大題02數(shù)列及數(shù)列求和根據(jù)近幾年的高考情況，數(shù)列是高考數(shù)學(xué)中必考題目，高頻考點(diǎn)，解答題小題都會(huì)涉及。一般考查內(nèi)容之是等差等比數(shù)列性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。求和部分一般主要考查錯(cuò)位相減求和，裂項(xiàng)求和以及奇偶項(xiàng)討論分組求和，隨著新課程改革，數(shù)列新定義問(wèn)題也會(huì)作為壓軸題的形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生對(duì)與新概念的認(rèn)識(shí)以及子自主學(xué)習(xí)能力問(wèn)題。題型一：數(shù)列通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)求和1（24-25高三下·四川樂(lè)山·期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（為常數(shù)）(1)求a的值；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和2（24-25高三下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）設(shè)是等比數(shù)列的公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求并證明.一般地，如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是分式形式，那么往往可靈活運(yùn)用“裂項(xiàng)”求和技巧簡(jiǎn)捷求解該數(shù)列的前n項(xiàng)和．常見的“裂項(xiàng)”結(jié)論有：形如當(dāng)，時(shí)，易知形如當(dāng)，時(shí)，易知形如當(dāng)，時(shí)，易知形如當(dāng)，時(shí)，易知1（24-25高二上·浙江舟山·期末）數(shù)列滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（24-25高三下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知數(shù)列中，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和3．（24-25高三下·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型二：數(shù)列通項(xiàng)及錯(cuò)位相減求和

（貴州省畢節(jié)市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬（3月）數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.設(shè)是等差數(shù)列，是公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的常規(guī)求法是錯(cuò)位相減法，取巧可這樣做：設(shè)，則，其中，.推導(dǎo)過(guò)程請(qǐng)參考視頻，x、y的計(jì)算公式可不記，記住的形式，取和用待定系數(shù)法來(lái)算就可以了.1（24-25高三下·山西·階段練習(xí)）數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（24-25高二下·云南玉溪·開學(xué)考試）等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型三：數(shù)列通項(xiàng)及奇偶項(xiàng)討論問(wèn)題

1（24-25高三下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)證明是等差數(shù)列；(2)求；(3)求證：1（24-25高三上·云南昭通·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.2．（24-25高二下·河南開封·開學(xué)考試）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列.且，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.3．（24-25高三下·廣西·開學(xué)考試）已知函數(shù)且.(1)計(jì)算，；(2)求通項(xiàng)公式；(3)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；題型四：數(shù)列證明類問(wèn)題1（2025·甘肅蘭州·一模）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：；(3)若數(shù)列滿足，證明：（e為自然對(duì)數(shù)的底）．1（24-25高三下·福建福州·階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的最大值；2．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．題型五：數(shù)列型定義問(wèn)題1（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若存在一組正整數(shù)，使得能構(gòu)成等比數(shù)列，則稱數(shù)列為可拆數(shù)列.(1)對(duì)任意正整數(shù)，判斷數(shù)列是否為可拆數(shù)列；(2)若對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列是可拆數(shù)列，求的所有可能值；(3)若存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使得是等比數(shù)列，求的取值范圍.2（2025·山西呂梁·一模）若數(shù)列中且對(duì)任意的恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“-數(shù)列”，寫出所有可能的；(2)若“-數(shù)列”中，，求的最大值.新定義問(wèn)題的求解過(guò)程可以模型化，一般解題步驟如下：第一步：提取信息

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對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號(hào)，第二步：加工信息

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細(xì)細(xì)品味新定義的概念、法則，對(duì)所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法，有時(shí)可以用學(xué)過(guò)的或熟悉的相近知識(shí)進(jìn)行類比，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)第三步：遷移轉(zhuǎn)化

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如果是新定義的運(yùn)算法則，直接按照運(yùn)算法則計(jì)算即可，如果是新定義的性質(zhì)，一般需要理解和轉(zhuǎn)化性質(zhì)的含義，得到性質(zhì)的等價(jià)條件（如等量關(guān)系、圖形的位置關(guān)系等）第四步：計(jì)算，得結(jié)論

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結(jié)合題意進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理、計(jì)算，得結(jié)論1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整數(shù)的最大奇數(shù)因數(shù)．(1)試求的值；(2)求證：，，其中；(3)記，求．2．（24-25高三·陜西西安·期末）對(duì)于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中.對(duì)于正整數(shù)，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：..一、解答題1．（2025·山東濟(jì)寧·一模）已知數(shù)列和滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．2．（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.4．（24-25高三下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.(1)求；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2025·陜西寶雞·二模）已知：數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)記表示不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列前2025項(xiàng)和．6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，對(duì)任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)若是等差數(shù)列，求k的值；(2)若，，求；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)，，按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）對(duì)一個(gè)給定的數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)作差，得到一個(gè)新數(shù)列，，…，，…這個(gè)數(shù)列稱為的一階差數(shù)列．如果記該數(shù)列為，其中，再求的相鄰兩項(xiàng)之差，那么稱所得數(shù)列，，…，，…為原數(shù)列的二階差數(shù)列．依此類推，對(duì)任意，可以定義數(shù)列的p階差數(shù)列．如果的p階差數(shù)列是一個(gè)非零常數(shù)列，那么稱它為p階等差數(shù)列．特別地，一階等差數(shù)列就是我們常說(shuō)的等差數(shù)列，二階及二階以上的等差數(shù)列統(tǒng)稱為高階等差數(shù)列．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：數(shù)列是二階等差數(shù)列．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為．(3)設(shè)數(shù)列是一個(gè)三階等差數(shù)列，其前面的若干項(xiàng)為1，2，8，22，47，86，…，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．1．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．4．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．5．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．6．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．7．（2021·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．