單自由度振動(dòng)系統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容引言01單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模02單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解03單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性0405單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性引言01一、引言振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)是指在振動(dòng)過程中能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。只需一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就可完全確定其幾何位置的系統(tǒng)，稱為單自由度系統(tǒng)。單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模02二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模0mx靜平衡位置彈簧原長位置c

系統(tǒng)動(dòng)能

彈性勢能

重力勢能二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

總勢能

靜平衡關(guān)系系統(tǒng)耗散功

二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

拉格朗日方程

二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

廣義力為

得到一般單自由度振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的通式

二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模例試求圖示系統(tǒng)的勢能，x為質(zhì)量塊偏離平衡位置的絕對位移，以系統(tǒng)靜平衡位置為勢能零點(diǎn)。

彈性勢能重力勢能總勢能靜平衡關(guān)系二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

需要注意的是，上述系統(tǒng)勢能計(jì)算方法僅適用于不存在基礎(chǔ)支承運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)或者存在基礎(chǔ)支承運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)中不直接受基礎(chǔ)支承運(yùn)動(dòng)影響的質(zhì)量塊與彈簧。二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模動(dòng)能勢能零勢能位置1lmak/2k/2例求系統(tǒng)做小角度微幅振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

動(dòng)能：勢能：k1k2m1m2l1l2l3x二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模例求系統(tǒng)做微幅振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體

復(fù)擺剛體質(zhì)量m對懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量重心C

求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率a0C二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模例解：固有頻率：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法若已測出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：a0C二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

動(dòng)能勢能

m二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模例

二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

靜平衡狀態(tài)

動(dòng)能勢能二、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

動(dòng)能勢能單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解03三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

拉普拉斯變換

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

（1）

杜哈美（Duhamel）積分三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

總響應(yīng)

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

（2）

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

總響應(yīng)

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解系統(tǒng)總響應(yīng)包括了系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)及穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。由于阻尼的影響，系統(tǒng)振動(dòng)的振幅將隨時(shí)間延續(xù)逐漸減小，不久后便會(huì)消失，稱為瞬態(tài)振動(dòng)或瞬態(tài)響應(yīng)。由于激勵(lì)持續(xù)作用而產(chǎn)生一種持續(xù)的等幅振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)在剛受到外界激勵(lì)時(shí)，其振動(dòng)響應(yīng)是上述瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)之和。在經(jīng)過充分長的時(shí)間間隔后，瞬態(tài)振動(dòng)趨于零，這一階段被稱為瞬態(tài)階段，以后則進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段，系統(tǒng)只有穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。因此，在分析系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，通常關(guān)注的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解例一個(gè)受簡諧激勵(lì)的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)

運(yùn)動(dòng)微分方程為

解三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

對于響應(yīng)的前兩項(xiàng)，其為初始條件引起的自由振動(dòng)響應(yīng)；第三項(xiàng)與第四項(xiàng)表示受激勵(lì)情況下，系統(tǒng)自由伴隨振動(dòng)以及受迫振動(dòng)響應(yīng)，其與系統(tǒng)的固有頻率有關(guān)。因此，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)是由自由振動(dòng)響應(yīng)，自由伴隨振動(dòng)響應(yīng)以及受迫振動(dòng)響應(yīng)疊加而成。三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解例

解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

將方波激勵(lì)展開為傅里葉級數(shù)

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解求得各個(gè)微分方程的解并加和，即可得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。接下來，求解傅里葉級數(shù)中的相關(guān)系數(shù)。

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解對于任意周期載荷激勵(lì)，都可將其先展開成傅里葉級數(shù)，從而根據(jù)疊加原理將問題轉(zhuǎn)化為對若干個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程求解，然后，將所得到的解進(jìn)行疊加，進(jìn)而得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

此時(shí)運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解

該方程的解為

提升機(jī)系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力Wv三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解例解：振動(dòng)頻率重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置則t=0時(shí)，有：振動(dòng)解：W靜平衡位置kxWv三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解振動(dòng)解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度Wv三、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)求解單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性04四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性

無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)

無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無關(guān)系不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵(lì)和考察開始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性無阻尼自由振動(dòng)無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以為振動(dòng)頻率的簡諧振動(dòng)，并且永無休止初始條件的說明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動(dòng)能四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性無阻尼自由振動(dòng)初始條件：固有頻率從左到右：時(shí)間位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性無阻尼自由振動(dòng)固有頻率計(jì)算的另一種方式：在靜平衡位置：則有：對于不易得到m和k

的系統(tǒng)，若能測出靜變形，則用該式計(jì)算是較為方便的0mx靜平衡位置彈簧原長位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性無阻尼自由振動(dòng)－最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼例如：在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼－實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，存在各種各樣的阻力－振動(dòng)中將阻力稱為阻尼：摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼－盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)固有頻率相對阻尼系數(shù)四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)

阻尼固有頻率有阻尼的自由振動(dòng)頻率有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)

三種情況：欠阻尼過阻尼臨界阻尼四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)

（1）欠阻尼振動(dòng)解：阻尼固有頻率阻尼自由振動(dòng)周期：T0：無阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)欠阻尼響應(yīng)圖形振動(dòng)解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)ξ=0ξ<1時(shí)間位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)欠阻尼響應(yīng)圖形振動(dòng)解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)不同阻尼，振動(dòng)衰減的快慢不同不同阻尼大小的振動(dòng)衰減情況阻尼大，則振動(dòng)衰減快阻尼小，則衰減慢四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)評價(jià)阻尼對振幅衰減快慢的影響與t

無關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為衰減振動(dòng)的頻率為，振幅衰減的快慢取決于，這兩個(gè)重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部減幅系數(shù)定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值：四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)減幅系數(shù)：含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用實(shí)際中常采用對數(shù)衰減率：四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)求解利用相隔

j

個(gè)周期的兩個(gè)峰值進(jìn)行求解得：當(dāng)較小時(shí)（）四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)

（2）過阻尼振動(dòng)解：

四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)過阻尼

過阻尼振動(dòng)解：一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生響應(yīng)圖形四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)（3）臨界阻尼四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)

響應(yīng)：自由振動(dòng)解：

也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些臨界阻尼系數(shù)響應(yīng)圖形tx(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)小結(jié)：動(dòng)力學(xué)方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，比過阻尼衰減快振幅衰減振動(dòng)四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)kcx0x0Pm平衡位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)解：由題知設(shè)求導(dǎo)：設(shè)在時(shí)刻t1

質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，這時(shí)速度為：即經(jīng)過半個(gè)周期后出現(xiàn)第一個(gè)振幅x1kcx0x0Pm平衡位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)由題知解得：四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)例：剛桿質(zhì)量不計(jì)求：（1）寫出運(yùn)動(dòng)微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量mlakcmb四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)解：廣義坐標(biāo)lakcmb四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)

動(dòng)能勢能

耗散功

運(yùn)動(dòng)微分方程阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：lakcmb四、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)特性有阻尼自由振動(dòng)

單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性05五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解可寫為

五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)

五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)

稱為動(dòng)力放大系數(shù)，是評估機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)工作環(huán)境的重要指標(biāo)之一。為了分析系統(tǒng)的特性，以頻率比為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)、以阻尼比ζ為參數(shù)畫出一組曲線，稱為幅頻響應(yīng)曲線。

可見：①.<<1時(shí)，即激振力頻率0遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率，無論阻尼的大小如何，動(dòng)力放大系數(shù)，振幅近似等于F0作用下的靜位移，該區(qū)域振幅B

主要由彈簧常數(shù)k控制，故稱為“彈簧控制區(qū)”。②.>>1時(shí)，即0

遠(yuǎn)大于時(shí)，無論阻尼大小如何，，此時(shí)

圖2-28五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)當(dāng)0接近時(shí)

說明共振時(shí)，如無阻尼，振幅將隨時(shí)間無限的增大，拍的周期稱為無窮大，如圖2-33。圖2-33五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性簡諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)五、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)特性偏心質(zhì)量引起的受迫振動(dòng)

系統(tǒng)在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程為

五、單