廣東省東莞市2024-2025學年高一下學期3月份月考數(shù)學檢測試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由復數(shù)的坐標表示及共軛復數(shù)概念可得答案.【詳解】由題，，故，故選：D2.在中，若，，，則邊（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】本題可根據(jù)正弦定理得出結果.【詳解】因為，，所以，則，即，解得，故選：A.3.若是平面內所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構成平面內所有向量的一個基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可.【詳解】對于A選項，，所以共線，不能作為基底；對于B選項，，所以共線，不能作為基底；對于C選項，，所以共線，不能作為基底；對于D選項，易知不共線，可以作為基底.故選：D.4.在中，若，，，則此三角形解的情況為（）A.無解 B.有兩解 C.有一解 D.有無數(shù)解【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦定理可得，從而判斷的范圍，再根據(jù)邊角關系，可得答案.【詳解】由正弦定理可得，，，，，，得，可能為銳角，也可能為鈍角，B有兩個值，故選:B.5.關于非零向量，，下列命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)向量的模、向量共線等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，向量的模相等，可能方向不相等，所以A選項錯誤.B選項，兩個向量互為相反向量，則這兩個向量平行，所以B選項正確.C選項，非零向量，，若，，則成立，所以C選項正確.D選項，向量不能比較大小，所以D選項錯誤.故選：BC.6.平行四邊形三個頂點坐標分別為，，，則頂點的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由四邊形為平行四邊形可得，利用平面向量的坐標運算，計算即可.【詳解】由題意，設，四邊形為平行四邊形，，則，即，解得，故.故選：A.7.中，、、分別是內角、、的對邊，若且，則的形狀是（）A.有一個角是的等腰三角形B.等邊三角形C.三邊均不相等的直角三角形D.等腰直角三角形【正確答案】D【分析】由推導可得的平分線垂直于邊BC，進而可得，再由給定面積導出得解.【詳解】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線AF交BC于點O，則O是BC邊的中點，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：D8.邊長為2的正三角形的內切圓上有一點P，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，然后利用三角函數(shù)和三角恒等變換等知識求得到范圍.【詳解】如圖，以正三角形的高為軸，以內切圓圓心為原點，建立直角坐標系，因為正三角形邊長為2，根據(jù)三角形面積公式得到，所以內切圓半徑，則設，，則，因，即，所以，解得，則，因為，則，則，所以.故選：D關鍵點點睛：求出內切圓半徑，設，由，可解出，利用三角函數(shù)和三角恒等變換求范圍.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知復數(shù)，，下列結論正確有（）A. B.若，則C. D.【正確答案】AC【分析】利用共軛復數(shù)的定義判斷選項A，由復數(shù)的乘法運算以及實數(shù)0的含義判斷選項B，由復數(shù)模的運算性質判斷選項C，由復數(shù)的乘法運算及模的平方判斷選項D.詳解】設對于A，，故選項A正確；對于B，因為，則，則或，所以中至少有一個0，故選項B不正確；對于C，由復數(shù)模的運算性質可知，，=故選項C正確；對于D，當，則，，所以故選項D錯誤.故選：AC.10.已知向量，，則下列命題正確的是（）A.的最大值為 B.若，則C.若是與共線的單位向量，則 D.當取得最大值時，【正確答案】AD【分析】設，，利用向量的減法的幾何意義可判定A；利用向量的數(shù)量積運算法則轉化為，可判定B；根據(jù)與共線的單位向量有兩個相反的方向，可以否定C；利用向量的數(shù)量積等于一個向量的模與另一個向量在第一個向量上的投影的乘積，轉化為求何時向量在向量上的投影最大，利用向量共線且方向相同的坐標表示即可判定D.【詳解】∵，∴是單位向量，設，，則，當，方向相反，即時取等號，∴的最大值為，故A正確；等價于即，即，∴，故B錯誤；與共線的單位向量為，故Ｃ錯誤；最大，當且僅當向量在向量上的投影最大，即向量與同向，亦即，此時，故D正確.故選：AD11.已知的內角所對的邊分別為a，b，c，其中a為定值．若的面積，則（）A.的最大值為B.的最小值為C.周長的最小值為D.的取值范圍是【正確答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件得到，，設邊上的高為，利用利用余弦定理、同角三角函數(shù)關系式和基本不等式計算判斷各個選項；【詳解】，，∴，設邊上的高為，對于A，根據(jù)余弦定理，，，，，當時，即時，等號成立，所以兩邊平方可得,所以的最大值為，故A正確.對于B，,當時，等號成立，由A可知，所以，則的最小值為，故B錯誤；對于C，周長為，當時，等號成立，，所以周長的最小值為，故C正確；對于D，兩邊同時除以，，計算可得的取值范圍是，故D正確；故選：ACD.解三角形中求最值方法1.邊的范圍或最值方法：根據(jù)邊角的各自特點，利用正（余）弦定理進行合理轉化，在利用三角函數(shù)的范圍或基本不等式進行求解；2.周長范圍或最值方法：周長問題可看作邊長問題，解決周長問題可類同求邊的范圍或最值；3.角的范圍或最值方法：可借助三角函數(shù)的有界性，或利用正（余）弦定理把三角轉化成邊，在結合不等式的相關性質進行求解；4.面積的范圍或最值方法：通常利用面積公式，將其轉化為同一類元素，然后三角函數(shù)的有界性或者實數(shù)的不等式求解三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則．【正確答案】5【分析】把已知等式變形，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)求模公式計算得答案．【詳解】由（1+i）z=1﹣7i，得，則|z|=．故答案為5．本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎題．13.如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________.【正確答案】7【分析】根據(jù)四點共圓可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【詳解】∵四點共圓，圓內接四邊形的對角和為﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故714.如圖，已知為等邊三角形，點是的重心．過點的直線與線段交于點，與線段交于點．設，且．設的周長為，的周長為，設，記，則的值域為_______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設的邊長為1，用和表示，，，再利用，得到，進而得到，通過和的范圍，求出的范圍，進而可求出的范圍.【詳解】延長，交于，因為為的重心，所以，為中點，所以，，所以，，得，整理得，，設的邊長為1，則，，在中，由余弦定理得，，所以，，因為，所以，因為，，所以，，，又，則有，因為，所以，，因為，，所以的最小值為，最大值為，所以，單調遞增，則，所以，，即的值域為故四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知復數(shù)滿足，是虛數(shù)單位.（1）若是純虛數(shù)，求值；（2）若在復平面上對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先化簡復數(shù)，由純虛數(shù)的定義可得方程組，解出即可；（2）由復數(shù)的幾何意義可得，解出的范圍即可.【小問1詳解】由，得，若是純虛數(shù)，則有，所以.【小問2詳解】復數(shù)在復平面內對應的點為，由在復平面上對應的點在第二象限，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.16.已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夾角的大小.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）由題意結合向量平行及垂直的坐標表示可求，，進而可求；（2）設向量，的夾角的大小為．先求出，，然后結合向量夾角的坐標公式可求．【小問1詳解】解：因為，，，且，，所以，，所以，，所以，；【小問2詳解】解：設向量，的夾角的大小為．由題意可得，，，所以，因為，所以．17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.【正確答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）4.【詳解】試題分析：（Ⅰ）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（Ⅰ）的條件，求解B的正切函數(shù)值即可試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，設===k（k>0）．則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin"C，所以sinAsinB=sinC．（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故tanB==4．考點：余弦定理的應用；正弦定理；余弦定理18.如圖，已知兩條公路，的交匯點處有一學校，現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠，在兩公路旁，異于點處設兩個銷售點，且滿足，千米，千米，設.（1）試用表示，并寫出的范圍；（2）當為多大時，工廠產生的噪聲對學校的影響最小即工廠與學校的距離最遠注：【正確答案】（1）（2）當時，工廠產生的噪聲對學校的影響最小【分析】（1）在中，直接由正弦定理求解即可；（2）在中，，由余弦定理求得，再由倍角公式降冪，結合輔助角公式化積，則最值可求.【小問1詳解】如圖，，在中，由正弦定理得：，；【小問2詳解】在中，，，當且僅當，即時，取得最大值36，即取得最大值6.當時，工廠產生的噪聲對學校的影響最小.19.通過平面直角坐標系，我們可以用有序實數(shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復數(shù)對看作一個向量，記，稱為復向量.類比平面向量的相關運算法則，對于，我們有如下運算法則：①；②；③；④.（1）設，求和；（2）類比平面向量數(shù)量積滿足的運算律，得出復向量的一個相關結論，判斷其是否正確并說明理由；（3）設，集合.求的最小值；并證明當取最小值時，對于任意的.【正確答案】（1）；（2）答案見解析（3）答