福建省莆田市2024-2025學年高二下學期第一次月考考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長為（

）A． B． C． D．2．如圖，在四面體OABC中，，則（

）A． B．C． D．3．如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．四邊形的周長為D．四邊形的面積為4．若m，n，l為空間三條不同的直線，為空間三個不同的平面，則下列為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．6．已知向量，，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為（

）A． B．C． D．7．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．若對任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（

）A．① B．② C．③ D．④10．已知函數(shù)f（x）=（x-a）（x-3）2，當x=3時，f（x）有極大值，則a的取值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．311．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中正確的是（

）A．若兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．若直線的方向向量，平面的法向量是，則C．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則D．若平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為，如圖所示，則該地球儀的半徑是cm.13．已知O為坐標原點，向量，點若點E在直線AB上，且，則點E的坐標為．14．如圖，將一邊長為的正方形鐵皮四角各截去一個大小相同的小正方形，然后沿虛線折起，得到一個無蓋長方體容器，若要求所得容器的容積最大，則截去的小正方形邊長為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)，而且.(1)求；(2)若l是曲線的切線，且經(jīng)過點，求l的方程.16．已知函數(shù)在處取得極大值，且極大值為3.(1)求的值：(2)求在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍.17．已知函數(shù)其中為常數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.18．在直三棱柱中，，點是的中點．(1)求異面直線所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求直線到平面的距離．19．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點，．（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）證明：．答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．D 8．B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．ABD 10．ABC 11．ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13.14．1四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．(1)(2)或【詳解】（1），則，所以，得.（2）由(1)可得，，設(shè)切點為，所以切線的斜率為，又因為，所以直線l的方程為：將代入上式并整理，可得，由此可解得或，因此，切點為或，切線方程為或，即l的方程為或.16．(1)(2)【詳解】（1）解：因為，可得，因為函數(shù)在處取得極大值，且極大值為，所以，解得.（2）解：由題意，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，可得，解得，又由，當時，；當時，；時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為在區(qū)間上不單調(diào)，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.17．（1）遞增區(qū)間，遞減區(qū)間；（2）.【詳解】（1）若時，，定義域為，則，當，，函數(shù)單調(diào)遞增，當，，函數(shù)單調(diào)遞減．（2），若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，即在上或恒成立，即或在上恒成立，即或在上恒成立，令，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以或，即或解得或或，故的取值范圍是.（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法：①分離參數(shù)法：或.②若不能分離參數(shù)，就是求含參函數(shù)的最小值，使；或是求含參函數(shù)的最大值，使得.18．(1)(2)(3)．【詳解】（1）以為軸建立按直角坐標系，則．所以，所以．故異面直線和所成角的余弦值為．.（2），，設(shè)平面的法向量為．則即，取，得設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）連接交于點，連接，易得，又平面，平面，所以平面．故點到平面的距離即為所求直線到平面的距離．記點到平面的距離為，又則．所以直線到平面的距離為．19．(1)答案見解析；(2)（i），（ii）證明見解析.【詳解】（1）由定義域為，且，令得，或，①當時，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，②當時，，在單調(diào)遞增，③當時，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）（i）由已知，，則，函數(shù)有兩個