山東省臨沂市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月階段性檢測數(shù)學(xué)檢測試卷一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中一本，則有（）種購書方法A.3 B.6 C.7 D.9【正確答案】C【分析】應(yīng)用分類加法原理結(jié)合組合數(shù)計算即可.【詳解】該同學(xué)決定至少購買一本書，則他可能購買本購買1本時：有3種可能購買2本時：有種可能購買3本時：有1種可能所有共有7種可能.故選：C.2.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其它元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)、在放射性同位素銫衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：，則銫含量在時的瞬間變化率為（）A.（太貝克/年） B.（太貝克/年）C.（太貝克/年） D.（太貝克/年）【正確答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令即可得到含量在時的瞬間變化率．【詳解】解：依題意，，所以銫含量在時的瞬間變化率為：（太貝克年），故選：．本題考查了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計算，對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)在上不存在極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】首先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，因為函數(shù)在上不存在極值點，所以在上沒有變號零點，所以，所以，所以實數(shù)t的取值范圍是．故選：D．4.某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”六張知識展板放置在六個并列的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”和“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為（）A.24 B.48 C.144 D.240【正確答案】C【分析】由捆綁法結(jié)合插空法求解；【詳解】將“立春”和“春分”兩塊展板看成一個整體，與“雨水”“谷雨”兩塊展板進(jìn)行全排列，再將“清明”和“驚蟄”兩塊展板插空，所以不同的放置方式種數(shù)為．故選：C5.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.是函數(shù)的極小值點 B.3是函數(shù)的一個極值點C.在處的切線的斜率大于0 D.的單減區(qū)間為【正確答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，依次判斷導(dǎo)函數(shù)值的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而得出極值點情況和切線斜率的正負(fù)，一一判斷選項即得.【詳解】因，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.對于A，由上分析知是函數(shù)的極大值點，故A錯誤；對于B，由上分析知，3不是函數(shù)的極值點，故B錯誤；對于C，由上分析知，，即在處的切線的斜率小于0，故C錯誤；對于D，由上分析知，的單減區(qū)間為,故D正確.故選：D.6.已知函數(shù)在處取得極值0，則（）A.6 B.12 C.24 D.12或24【正確答案】C【分析】根據(jù)在處取得極值0可得，解出即可.【詳解】由題意知，，又在處取得極值0，則，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當(dāng)時，，令或，，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，符合題意，所以，，則.故選：C.7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)，得到函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合為偶函數(shù)，變形得到，從而得到不等式，求出解集.【詳解】令，則，故在上單調(diào)遞減，是定義在上的偶函數(shù)，故，的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，，所以，所以，解得或.故選：D8.當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，化簡得到在上恒成立，令，求得，得到在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用求得函數(shù)單調(diào)性和最大值，得到，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.）9.已知數(shù)字，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（）A.組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個B.組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個C.組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個D.組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有28個【正確答案】AB【分析】根據(jù)題意，由分類分步計數(shù)原理依次分析各選項，即可得答案.【詳解】解：對A：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，其他數(shù)位有5種情況，則組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個，故選項A正確；對B：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，在剩下的4個數(shù)字中任選3個，排在后面3個數(shù)位，有種情況，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個，故選項B正確；對C：若0在個位，有個四位偶數(shù)，若0不在個位，有個四位偶數(shù)，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有個四位偶數(shù)，故選項C錯誤；對D：組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有個，故選項D錯誤；故選：AB.10.下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則展開式中各項的二項式系數(shù)的和為1C.多項式展開式中的系數(shù)為40D.被5除所得的余數(shù)是1【正確答案】ACD【分析】利用二項式定理及二項式展開式各項系數(shù)和，依次判斷各項正誤.【詳解】對于A，因為，故A正確；對于B，的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為，故B正確；對于C，因為，展開式的通項為：展開式的通項為：，當(dāng)時，的系數(shù)為；當(dāng)時，的系數(shù)為；當(dāng)時，的系數(shù)為；當(dāng)時，的系數(shù)為，所以多項式展開式中的系數(shù)為，故C正確；對于D，因為，所以被5除所得的余數(shù)是1，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.極大值點僅有一個C.無最大值，有最小值D.當(dāng)時，關(guān)于的方程共有3個實根【正確答案】BC【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項；利用函數(shù)的極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B選項，由A選項知，函數(shù)在上有一個極大值點，當(dāng)時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)有極小值點，無極大值點，綜上所述，函數(shù)僅有1個極大值點，故B正確；對于C選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無最大值，故C正確；對于D選項，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，關(guān)于的方程共有4個實根，故D錯誤.故選：BC.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某段鐵路所有車站共發(fā)行種普通車票，那么這段鐵路共有車站數(shù)是____.【正確答案】【分析】根據(jù)排列公式解方程即可.【詳解】設(shè)這段鐵路共有車站個（），所以需要普通車票種，則，即，解得，這段鐵路共有車站數(shù)是個，故答案為.13.已知多項式，則________．【正確答案】9【分析】利用賦值法即可求解.【詳解】令可得，令可得，相減可得，故914.設(shè)，，，函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，），從有序?qū)崝?shù)對中隨機抽取一對，使得恰有兩個零點的概率為_______．【正確答案】##【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最值，根據(jù)函數(shù)有兩個零點，確定的關(guān)系，再利用列舉法，求滿足條件的有序數(shù)對，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】由條件可知，滿足條件的有序數(shù)對共有個，，若函數(shù)有零點，則，即，兩邊取以為底的對數(shù)，即，設(shè)，，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值，即，因為，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，共35對滿足條件的有序數(shù)對，故所求事件的概率.故關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，結(jié)合條件得到，利用列舉法，結(jié)合古典概型求概率.四?解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.中華文化源遠(yuǎn)流長，為了讓青少年更好地了解中國的傳統(tǒng)文化，某培訓(xùn)中心計劃利用暑期開設(shè)“圍棋”?“武術(shù)”?“書法”?“剪紙”?“京劇”?“刺繡”六門體驗課程.（1）現(xiàn)有甲?乙?丙三名學(xué)生報名參加暑期的體驗課程，每人都選兩門課程，甲和乙有一門共同的課程，丙和甲?乙的課程都不同，求所有選課的種數(shù)；（2）計劃安排五名教師教這六門課程，每門課程只由一名教師任教，每名教師至少任教一門課程，教師不任教“圍棋”課程，教師B只能任教一門課程，求所有課程安排的種數(shù).【正確答案】（1）360（2）1140【分析】（1）首先確定甲和乙的相同課程、不同的課程，最后再確定丙的課程，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；（2）分只任教1科和任教2科兩種情況討論，按照分類加法計數(shù)原理計算可得.【小問1詳解】第一步，將甲和乙的相同課程選好，有種情況；第二步，再將甲和乙不同課程選好，有種情況；第三步，因為丙和甲，乙的課程都不同，所以丙的選法種情況；因此，所有選課種數(shù)為【小問2詳解】①當(dāng)只任教1科時：先排任教科目，有種；再從剩下5科中排的任教科目，有種；接下來剩余4科中必有2科為同一名老師任教，分三組全排列，共有種；所以當(dāng)只任教1科時，共有種.②當(dāng)任教2科時：先選任教的2科有中，這樣6科分為4組共有種，綜上，所有課程安排方案有種.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）最大值為，最小值為（2）【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而可求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）不等式可化為，記，則原不等式有解可轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為函數(shù)，所以，令，則或(舍去).當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，又，，所以，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故在上的最大值為，最小值為.【小問2詳解】易知的定義域為，故不等式可化為.記，則原不等式有解可轉(zhuǎn)化為.易得，時，，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，解得所以實數(shù)的取值范圍為.17.已知在的展開式中滿足，且常數(shù)項為，求：（1）二項式系數(shù)最大的項（2）系數(shù)絕對值最大的是第幾項（3）從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項，求共有多少種不同的取法．【正確答案】（1）（2）8（3）135【分析】（1）寫出二項展開式的通項并令的指數(shù)為0，利用常數(shù)項為即可求得，進(jìn)而可求解；（2）由系數(shù)絕對值最大的項等價于系數(shù)最大的項，結(jié)合不等式求解即可；（3）由通項可知展開式中有理項共有6項，無理項有5項，再利用分類分步計數(shù)原理即可求得結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)展開式的通項可得令，解得即時，常數(shù)項，解得所以二項式系數(shù)最大的項【小問2詳解】系數(shù)絕對值最大的項等價于系數(shù)最大的項；設(shè)第項系數(shù)最大，則即，又，所以，即第8項系數(shù)最大，也即展開式中第8項系數(shù)絕對值最大.【小問3詳解】令，，解得，即展開式中的有理項共有6項，無理項有5項；所以從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項的取法共有種；18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，記極大值和極小值分別為M，m，證明.【正確答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由，，得，因為函數(shù)有兩個極值點，所以方程有兩個不相等的實根，設(shè)為且，因為函數(shù)在時的圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，即，，又，即，則，又，則，，設(shè)，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.19.已知函數(shù)，其中為正實數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)有兩個極值點，求證：【正確答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析【詳解】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間（3）先根據(jù)韋達(dá)定理得，再化簡，進(jìn)而化簡所證不等式為，最后利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定最小值，證得結(jié)論試題解析：(1)因為，所以，則,所以的值為1．(2)，函數(shù)的定義域為，若,即,則