第一章高中數(shù)學(xué)解題根本方法………2、換元法………3、待定系數(shù)法…………………4、定義法………6、參數(shù)法……7、反證法……8、消去法………9、分析與綜合法………………10、特殊與一般法………………第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想……2、分類討論思想………………3、函數(shù)與方程思想……………4、轉(zhuǎn)化〔化歸〕思想…………第三章高考熱點(diǎn)問題和解題策略…2、選擇題解答策略……………--考試資料.-在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問題進(jìn)展綜合性的表達(dá)，再以三種題組的形組簡(jiǎn)單的選擇填空題進(jìn)展方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)展詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到穩(wěn)固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜一、配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)展一種定向變形〔配成"完全平方〞〕的技巧，通過配方找到和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用"裂項(xiàng)〞與"添項(xiàng)〞、"配〞與"湊〞的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為"湊配法〞。最常見的配方是進(jìn)展恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺*y項(xiàng)的二次曲-1結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：x2xxx2xx2.方程*2＋y2－4k*－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(1),4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(1),4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(1),4)4.函數(shù)y＝log(－2*2＋5* 2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(5),4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(5),4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(1),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(5),4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(5),4)m—pm+pm然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。例1.設(shè)方程*2＋k*＋2=0的兩實(shí)根為p、q，假設(shè)成立，求-【解】方程*2＋k*＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2,又∵p、q為方程*2＋k*＋2=0的兩實(shí)根，∴△=k2－8≥0即或綜合起來，k的取值范圍是或者。【注】關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式"Δ〞；方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。此題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察不等式，從其構(gòu)造特征聯(lián)即使有些題目可能結(jié)果一樣，去掉對(duì)"△〞的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我44A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin4考題)7.設(shè)二次函數(shù)f(*)＝A*2＋B*＋C，給定m、n〔m<n〕,且滿足A2[(m+n)2+m2n2]+-②假設(shè)關(guān)于*的方程f(*)＝0有且僅有一個(gè)實(shí)二、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把*個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在或者未知中，*個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先變形為設(shè)2x＝t〔t>0〕，而變?yōu)槭煜さ囊蝗菗Q元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用代數(shù)式中與三角知識(shí)πα,α∈[0,2]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域均值換元，如遇到*＋y＝S形式時(shí)，設(shè)*t，yt等等。-我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范πat211=-1n，所以a=-;4小題：設(shè)*＋y＝k，則*2－2k*＋1＝0,△=4k2－4≥0,所以k≥1或k≤-1；15-【分析】由S＝*2＋y2聯(lián)想到cos2α+sin2α=1,于是進(jìn)展三角換元，設(shè)2則*y=±4－t2代入①式得：4S±54－t2=5，【注】此題第一種解法屬于"三角換元法〞，主要是利用條件S＝*2＋y2cos2α+sin2α=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于"均值換元法〞，主要是由等式S＝*2＋y2而按照均值換元的思路，設(shè)-種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、別離參數(shù)法。和"均值換元法〞類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量*、y時(shí)，可以設(shè)*=a＋b，y＝a－b，這稱為"和差換元法〞，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。此題設(shè)*＝a＋b，y=a－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5，求得所以S=再求的值。-=-22，設(shè)所以【注】此題兩種解法由分別進(jìn)展均值公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假設(shè)未想到進(jìn)展均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A＋C＝2B， -22*-t＝-2時(shí)，取最小值2a2－22a-EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up2147483646(1),2)置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)展討論。一般地，在遇到題目和未知中含有sin*與cos*的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sin*±cos*，sin*cso*)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4.設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)*，不等式【分析】不等式中三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)展對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。-代入后原不等式簡(jiǎn)化為〔3－t〕*2＋2t*－2t>0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)*恒成立，所以：【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何在解決不等式恒成立問題時(shí)，使用了"判別式法〞。另外，此題還要求對(duì)數(shù)運(yùn)算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的條件進(jìn)展適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。33331-x解得或±x33第二種解法將變形為，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)展結(jié)果為tgθ,再進(jìn)展換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。3cosθ+4sinθ-k>0，即k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ)【注】此題進(jìn)展三角換元，將代數(shù)問題〔或者是解析幾何問題〕化為了含參三角不等式般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常使用"三角換元法〞。+c>0(a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€a*＋by＋c＝0所分平面成兩局部中含*軸正方向的一局部。此題不等式恒成y立問題化為圖形問題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上*＋y**＋y－k>0-k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線*＋y－k＝0在與橢圓下部相切k平面區(qū)域的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組-有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由△=0可求得k3,所以EQ\*jc3\*hps28\o\al(\s\up6(1),2)EQ\*jc3\*hps28\o\al(\s\up6(1),2)2+a。9.實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對(duì)任意實(shí)10.矩形ABCD，頂點(diǎn)C(4,4)，A點(diǎn)在曲線*2＋yDC三、待定系數(shù)法者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。-待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有*種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有*種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：比方在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，x正周期是_____。,則y＝－4asin3b*的最小-x3小題：分析*5的系數(shù)由C5與(－1)C2兩項(xiàng)組成，相加后得*5的系數(shù)，選D；【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；最大值、最小值實(shí)際是就是函數(shù)的值域，對(duì)分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到"判別式法〞?！唷?(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①代入兩根得解得：或此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后與不等式①比較【注】在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用"判別式法〞處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。此題要求對(duì)一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的"判別式法〞：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于*的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用"判別式法〞的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。-方形，將剩余局部折成一個(gè)無蓋的矩形盒子，問*為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究?！窘狻恳李}意，矩形盒子底邊邊長(zhǎng)為(30－2*)cm，底邊寬為(14－2*)cm，高為*cm?！嗪凶尤莘eV＝(30－2*)(14－2*)*＝4(15－*)(7－*)*，顯然:15－*>0，7－*>0，*>0。4要使用均值不等式，則所以當(dāng)*＝3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm3?！咀ⅰ烤挡坏仁綉?yīng)用時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用"待定系數(shù)法〞求。此題解答中也可以令V＝(15a－a*)(7－*)b*或(15－*)(7a-a*)b*，再由使用均值不等式的最正確條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)展湊配的系數(shù)，此題也表達(dá)了"湊配法〞和"函數(shù)思想〞。a2.方程*2＋p*＋q＝0與*2＋q*＋p＝0只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為A.1B.－1C.p＋qD.無法確定-3.如果函數(shù)y＝sin2*＋a·cos2*的圖像關(guān)于直線*=-π對(duì)稱，則a＝_____。8+…+f(m)的值。所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是提醒概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和提醒了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說，定義是根本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講A.2≤n≤9B.7≤n≤9C.5≤n≤9D.5≤n≤72.設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則_____。A.MP<OM<ATB.OM<MP<ATC.AT<<OM<MPD.OM<AT<MPT3.奇函數(shù)f(*)的最小正周期為T，則f(－2T2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；-22【分析】要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函＝－2=1332222表達(dá)式是___。2.A＝{0,1}，B＝{*|*A}，則以下關(guān)系正確的選A.ABB.A≥BC.A∈BD.A∈B3.定義在R上的非零函數(shù)f(*)滿足f(*＋y)＝f(*)＋f(y)，則f(*)是_____。4.不等式a*2＋b*＋c>0的解集是(1,2)，則不等式b*2＋c*＋a<0解集是__________。-五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明*些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n0)時(shí)這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，到達(dá)無限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定"對(duì)任何自然數(shù)〔或n≥n0且n∈N〕結(jié)論都正確〞。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明以下問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。1.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝到k＋1〞，左端需乘的代數(shù)式為_____。立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)是_____。3.*個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，假設(shè)n＝k(k∈N)時(shí)該命題成立，則可推得n＝k＋1時(shí)該命題也成立?，F(xiàn)當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成立，則可推得______。(94年上海高考)A.當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立-n【簡(jiǎn)解】1小題：n＝k時(shí)，左端的代數(shù)式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時(shí)，左端的代數(shù)式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為3小題：原命題與逆否命題等價(jià)，假設(shè)n＝k＋1時(shí)命題不成立，則n＝k命題不成立，選-考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到〔2k＋3〕2－1。這樣證題過程中簡(jiǎn)潔一些，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。假設(shè)猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴(yán)密。必須要此種解法與用試值猜想證明相比，過程十分簡(jiǎn)單，但要求發(fā)現(xiàn)的裂項(xiàng)公式?？梢哉f，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。例2.設(shè)a＝1×2＋2×3+…+n(nn-n+2)2，【注】用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題，注意適中選用放縮法。此題中=k＋1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵。為什么這樣放縮，而不放大成(k＋2)，這是與目標(biāo)比較后的此題另一種解題思路是直接采用放縮法進(jìn)展證明。主要是抓住對(duì)n(n+1)的分析，注意與目標(biāo)比較后，進(jìn)展適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小。解法如下：由n(n+1)>n可得，a>1＋2＋3n+…+n＝2n(n＋1)；由n(n+1)<n＋2+…+n＝2n(n＋1)；由n(n+1)<n＋2-nn整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(【注】將證明等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)n成立的問題。在證明過程中ak+1的得出是此題解答的關(guān)鍵，利用了的等式數(shù)列中通項(xiàng)與前k+11n+1nnn-1-2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10+…+n(3n＋1)＝n(n＋1)2(n∈N)。年全國(guó)高考)試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測(cè)出f(n)的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。求f的定義域；②.在y＝f(*)的圖像上是否存在參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量〔參數(shù)〕，以此作為媒介，再進(jìn)展分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要提醒事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供-3.點(diǎn)Z的虛軸上移動(dòng)，則復(fù)數(shù)C＝z2＋1＋2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的軌跡圖像為___________________4.三棱錐的三個(gè)側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3，則其體積為______。5.設(shè)函數(shù)f(*)對(duì)任意的*、y∈R，都有f(*＋y)＝f(*)＋f(y)，且當(dāng)*>0時(shí)，f(*)<0，則f(*)的R上是______函數(shù)。(填"增〞或"減〞)用"比較法〞比較2*、3y、5z，得出3y<2*<5z；2小題：〔理〕A(-2,3)為t＝0時(shí)，所求點(diǎn)為t=±2時(shí)，即(-4,5)或(0,1)；〔文〕kk,所以ek2+k3小題：設(shè)z＝bi,則C＝1－b2＋2i,所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于*軸向右的射5小題：f(0)＝0，f(0)＝f(*)＋f(-*)，所以f(*)是奇函數(shù)，答案：-1【分析】由a＋b＋c＝1想到"均值換元法〞，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a＝3＋t1，1所以a2＋b2＋c2的最小值是3?！咀ⅰ坑?均值換元法〞引入了三個(gè)參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)展了簡(jiǎn)化，是此題此種此題另一種解題思路是利用均值不等式和"配方法〞進(jìn)展求解，解法是：a2＋b2＋c2=1兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強(qiáng)，屢次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力?！痉治觥恳C明cosα=-cos2β,考慮求出α、β的余弦，則在α和β所在的三角形中利用有關(guān)定理求解。OF；作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO=β,∠DEB=α。SEEDABC-所以cosα=-cos2β?！咀ⅰ吭O(shè)參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計(jì)算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個(gè)作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問題。2七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于"間接證明法〞一類，是從反面的角度思考問題對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括："假設(shè)肯定定理的假設(shè)而否認(rèn)其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾〞。具體地的邏輯推理，使之得到與條件、公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的"矛盾律〞和"排中律〞。在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的"矛盾律〞；兩必有一假，而條件、公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以"否認(rèn)的結(jié)論〞必為假。再根據(jù)"排中律〞，結(jié)論與"否認(rèn)的結(jié)論〞這一對(duì)立的互相否認(rèn)的判斷不能同-反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為"否認(rèn)→推理→否認(rèn)〞。即從否認(rèn)結(jié)論開場(chǎng)，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，到達(dá)新的否認(rèn)，可以認(rèn)為反證法的根本思想就是"否認(rèn)之第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到"反設(shè)〞進(jìn)展推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，則只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫"歸謬法〞；如果結(jié)論的方面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以"否認(rèn)形式〞、"至少〞或"至多〞、"唯一〞、"無限〞形式出現(xiàn)的命題；或者否認(rèn)結(jié)論更明顯。具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證1.函數(shù)f(*)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(*)＝0______。2.a<0,－1<b<0，則a、ab、ab2之間的大小關(guān)系是_____。選A；【分析】結(jié)論是"不垂直〞，呈"否認(rèn)性〞，考慮使用反證法，即假設(shè)"垂直〞后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定"不垂直〞。-【注】否認(rèn)性的問題常用反證法。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為條例2.假設(shè)以下方程：*2＋4a*－4a＋3＝0，*2＋(a－1)*＋a2＝0,*2＋2a*－2a＝0【分析】三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒有實(shí)根。3所以當(dāng)a≥-1或a≤-2時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根?！咀ⅰ?至少〞、"至多〞問題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡(jiǎn)單。此題還用到了"判別式法〞、"補(bǔ)集法〞〔全集R〕，也可以從正面直接求解，即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí)〔△≥0〕a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對(duì)不等式解集的交、并、補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹。經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于*軸；②.這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=*成軸對(duì)稱圖像。(88年全國(guó)理)?！痉治觥?不平行〞的否認(rèn)是"平行〞，假設(shè)"平行〞后得出矛盾從而推翻假設(shè)。2,y2)是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則*1≠*2,-=*－*因此假設(shè)不對(duì)，即直線MM不平行于*軸。②由得a*y－y＝*－1,即(ay－1)*＝y(tǒng)－1,所以，【注】對(duì)于"不平行〞的否認(rèn)性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)"平行〞的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與a≠1互相矛盾。第②問中，對(duì)稱問題使用反函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)展研究，方法比較巧妙，要求對(duì)反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練。24.求證：拋物線y＝x2－1上不存在關(guān)于直線*＋y＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)。25.a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求證：方程*2＋a*＋b＝0的兩個(gè)根的絕對(duì)值均小于1。一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的根本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程〔組〕、不-數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含"以形助數(shù)〞和"以數(shù)輔形〞兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來說明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，嚴(yán)密性來說明形的*些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來準(zhǔn)確地說恩格斯曾說過："數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。〞數(shù)形結(jié)合就是萬物無不是"數(shù)〞和"形〞的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。A.0<a<b<1B.0<b<a<1C3.如果,則函數(shù)f(*)＝cos2*＋sin*的最小值是_____。(89年全國(guó)文)4.如果奇函數(shù)f(*)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，則f(*A.增函數(shù)且最小值為－5B.增函數(shù)且最大值為－5-C.減函數(shù)且最小值為－5D.減函數(shù)且最大值為－5EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(π),4)yx3小題：設(shè)sin*＝t后借助二次函數(shù)的圖像4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱畫出圖像，選B；5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；6小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B；8小題:轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問題；選D；【注】以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與即借助數(shù)軸〔①題〕、圖像〔②、③、④、⑤題〕、單位圓〔⑥、⑦題〕。【分析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)展等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程-①當(dāng)1－m＝0時(shí)，有唯一解，m＝1;【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)展討論時(shí)，可以借助于函數(shù)法來求〔也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)*值〕。1.5*＋12y＝60，則x2+3.方程2x＝*2＋2*＋1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是_____。4.方程*＝10sin*的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_______。5.假設(shè)不等式m>|*－1|＋|*＋1|的解集是非空數(shù)集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________。是______。7.sin220°+cos280°+3sin20°·cos80°=_____________。-二、分類討論思想方法在解答*些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同括性，所以在高考試題中占有重要的位置。①問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)展定義的。如|a|的定義分a>情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。②問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分③解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)展討論。如解不等式a*>2時(shí)另外，*些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)展分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是"不漏不重〞。解答分類討論問題時(shí)，我們的根本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)展合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.0<a<1-3.函數(shù)的值域是_________。1x3小題：分*在第一、二、三、四象限等四種情況，答案{4,-2,0}；5小題：分*>0、*<0兩種情況，選B；【分析】比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對(duì)底-【注】此題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log*的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>1時(shí)其是a增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)其是減函數(shù)。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值②.是否存在常數(shù)c>0，使得n+1【分析】要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)展等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中＝－②.要使成立，則必有(Sn－c)(Sn+2－c)=n+1=-11-【注】本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問題為：證明 例1、例2、屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)展分類，即題型為概念、性質(zhì)型?！痉治觥亢瑓?shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大最小值等值域問題，需要先對(duì)開口方向討論，再對(duì)其拋物線【解】當(dāng)a>0時(shí)，f(*)＝a〔*－〕2＋2-EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),a)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up20(a),f)f(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(1),a))＝2-EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(1),a)>0-1【注】此題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a＝0三種情間左邊、右邊、中間。此題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是1【解】2a＋1>0時(shí)，a>4a<6a時(shí)，a>0。所以分以下四種情況討論：當(dāng)a＝0時(shí)，*2>0，解得：*≠0；11綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，*<－4a或*>6a；當(dāng)a＝0時(shí)，*≠0；當(dāng)-1-4a；當(dāng)a>－2時(shí)，6a<*<－4a。-2.非零實(shí)數(shù)a、b、c，則3.f(*)＝(a－*)|3a－*|，a是正常數(shù)，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是_____。A.當(dāng)*＝2a時(shí)有最小值0B.當(dāng)*＝3a時(shí)有最大值04.函數(shù)f(*)＝a*2－2a*＋2＋b(a≠0)在閉區(qū)間[A.a＝1,b＝0B.a＝1，b＝0或a1,b＝35.方程(*2－*－1)x+2＝1的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_____。三、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型〔方程、不等式、或方程與不等式的混合組〕，然后通過解方程〔組〕或不等式〔組〕來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，到達(dá)解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充滿著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(*)，就可以看作關(guān)于*、y的二元方程f(*)－y=0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中-觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和*些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考察的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定適宜的主變量，從而提醒其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)1.方程lg*＋*＝3的解所在的區(qū)間為2.如果函數(shù)f(*)＝*2＋b*＋c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，則_____。3.函數(shù)y＝f(*)有反函數(shù)，則方程f(*)＝a(a是常數(shù))______。6.關(guān)于*的方程sin2*＋cos*＋a＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________?！竞?jiǎn)解】1小題：圖像法解方程，也可代入各2小題：函數(shù)f(*)的對(duì)稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；-7小題：設(shè)長(zhǎng)*，則寬，造價(jià)y＝4×120＋4*×80+×80≥1760，答案：1760?！痉治觥坑蓳Q底公式進(jìn)展換底后出現(xiàn)同底，再進(jìn)展等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程組，別離參數(shù)后分析式子特點(diǎn)，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解。xx2-a2EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(x),a)x綜上所述，k的取值范圍是：k<－1或0<k<1。CyC2*【注】求參數(shù)的范圍，別離參數(shù)后變成函數(shù)CyC2*