

4.一個自然數(shù)，把它的各位數(shù)字加起來得到一個新數(shù)，稱

為一次變換，例如自然數(shù)5636,各位數(shù)字之和為

5+6+3+6=20,對20再作這樣的變換得2+0=2可以證明進

行這種變換的最后結果是將這個自然數(shù)，變成一個一位數(shù).

對數(shù)123456789101112...272829作連續(xù)變換，最終得

8

到的一位數(shù)是^一.

5.5個自然數(shù)和為100,對這5個自然數(shù)進行如下變換，找

出一個最小數(shù)加上2,找出一個最大數(shù)減2.連續(xù)進行這種變換,

直至5個數(shù)不發(fā)生變化為止，最后的5個數(shù)可能是.

6.在黑板上寫兩個不同的自然數(shù)，擦去較大數(shù)才奐成這兩

個數(shù)的差,我們稱之為一次變換.比如(15,40),40-15=25,擦去

40,寫上25,兩個數(shù)變成(15,25),對得到的兩個數(shù)仍然可以繼

續(xù)作這樣的變換，直到兩個數(shù)變得相同為止，比如對(15,40)作

這樣的連續(xù)變換：

(15,4曠Q5酉西L0)飛J0)(5,5).

對(102鈣L.1)作這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個相

同的

20個1

數(shù)是—.

7.在一塊長黑板上寫著450位數(shù)

123456789123456789...(將123456789重復50次).刪

去這個數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字:再刪去所得的數(shù)中所

有位于奇數(shù)位上的數(shù)字:再刪去…，并如此一直刪下去.最后刪

去的數(shù)字是—.

8.將100以內的質數(shù)從小到大排成一個數(shù)字串,依次完

成以下五項工作叫做一次操作：

①將左邊第一個數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；

9

②從左到右兩位一節(jié)組成若干這兩位數(shù)；

③劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；

④所剩的兩位質數(shù)中有相同者，保留左邊的一個，其余

劃去；

⑤所余的兩位質數(shù)保持數(shù)碼次序又組成一個新的數(shù)字

串。

經(jīng)過1997次操作，所得的數(shù)字串是一.

9.一個三角形全涂上黑色，每次進行一次操作，即把全黑

三角形分成四個全等的小三角形，中間的小正三角形涂上

白色，經(jīng)過5次操作后，黑色部分是整個三角形的—.

皇A,

道一口展里裝著夯疝駕青亍23fq紅色卡片各一

張，從口袋里任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上

各數(shù)的和除以17的余數(shù)，再把這個余數(shù)寫在另一張黃色的

卡片上放回口袋內.經(jīng)過若干次這樣的操作后，口袋內還剩下

兩張紅色卡片和一張黃色卡片.已知這兩張紅色卡片上寫的

數(shù)分別是19和97.那么這張黃色卡片上寫的數(shù)是一.

二、解答題

11.請說明例1中，對1980的連續(xù)變換中一定會出現(xiàn)

重復.對其它的數(shù)作連續(xù)變換是不是也會如此？

12.將3x3方格紙的每一個方格添上奇數(shù)或偶數(shù),然后進

10

行如下操作:將每個方格里的數(shù)換成與它有公共邊的幾個方

格里的數(shù)的和，問是否可以經(jīng)過一定次數(shù)的操作，使得所有九

個方格里的數(shù)都變成偶數(shù)?如果可以，需要幾次？

13.在左下圖中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字

同時加1或減1算作一次操作，經(jīng)過若干次操作后變?yōu)橄聢D.

問:下圖A格中的數(shù)字是幾?為什么？

0101111

10101111

14.在003701111上每格都裝有一盞燈和一

10104111

個按鈕才安鈕揖按三次，與n口同一列方格中的燈泡都

改變一次狀態(tài)，即由亮變不亮，不亮變亮.如果原來每盞燈都是

不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮？

--------------------------------------答案---------------

1.71

所剩之數(shù)等于原來的七個數(shù)之和減6,故這個數(shù)是

(8+9+10+11+12+13+14)-6=71.

2.50

每次操作都不改變袋中所有數(shù)之和除以100的余數(shù)，所以

最后一張紙片上的數(shù)等于1~99的和除以100的余數(shù).

(1+2+...+99”+100

=4950+100

11

=49x100+50

故這張紙片上的數(shù)是50.

3.4次；40次

當排列順序為1,2,3,4,5,10,6,7,8,9時,交換次數(shù)最少，需交

換4次;當排列順序為9,8,7,6,5,10,4,3,2,1

時，交換次數(shù)最多，需交換40次.

4.3

一個整數(shù)被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的

余數(shù)，如果這個整數(shù)不是9的倍數(shù)，就可以根據(jù)這一點來確定

題目要求的一位數(shù).

(1+2+...+9)X3+1X10+2X10被9除余3,可見最終得至I」

的一位數(shù)是3.

5.20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21

或19,19,20,21,21.

仿例2,5個數(shù)的差距會越來越小，最后最大與最小數(shù)

最多差2.最終的5個數(shù)可能是20,20,20,20,20,或者

19,20,20,20,21或19,19,20,21,21.

6.1

變換中的兩個數(shù),它們的最大公約數(shù)附壁本變，是后得到

的兩個相同的數(shù)即為它們的最大公約數(shù)嬴1024=210,而

11...1

20個

12

1

沒有質因子2,它們是互質的.所以最后得到的兩個相同的數(shù)

是1.

7.4

事實上，在第一次刪節(jié)之后.留下的皆為原數(shù)中處于偶數(shù)

位

置上的數(shù)；在第二次刪節(jié)之后，留下的數(shù)在原數(shù)中所處的位

置可被4整除；如此等等.于是在第八次刪節(jié)之后，原數(shù)中只

留下處于第28xk=256k號位置上的數(shù)，這樣的數(shù)在所給的

450位數(shù)中只有一個，即第256位數(shù).由于256=9x28+4,所以

該數(shù)處于第29組"123456789”中的第4個位置上.即為

4.

8.1731

第1次操作得數(shù)字串711131131737;

第2次操作得數(shù)字串11133173;

第3次操作得數(shù)字串111731;

第4次操作得數(shù)字串1173;

第5次操作得數(shù)字串1731第6次操作得數(shù)字串7311;

第7次操作得數(shù)字串3117;

第8次操作得數(shù)字串1173;

以下以4為周期循環(huán)，即4k次操作均為1173.

1996=4x499,所以第1996次操作得數(shù)字串1173,因此

13

第1997次操作得數(shù)字串1731.

Q234

,1024

每一次黑三角形個數(shù)為整個的1所以5次變換為

4

33333_243

_x_x__x_x_________

444441024

10.3

卡片上的數(shù)字之和除以17的余數(shù)始終不變.

(1+2+3+...+135)+17=9180+17=540.

(19+97)^17=116^17=6……14,

因為黃色卡片上的數(shù)都小于17,所以黃色卡片上的數(shù)是

17-14=3.

11.對1980的連續(xù)變換中，每個數(shù)都不大于

1980+1991=3971,所以在3971步之內必定會出現(xiàn)重復對

其它的數(shù)作連續(xù)變換也會如此.

12.如圖,用字母abc,d?f,ghl代表9個方格內的數(shù)

字,0代表偶數(shù).

abcb+da+e+cb+fg+cb+ha+i

defa+e+gd+b+h+fc+e+id+f0d+f

ghid+hg+e+ih+fa+ib+hg+c

d+f+b+hg+c+a+ib+h+d+f000

g+c+a+i0g+c+a+i000

14

d+f+b+ha+I+g+cb+h+d+f000

可見經(jīng)過四次操作后，所有九個方格中的數(shù)全變?yōu)榕紨?shù).

13.每次操作都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染

上不同的顏色(如右下圖)，因為每次操作總是一個黑格與一個

白格同時加1或減L所以無論進行多少次操作，白格內的數(shù)

字之和減去黑格內的數(shù)字之和總是常數(shù).由原題左圖知這個

常數(shù)是8,再由原題右圖可得(A+7)-8=8,由此解得A=9.

將第一列中的每一格都按一次,則除第一列外，每格的燈

都只改變一次狀態(tài)，由不亮變亮.而第一列每格的燈都改變

1997次狀態(tài)，由不亮變亮.

如果少于1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按

過,位于這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態(tài).

十六追及問題(B)

年級班姓名得分

一、填空題

1.狗追狐貍，狗跳一次前進1.8米，狐貍跳一次前進1.1

米.狗每跳兩次時狐貍恰好跳3次.如果開始時狗離狐貍有30

15

米，那么狗跑米才能追上狐貍.

2.B處的兔子和A處的狗相距56米,兔子從B處逃跑，狗

同時從A處跳出追兔子，狗一跳前進2米，狗跳3次時間與兔

子跳4次時間相同，兔子跳出112米到達C處,狗追上兔子,

問兔子一跳前進多少米？

3.甲、乙兩地相距60千米.小王騎車以每小時行10千米

的速度上午8點鐘從甲地出發(fā)去乙地.過了一會兒，小李騎車

以每小時15千米的速度也從甲地去乙地.小李在途中M地追

上小王，通知小王立即返回甲地.小李繼續(xù)騎車去乙地.各自分

別到達甲、乙兩地后都馬上返回，兩人再次見面時，恰好還在

M地.小李是

時出發(fā)的.

4.甲、乙兩地相距20公里，A、B、C三人同時從甲地

出發(fā)走往乙地（他們速度保持不變），當A到達乙地時,B、C兩

人離乙地分別還有4公里和5公里,那么當B到達乙地時,C

離乙地還有公里.

5.甲、乙二人在周長是120米的圓形池塘邊散步，甲每分

走8米，乙每分走7米.現(xiàn)在從同一地點同時出發(fā)，相背而行,

出發(fā)后到第二次相遇用了多少時間？

6.右圖的兩個圓只有一個公共點A,大圓直徑48厘米，小

圓直徑30厘米.兩只甲蟲同時從A點出發(fā)才安箭頭所指的方向

以相同速度分別沿兩個圓爬行.

16

當小圓上的甲蟲爬了圈時，兩只甲蟲相距最遠.

7.如圖是一座立省橋俯視圖.中心部分路面寬20

米,AB=CD=100米.陰筋17輦四個四分之一圓形草坪.現(xiàn)有

甲、乙兩車分別在鼠蒙頭方向行駛.甲車速56千

米/小時,乙車速5\..尸車要追上乙車至少需要

分鐘.（圓周率取3,1）

8.有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，

乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行.甲每分鐘走

40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米.出發(fā)后，甲和乙相

遇后3分鐘和丙相遇.這花圃的周長是米.

9.一個圓的周長為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同

時出發(fā)沿圓周相向爬行.這兩只螞蟻每秒分別爬行5.5厘米和

3.5厘米.它們每爬行1秒,3秒,5秒……（連續(xù)的奇數(shù)）,就調頭

爬行.那么，它們相遇時，已爬行的時間是秒.

10.甲乙兩個同學分別在長方形圍墻外的兩角（如下圖所

示）.如果他們同時開始繞著圍墻反時針方向跑，甲每秒跑5米,

乙每秒跑4米，那么甲最少要跑秒才能看到乙.

二、解答題?fI4

|20m|[

11.甲、乙兩人環(huán)繞百長4胡米的跑道跑步,如果兩人

從同一地點出發(fā)背向而行，那么經(jīng)過2分鐘相遇，如果兩人

17

從同一地點出發(fā)同向而行，那么經(jīng)過20分鐘兩人相遇，已

知甲的速度比乙快，求甲、乙兩人跑步的速度各是多少？

12.小強和小江進行百米賽跑.已知小強第1秒跑1米

以后每秒都比前面1秒多跑0.1米；小江則從始至終按每秒

1.5米的速度跑，問他們二人誰能取勝?簡述思維過程.

13AB兩地相距105千米，甲、乙兩人騎自行車分別從兩

地同時相向而行，出發(fā)后經(jīng)。小時相遇，接著二人繼續(xù)前進，在

4

他們相遇3分鐘后，一直以每小時40千米速度行駛的甲在途

中與迎面而來的丙相遇，丙在與甲相遇后繼續(xù)前進，在C地趕

上乙.如果開始時甲的速度比原速每小時慢20千米，而乙的速

度比原速度每小時快2千米，那么甲、乙就會在C地相遇.求

丙的騎車速度是每小時多少千米？

14.甲、乙兩名運動員在周長400米的環(huán)形跑道上進行

10000米長跑比賽，兩人從同一起跑線同時起跑，甲每分跑

400米，乙每分跑360米，當甲比乙領先整整一圈時，兩人

同時加速，乙的速度比原來快！,甲每分比原來多跑18米,

并且都以這樣的速度保持到終點.問:甲、乙兩人誰先到達終

八占、、？?

---------------------------------答案-------------

1.360

18

狗跳2次前進1.8x2=3.6（米）,狐貍跳3次前進

l.lx3=3.3（米），它們相差363.3=0.3（米），也就是說狗每跑

3.6米時追上0.3米.300.3=100,即狗跳100x2=200（次）

后能追上狐貍.所以，狗跑

1.8x200=360（米）才能追上狐貍.

2.1

根據(jù)追及問題可知，兔跳112米時，狗跳

56+112=168（米）.

因此，狗一共跳了1682=84（次）.由狗跳3次的時間與

兔跳4次的時間相同的條件，可知兔跳了4x（84

3）=112（次）

所以,兔跳一次前進112112=1（米）.

3.8點48分

從小李追上小王到兩人再次見面,共行了60x2=120（千

米）,共用了120（15+10）=4.8（小時），所以小王從乙地到M

點共用了4.82=2.4（小時），

甲地至I」M點距離2.4x10=24（千米）

小李行這段距離用了2415=1.6（小時）

比小王少用了241.6=0.8（小時）

所以小李比小王晚行了0.8小時，即在8點48分出發(fā).

4.-（公里）

19

當A到達乙地時,A行了20公里,B、C兩人離乙地分別還

有4公里和5公里，也就是B行了（20-4）=16公里,C行了

（20-5）=15公里，所以C的速度是B的*當B行完最后剩下

16

的4公里時,C行了4X4=3=（公里），這時C距乙地還有

164

5-3：=1：（公里）.

5.16

第二次相遇兩人共行兩周，需120x2（8+7）=16（分鐘）.

6.4

圓內的任意兩點，以直徑兩端點的距離最遠.如果沿小圓

爬行的甲蟲爬到A點,沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點二甲

蟲的距離便最遠.小圓周長為萬x30=30萬，大圓周長為48n,一

半便是24萬.問題便變?yōu)榍?0萬和24萬的最小公倍數(shù)問題了.

30萬和24萬的最小公倍數(shù)，相當于30與24的最小公倍

數(shù)再乘以萬.

30與24的最小公倍數(shù)是120,

12030=412024=5.

所以小圓上甲蟲爬4圈后,大圓上爬行了5個;圓周長，即

是爬到了B點.

7.2.62

依交通規(guī)則甲車行進路線為今一B3D（其

20

中表示沿狐線行進）,因而兩車初始相距.

200+1^=200+3.1x20=262米.

所以262100=2.62分.

即甲車至少需要經(jīng)過2.62分鐘才能追及乙車.

8.8892

依題意作下圖.

由已知可知,甲先與乙相遇，后與丙相遇.當甲與乙相遇時,

他們三人所在位置翔丁一里；

由圖示可知乙）甲、乙相遇時間）里，所行

路程之差等于甲、丙/7■向行程的路程之和.

目遇點

（40+36）3=763且228（米）

這樣，根據(jù)乙、丙在同一時間（甲、乙相遇時間）是所行路程

之差與它們單位時間內速度之差，求出甲、乙相遇時間.

228（38-36）=2282=114（分鐘）

所以，花圃的周長為（40+38）x114=78x114=8892（米）.

9.49

根據(jù)相向行程問題若它們一直保持相向爬行直至相遇所

21

需的時間是

100x1.26x1（5.5+3.5）=7（秒）

由爬行規(guī)則可知第一輪有效前進時間是1秒鐘，第二輪有

效前進時間是5-3=2（秒），……,如下圖所示：

由上表可知實際耗時為1+8+16+24=49（秒）

相遇有效時間為1+2x3=7（秒）

所以，它們相遇時爬行的時間是49秒.

10.17

甲要看到乙,甲乙間的最大距離為20米，即甲最少要比乙

多跑15米,這需跑

但還須驗證:甲跑15秒時是剛好處于B點或D點（如下圖

所示），實際上，甲跑15秒時跑了75米，這時他在AB邊上，距B

點10米處.因此甲只要再跑2秒即可到達B點,此時甲乙間的

距離已小于20米，乙在BC邊上，所以甲最少要跑17秒才能

22

看到乙.

C.---------------------，D

15M

11.由兩人從同20m句而行，經(jīng)過2分鐘相遇

B1----------------------'A

知兩人每分鐘共行

4002=200（米）

由兩人從同一地點出發(fā)同向而行，經(jīng)過20分鐘相遇知甲

每分鐘比乙多走

40020=20（米）

根據(jù)和差問題的解法可知甲的速度是每分鐘（200+20）

2=110（米）

乙的速度為每分鐘110-20=90（米）.

12.小江每秒跑1.5米，所以小江跑100米需

1001.5=66,秒）

小強第十一秒跑1+0.L10=2（米）

小強前11秒的平均速度為每秒

（1+1.1+1,2+……+1.9+2）米）

所以前11秒鐘小強跑的路程與小江前11秒鐘跑的路程

相等.11秒以后，小江仍以每秒1.5米的速度前進，但小強第十

二秒跑（2+0.1）=2.1米，第十三秒跑（2.1+0.1）=2.2米,第十四

秒跑（2.2+0.1）=2.3米，……，小強越跑越夬大大超過小江的速

度,故小強一定能取勝.

23

13.乙的速度為1054-40=20（千米/時）.

如上圖所示，D為甲、乙相遇點，E為甲、丙相遇點.

D距A:401>70（千米），

C品巨A:105[（40-20）+（20+2）]20=50（千米），

E距A:70+40603=72（千米）.

甲、丙在E相遇時，乙在丙前面（20+40）603=3（千

米），

丙在C處趕上乙，所以丙的速度是

2011=239千米/時）.

14.從起跑到甲比乙領先一圈，所經(jīng)過的時間為

400（400-360）=10（分）.

甲到達終點還需要跑的時間為

（10000-40010）（400+18）=14獲（分）；

乙追上甲一圈所需的時間為

400[360（1+；）-418]=12.5（分）.

因為12.5<14急所以乙先到達終點

十六追及問題（A）

甲—>507072<——乙、丙

年級班姓名------得.黃一

24

一、填空題

1.當甲在60米賽跑中沖過終點線時，比乙領先10米、

比丙領先20米，如果乙和丙按原來的速度繼續(xù)沖向終點，

那么當乙到達終點時將比丙領先米.

2.一只兔子奔跑時，每一步都跑0.5米；一只狗奔跑時，每

一步都跑1.5米.狗跑一步時，兔子能跑三步.如果讓狗和兔子

在100米跑道上賽跑，那么獲勝的一定是.

3.騎車人以每分鐘300米的速度，從102路電車始發(fā)站出

發(fā)，沿102路電車線前進，騎車人離開出發(fā)地2100米時，一輛

102路電車開出了始發(fā)站，這輛電車每分鐘行500米彳亍5分

鐘到達一站并停車1分鐘.那么需要分鐘,電車追上騎車

人.

4.亮亮從家步行去學校每小時走5千米回家時，騎自行車,

每小時走13千米騎自行車比步行的時間少4小時，亮亮家到

學校的距離是

5.從時針指向4點開始，再經(jīng)過分鐘,時鐘與分針第

一次重合.

6.甲、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步.甲以每分鐘

300米的速度從起點跑出1分鐘時，乙從起點同向跑出，從這

時起甲用5分鐘趕上乙.乙每分鐘跑米.

十五相遇問題(A)

年級班姓名得分

25

一、填空題

1.兩列對開的火車途中相遇，甲車上的乘客從看到乙車

到乙車從旁邊開過去，共用6秒鐘.已知甲車每小時行45千米,

乙車每小時行36千米，乙車全長米.

2.甲、乙兩地間的路程是600千米，上午8點客車以平均

每小時60千米的速度從甲地開往乙地.貨車以平均每小時

50千米的速度從乙地開往甲地.要使兩車在全程的中點相遇,

貨車必須在上午點出發(fā).

3.甲乙兩地相距450千米，快慢兩列火車同時從兩地相向

開出,3小時后兩車在距中點12千米處相遇，快車每小時比慢

車每小時快千米.

4.甲乙兩站相距360千米.客車和貨車同時從甲站出發(fā)駛

向乙站，客車每小時行60千米,貨車每小時行40千米,客車到

達乙站后停留0.5小時，又以原速返回甲站，兩車對面相遇的

地點離乙站______千米.

5.列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧

道用23秒，又知列車的前方有一輛與它行駛方向相同的貨車,

貨車車身長320米，速度為每秒17米，列車與貨車從相遇到離

開需秒.

6.小冬從甲地向乙地走，小青同時從乙地向甲地走，當各

自到達終點后，又立刻返回，行走過程中，各自速度不變，兩人

第一次相遇在距甲地40米處,第二次相遇在距乙地15米處.

26

甲、乙兩地的距離是_____米.

7.甲、乙二人分別從兩地同時相向而行,乙的速度是甲

的速度的j二人相遇后繼續(xù)行進，甲到B地、乙到A地后都立

即返回.已知二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點是

20千米，那么A3兩地相距_____千米.

8.A3兩地間的距離是950米.甲、乙兩人同時由A地出發(fā)

往返鍛煉.甲步行每分走40米,乙跑步每分行150米,40分后

停止運動.甲、乙二人第一次迎面相遇時距B地最近，距離是

米.

9.A,3兩地相距540千米甲、乙兩車往返行駛于A3兩地

之間，都是到達一地之后立即返回,乙車比甲車快.設兩輛車同

時從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中p地.那么侄I」

兩車第三次相遇為止，乙車共走了千米.

10.甲、乙兩個運動員分別從相距100米的直跑道兩端

同時相對出發(fā)，甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度來

回勻速跑步,他們共同跑了8分32秒，在這段時間內兩人多次

相遇（兩人同時到達同一地點叫做相遇）.他們最后一次相遇的

地點離乙的起點有米.甲追上乙次,甲與乙迎面相

遇一次.

二、解答題

11.甲、乙兩地相距352千米.甲、乙兩汽車從甲、乙兩

27

地對開.甲車每小時行36千米乙車每小時行44千米.乙車因

事，在甲車開出32千米后才出發(fā).兩車從各自出發(fā)起到相遇時,

哪輛汽車走的路程多?多多少千米？

12.甲、乙兩車從A3兩城市對開，已知甲車的速度是乙車

的”.甲車先從A城開55千米后，乙車才從8城出發(fā).兩車相遇

時，甲車比乙車多行駛30千米.試求兩城市之間的距離.

13.設有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速

度也相同.騎車的速度為步行速度的3倍.現(xiàn)甲自A地去5地;

乙、丙則從8地去A地.雙方同時出發(fā).出發(fā)時，甲、乙為步行,

丙騎車.途中，當甲、丙相遇時，丙將車給甲騎啟己改為步行,

三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進;當甲、乙相遇時，甲將車給

乙騎，自己又步行,三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進.問:三人

之中誰最先到達自己的目的地?誰最后到達目的地？

14.一條單線鐵路線上有ABCD,E五個車站，它們之間的

路程如下圖所示（單位:千米）.兩列火車從AE相向對開,A車先

開了3分鐘，每小時行60千米,E車每小時行50千米,兩車在

車站上才能停車，互相讓道、錯車.兩車應該安排在哪一個車

站會車（相遇）,才能使停車等候的時間最短，先到的火車至少

要停車多長時間？

,鉉，40T0,

ABCDE

答案

28

答案：

1.135

根據(jù)相向而行問題可知乙車的車長是兩車相對交叉6秒

鐘所行路之和.所以乙車全長

(45000+36000)x

=81000xJ-

600

=135（米）

2.7

根據(jù)中點相遇的條件，可知兩車各行600x1=300（千米）.

其間客車要行300+60=5（小時）；

貨車要彳亍300+50=6（小時）.

所以，要使兩軍同時到達全程的中點,貨車要提前一小時出

發(fā),即必須在上午7點出發(fā).

3.8

快車和慢車同時從兩地相向開出,3小時后兩車距中點12

米處相遇,由此可見快車3小時比慢車多行12x2=24（千米）.

所以快車每小時比慢車快24+3=8（千米）.

4.60

利用圖解法，借助線段圖（下圖）進行直觀分析.

29

密客迎冬初遇點

甲借40無冬乙

解7玄一谷車及甲坨仃壬乙坨需要

360?60=6（小時）.

客車在乙站停留0.5小時后開始返回甲站時，貨車行了

40x（6+0.5）=260（千米）.

貨車此時距乙站還有

360-260=100（千米）.

貨車繼續(xù)前行，客車返回甲站（化為相遇問題）"相遇時間"

為

100+（60+40）=1（小時）.

所以相遇點離乙站60x1=60（千米）.

解法二假設客車到達乙站后不停，而是繼續(xù)向前行駛

（0.5+2）=0.25小時后返回，那么兩車行駛路程之和為

360x2+60x0.5=750（千米）

兩車相遇時貨車行駛的時間為

750+（40+60）=7.5（小時）

所以兩車相遇時貨車的行程為

40x7.5=300（千米）

故兩車相遇的地點離乙站

360-300=60（千米）.

5.190

列車速度為（250-210）*25-23）=20（米/秒）.列車車身長

30

為20x25-250二

250（米）.列車與貨車從相遇到離開需（250+320）+

（20-17）=190（秒）.

6.105

根據(jù)題意，作線段圖如下：

小/、青

①②

根據(jù)相向行程問題的特點，小冬與小青第一次相遇時，兩人

所行路程之和恰是甲、乙之間的路程.

由第一次相遇到第二次相遇時，兩人所行路程是兩個甲、

乙間的路程.因各自速度不變，故這時兩人行的路程都是從出

發(fā)到第一次相遇所行路的2倍.

根據(jù)第一次相遇點離甲地40米,可知小冬行了40米，從第

一次到第二次相遇小冬所行路程為40x2=80（米）.

因此,從出發(fā)到第二次相遇，小冬共行了40+80=120（米）.

由圖示可知，甲、乙兩地的距離為120-15=105（米）.

7.50.

因為乙的速度是甲的速度的j所以第一次相遇時,乙走了

AB兩地距離的|（甲走了|）,即相遇點距8地g個單程.因為第

一次相遇兩人共走了一個單程，第二次相遇共走了三個單程,

所以第二次相遇乙走了|x3=|（個）單程，即相遇點距A地1個

31

單程（見下圖）.可以看出，兩次相遇地點相距=|（個）單

程,所以兩地相距20-|=50（千米）.

&

兩個共行一個來回，即1900米迎面相遇一次,1900?

（45+50）=20（分鐘）.

所以,兩個每20分鐘相遇一次，即甲每走40x20=800（米）

相遇一次.第二次相遇時甲走了800米，距8地

950-800=150（米）;第三次相遇時甲走了1200米，距B地

1200-950=250（米）.所以第二次相遇時距8地最近，距離150

米.

9.2160

乙.---------------

A?.............：--------iB

如上圖所元甲，?【一個來回，由甲車兩次相

遇走的路程相等可知,AP=2推知PB后A瓦乙車每次相遇

走:第三次相遇時共走

0”3二4加4乂540=2160（千米）.

10.87.5,6,26.

8分32秒=512（秒）.

32

當兩人共行1個單程時第1次迎面相遇，共行3個單程時

第2次迎面相遇，

……，共行2〃-1個單程時第〃次迎面相遇.因為共行1個單程需

100」（6.25+3.75）=10（秒）,所以第〃次相遇需10x⑵-1）秒,

由10x（2“-l）=510解得〃=26,即510秒時第26次迎面相遇.

止匕時，乙共行3.75x510=1912.5（米），離10個來回還差

200x10-1912.5=87.5（米）,即最后一次相遇地點品巨乙的起點

87.5米.

類似的，當甲比乙多行1個單程時，甲第1次追上乙，多行3

個單程時，甲第2

次追上乙，……，多行2〃-1個單程時，甲第〃次追上乙.因為多行

1個單程需100+（6.25-3.75）=40（秒），所以第〃次追上乙需

40x⑵-1）秒.當n=6時,40x（2n

-1）=440<512;當〃=7時,40X（2〃-1）=520>512,所以在512

秒內甲共追上乙6次.

11.由相遇問題的特點及基本關系知，在甲車開出32千

米后兩車相遇時間為

（352-32）+（36+44）=4（小時）

所以，甲車所行距離為

36x4+32=176（千米）

乙車所行距離為

44x4=176（千米）

33

故甲、乙兩車所行距離相等.

注：這里的巧妙之處在于將不是同時出發(fā)的問題,通過將

甲車從開出32千米后算起,化為同時出發(fā)的問題，從而利用相

遇問題的基本關系求出"相遇時間".

12.從乙車出發(fā)到兩車相遇，甲車比乙車少行

55-30=25（千米）這25千米

是乙車行的所以乙車行了25+!=150（千米）.48兩

666

城市的距離為

150x2+30=330（千米）.

13.誰騎車路程最長，誰先到達目的地;誰騎車路程最短

誰最后到達目的地.

畫示意圖如下:依題意，甲、丙相遇時，甲、乙各走了全程的

、而丙走了全程的，

44

用圖中記號，AC=-AB；CD=-AB；CD=-AB；

432

CE=—3CD=—3AB；

48

ED=-CD=-AB',AE=CE+AC=（^+-）AB=-AB.

48848

_Eg40_

A甲、丙誦遇史甲、丙腦遇時,B

乙到達處

由灰，E甲、乙相遇時，丙到達處甲、乙相遇處而7口大江士7

田筲即刑千At：A外十羽千AtJt74%血乙3可牛AtJ

48

|AB，可見丙最先到達而甲最后到達.

O

34

14.A車先開3分，行3千米.除去這3千米,全程為

45+40+10+70=165（千米）.

若兩車都不停車，則將在距E站

165義上一=75（千米）.

60+50

處相撞，正好位于。與。的中點.所以,A車在C站等候，與E車在

。站等候，等候的時間相等，都是車各行5千米的時間和，

9+9=U（時）=11分.

606060

7.一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點開始爬行一周.

在三條邊上爬行的速每分50厘米、每分20厘米、

每分30厘米（如右圖/飛一周的平均速度是.

8.甲、乙兩人同/%向出發(fā)沿400米環(huán)行跑道行

A---

走，甲每分鐘走80米，乙窗分鐘走50米,這二人最少用

分鐘再在A點相遇.

9.在400米環(huán)形跑道上AB兩點相距100米（如圖）.甲、

乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)才安逆時針方向跑步.甲每秒

跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米,都要停10秒鐘.那么,

甲追上乙需要的時間是

秒.

10.甲、乙兩，："跑道按相反方向跑步,出發(fā)點

在直徑的兩個端碗果他加時出發(fā)，并在乙跑完100米時

35

第一次相遇,甲跑一圈還差60米時第二次相遇，那么跑道的長

是米.

二、解答題

11.在周長為200米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、

乙二人騎自行車分別以6米/秒和5米/秒的速度同時、相向

出發(fā)（即一個順時針一個逆時針），沿跑道行駛.問：16分鐘內，甲

乙相遇多少次？

12.如右上圖,A,B,C三個原料加工廠分別停著甲、乙、丙

三輛汽車，各車速度依次是60,48,36千米/時，各廠間的

距離如圖所示（單位逑平果甲、丙車按箭頭方向行駛，乙

車反向行駛，每到隼2分，乙車停3分，丙車停5

分.那么，三車同時開對聯(lián)Jj何處首次同時相遇.

13.一座下底面是邊長上10米的正方形石臺，它的一個頂

點A處看二^蟲子巢穴,蟲甲每分鐘爬6厘米,蟲乙每分鐘爬

10厘米，甲沿正方形的邊由ABCDA不停的爬

行,甲先爬2厘米后，乙沿甲爬行過的路線追趕甲，當乙遇到甲

后，乙就立即沿原路返回巢穴，然后乙再沿甲爬行過的路線追

趕甲，.……在甲爬行的一圈內，乙最后一次追上甲時，乙爬行了

多長時間？

14.甲、乙二人在400米圓形跑道上進行10000米比賽.

兩人從起點同時同向出發(fā)，開始時甲的速度為每秒8米，乙的

速度為每秒6米.當甲每次追上乙以后，甲的速度每秒減少2

36

米，乙的速度每秒減少0.5米.這樣下去,直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次

從后面追上自己開始，兩人都把自己的速度每秒增加0.5米,

直到終點.那么領先者到達終點時，另一人距終點多少米？

---------------------------------答案-------------

1.12

解法一依題意，畫出線段圖如下：

?.丙乙目