福建省泉州市南安市僑光中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列不能化簡(jiǎn)為的是（

）A． B．C． D．2．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，設(shè)，則（

）A． B． C． D．5．已知，則（）A． B． C． D．6．已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知中，，，則此三角形為（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形8．定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的可能取值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列選項(xiàng)中，值為的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為2B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D．若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則．11．中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．若，則只有一解C．若為銳角三角形，則取值范圍是D．若為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．某扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的半徑為.13．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則14．已知函數(shù)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量.(1)若，求實(shí)數(shù)；(2)若向量與所成角為銳角，求實(shí)數(shù)的范圍.16．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角的大??；(2)若，，求的面積.17．已知函數(shù)，,的最小正周期是(1)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；(2)將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，并把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.已知圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求的最小值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，若對(duì)，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn).

(1)求；(2)連接，交于點(diǎn)，求；(3)若，，，…，為邊上的等分點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值.19．在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直(滿(mǎn)足)，燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線(xiàn)如圖中陰影部分所示，已知，路寬.設(shè)燈柱高，.（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；（2）求燈柱的高(用表示)；（3）若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值.

參考答案1．【答案】D【詳解】對(duì)于A，，故A不符合題意；對(duì)于B，，故B不符合題意；對(duì)于C，，故C不符合題意；對(duì)于D，，故D符合題意.故選D．2．【答案】B【詳解】由題意得，所以.故選B.3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，又，所以，得到，所以，得到，所?故選D.4．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，故選C.5．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，即，所以．故選D．6．【答案】C【詳解】，在上的投影向量為，故選C7．【答案】B【詳解】如下圖所示：

設(shè)M為AC中點(diǎn)，則，所以，即為等腰三角形，又，所以，即，所以，可得，綜上可知三角形為等邊三角形.故選B.8．【答案】B【詳解】由題意可得：，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知：B正確，ACD錯(cuò)誤.故選B.9．【答案】BCD【詳解】選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B符合題意；選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C符合題意；選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)C符合題意.故選BCD.10．【答案】BC【詳解】由函數(shù)圖象可知，表示振幅，所以.函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和，這兩點(diǎn)間的距離是個(gè)周期，即，那么，故A錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式（），可得，所以.把點(diǎn)代入中，得到，即.因?yàn)?，所以，，解得，故B正確；由上分析可得：.令，解得.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；函數(shù)的圖象在上，其對(duì)稱(chēng)軸為，即.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知.所以，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕瑒t，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，，故只有一解，故B正確；對(duì)于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若D為邊上的中點(diǎn)，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即，故D正確.故選ABD.12．【答案】/【詳解】若扇形圓心角為，半徑為，則弧長(zhǎng)為：.所以扇形的半徑為.13．【答案】【詳解】因?yàn)椋砜傻?，則，且，所以.14．【答案】【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)函數(shù)周期性可知：，即，且，則，可得，因?yàn)椋瑒t，且，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，可知在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，可得或，解得或，所以的取值范圍是.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，解得（2）由（1）知，，向量與所成角為銳角，，解得.又當(dāng)時(shí)，，可得實(shí)數(shù)的范圍為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，所以，因?yàn)?，所?又，所以.（2）由余弦定理得：，又，所以.所以.17．【答案】(1)，.(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.（2）由題意，的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，依題意，，解得，因，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最小值為.（3）當(dāng)取最小值時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，即，

.18．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）建立合適的直角坐標(biāo)系，再求出相關(guān)向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可；（2）設(shè)，，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程組，解出，最后利用向量模的坐標(biāo)公式即可求解；（3）首先證明，最后轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，所以.

（2）設(shè)，，，所以，所以，所以，解得，所以.（3）在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槭沁叺?01等分點(diǎn)，，所以，所以由（2）得，所以，所以