課件制作WangWenHao第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征怎樣粗線條地描述r.v

的特性簡單明了、特征鮮明、直觀實(shí)用隨機(jī)變量的概率特性分布函數(shù)密度函數(shù)分布律特點(diǎn)：全面、詳細(xì)、完整不足：復(fù)雜、重點(diǎn)不突出問題？要求隨機(jī)變量的數(shù)字特征§1數(shù)學(xué)期望§2方差§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)§4矩、協(xié)方差矩陣

甲、乙兩射手進(jìn)行打靶訓(xùn)練，每人各打了100發(fā)子彈，成績?nèi)缦拢涸鯓釉u估兩人的成績？甲：每槍平均環(huán)數(shù)為可見甲的射擊水平比乙略好例甲：乙：環(huán)數(shù)次數(shù)次數(shù)環(huán)數(shù)分析兩人的總環(huán)數(shù)分別為(環(huán))乙：(環(huán))甲：乙：(環(huán))(環(huán))平均環(huán)數(shù)評估標(biāo)準(zhǔn)實(shí)際背景某班級某課程考試的平均成績電子產(chǎn)品的平均無故障時(shí)間某地區(qū)的日平均氣溫和日平均降水量某地區(qū)水稻的平均畝產(chǎn)量某地區(qū)的家庭平均年收入怎樣定義r.v

的平均值概念平均值的概念廣泛存在例如某國家國民的平均壽命問題question？

甲、乙兩射手進(jìn)行打靶訓(xùn)練，每人各打了100發(fā)子彈，成績?nèi)缦拢涸鯓釉u估兩人的成績？即平均環(huán)數(shù)為例甲：乙：環(huán)數(shù)次數(shù)次數(shù)環(huán)數(shù)進(jìn)一步分析記甲每槍擊中的環(huán)數(shù)為

因?yàn)樯鋼舸螖?shù)較多,故可認(rèn)為

的分布律為則甲射手每槍平均環(huán)數(shù)為(期望、均值)(一)離散型的數(shù)學(xué)期望r.v定義設(shè)的分布律為若級數(shù)則稱為

的數(shù)學(xué)期望

“數(shù)學(xué)期望”是歷史上沿用下來的一個(gè)名詞，可理解為在數(shù)學(xué)上對

r.v

進(jìn)行計(jì)算期望得到的值,即平均值“數(shù)學(xué)期望”(Expectation)的由來解

某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式.付款額根據(jù)使用壽命

來確定：例壽命(年)付款(元)試求該商店出售一臺(tái)電器的平均收費(fèi)額假設(shè)設(shè)出售一臺(tái)電器的收費(fèi)額為,分布律為即參數(shù)為10的指數(shù)分布密度函數(shù)為即商店出售一臺(tái)電器平均收費(fèi)額為

元解例求設(shè)的分布律為的均值為令解例求設(shè)令特別令則有在數(shù)學(xué)期望的定義中，為什么要求由高等數(shù)學(xué)知問題？分析收斂且與出現(xiàn)的先后位置無關(guān)！注則稱不存在若(期望、均值)(一)離散型的數(shù)學(xué)期望r.v定義設(shè)的分布律為若級數(shù)則稱為

的數(shù)學(xué)期望則設(shè)則設(shè)則稱(二)連續(xù)型的數(shù)學(xué)期望r.v定義設(shè)的概率密度函數(shù)為若(期望、均值)為

的數(shù)學(xué)期望注則稱不存在若注意離散型和連續(xù)型情形的形式一致性解例求設(shè)的密度函數(shù)為其它從直觀上看？解例求設(shè)從直觀上看？？奇函數(shù)即該元器件的平均壽命為解例設(shè)某元器件的壽命

服從指數(shù)分布,其密度為求

的數(shù)學(xué)期望如果某產(chǎn)品的平均壽命為

在航空、航天、軍事、醫(yī)療等領(lǐng)域，通常要求元器件達(dá)

9

級以上，這意味著該元器件的平均壽命至少為

由一萬個(gè)9

級元器件組成的電子設(shè)備的平均壽命為多少年？(小時(shí))則稱該產(chǎn)品為“

級”產(chǎn)品

越大(級別越高),失效率越低,則產(chǎn)品的平均壽命越長,可靠性越高.(年)問題(年)工程背景設(shè)每個(gè)鐵環(huán)能承受的最大拉力分別為整條鐵鏈能承受的最大拉力為解

一條鐵鏈由

個(gè)相同的鐵環(huán)構(gòu)成，鐵鏈兩端受到大小相等、方向相反的拉力

設(shè)單個(gè)鐵環(huán)不被拉斷所能承受的最大拉力為

其密度為例試求鐵鏈能承受的平均最大拉力.獨(dú)立同分布于則其分布函數(shù)為其中為單個(gè)環(huán)的最大指數(shù)分布安全承受力，即當(dāng)拉力不超過時(shí)環(huán)不會(huì)拉斷x0x0密度函數(shù)為可見服從參數(shù)為的指數(shù)分布,故即鐵鏈能承受的平均(最大)拉力為解例設(shè)

服從分布,其概率密度為計(jì)算奇函數(shù),對稱區(qū)間？不存在.故因?yàn)榱?xí)題：2、3、4、5飛機(jī)機(jī)翼受到的壓力為設(shè)已知(三)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望r.v實(shí)際背景其中

是風(fēng)速

是常數(shù),問機(jī)翼受到的平均壓力多大？則要求(概率函數(shù))一般地(普通函數(shù))一般的思路分析①②設(shè)單調(diào)增,其反函數(shù)為則令有意思的結(jié)果該結(jié)果對一般的分布和函數(shù)也成立定理設(shè)為普通函數(shù),則設(shè)

為離散型r.v,其分布律為則若①②設(shè)

為連續(xù)型r.v,其概率密度為則若注意二者的形式一致性解例設(shè)風(fēng)速設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力與風(fēng)速的關(guān)系是常數(shù)求的密度函數(shù)為其它即飛機(jī)機(jī)翼受到的平均正壓力為于是,則解例過平面上點(diǎn)任作一條直線

求由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線

的距離

的平均值.設(shè)

與

軸的夾角為故原點(diǎn)到直線

的平均距離為？？？

一公司經(jīng)營某種原料，根據(jù)調(diào)查了解到該原料的市場需求量(單位:噸),每出售一噸原料,公司可獲利1千元,若積壓一噸,則公司要損失0.5千元。問公司應(yīng)該組織多少貨源,可以使收益最大?于是公司的平均獲利為解例設(shè)公司應(yīng)組織貨源

噸,則應(yīng)有又設(shè)公司獲利

千元,則

是市場需求量

的函數(shù),且令，解得故公司應(yīng)該組織433.3噸貨源,可使平均收益最大.設(shè)為二元函數(shù),則設(shè)

的聯(lián)合分布律為則若①②則推廣的定理若設(shè)

的聯(lián)合密度為注：公式可推廣到一般的高維隨機(jī)變量求由推廣的定理有解例設(shè)服從圓域上的均勻分布,從直觀上看該結(jié)果的合理性問對連續(xù)型

r.v

進(jìn)行證明.設(shè)

為r.v，則有(四)數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)①②③設(shè),則設(shè)

為常數(shù),則只證③設(shè)則④設(shè)

相互獨(dú)立,則有對連續(xù)型

r.v

進(jìn)行證明.證④設(shè)獨(dú)立幾個(gè)推論若,則設(shè)為常數(shù)為r.v,則相互獨(dú)立,則設(shè)設(shè)的密度函數(shù)為試求例一般的思路另一種方法解三角形區(qū)域引入r.v解

一民航客車載有20位旅客自機(jī)場開出，沿途有十個(gè)?？空?如達(dá)到一個(gè)車站時(shí)沒有乘客下車就不停車.以表示停車的次數(shù),求(假定每位旅客在任一車站下車是等可能的,且各旅客是否下車相互獨(dú)立).例第站有人下車第站沒人下車位乘客在第

i

站都不下車,從而易知

旅游團(tuán)的

個(gè)游客出酒店時(shí)都將自己房間的鑰匙交給了導(dǎo)游.回到酒店后,每人從導(dǎo)游處任取一把鑰匙去開自己房間的門.試問平均有多少人能開打房門。故能開打房門的平均人數(shù)為則能打開房門的人數(shù)為解例令第人能打開房門第人不能打開房門且.故

設(shè)

件產(chǎn)品中有

件次品,在該批產(chǎn)品中任意取件,記

表示取出的次品個(gè)數(shù),求解例的分布律為稱

服從超幾何分布直接求和很難解二令第

件取出次品第

件取出正品,故因?yàn)閯t從而求得公式注：無放回取樣，且產(chǎn)品件數(shù)不一定很大構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ颓髲?fù)雜公式的值是常用的數(shù)學(xué)技巧怎樣利用r.v的分解方法求解？

有3只球，4只盒子，盒子編號為1,2,3,4.將球逐個(gè)獨(dú)立隨機(jī)地放入4只盒子中去.

以

表示其中至少有一只球的盒子的最小號