第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§5簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．2．能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

通過求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知復(fù)合函數(shù)的概念

知識(shí)點(diǎn)

1對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝φ(x)，給定x的一個(gè)值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，那么y可以表示成x的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)____________和_____________的復(fù)合函數(shù)，記作_______________，其中u為中間變量．[提醒]

討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時(shí)，“內(nèi)層”“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等．然后從外向內(nèi)逐層求導(dǎo)．y＝f(u)u＝φ(x)y＝f(φ(x))想一想：如何求復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域？提示：由內(nèi)函數(shù)u＝φ(x)的值域包含于外函數(shù)y＝f(u)的定義域所求得的x的取值集合就是復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域．×××√復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

知識(shí)點(diǎn)

2復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)為：y′x＝_______________________＝__________________________________________.[f(φ(x))]′f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)想一想：任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合嗎？提示：只有外函數(shù)y＝f(u)的定義域與內(nèi)函數(shù)u＝φ(x)的值域的交集非空時(shí)才能復(fù)合．C2．已知函數(shù)f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝_____.[解析]

易得f′(x)＝4(2x＋a)，又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，解得a＝1.1關(guān)鍵能力?攻重難題|型|探|究題型一復(fù)合函數(shù)的概念典例1[規(guī)律方法]

1.不是任意兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合，只有內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域的交集非空時(shí)，才能復(fù)合．2．一個(gè)復(fù)合函數(shù)有不同的復(fù)合形式，要根據(jù)研究的需要進(jìn)行選擇．

函數(shù)y＝e2x－1可以看成哪兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合？[解析]

函數(shù)y＝e2x－1可以看成函數(shù)y＝eu與函數(shù)u＝2x－1的復(fù)合．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：題型二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)典例2[分析]

先分析每個(gè)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，再按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)．[規(guī)律方法]

求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟(1)函數(shù)y＝x2cos2x的導(dǎo)數(shù)為(

)A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(3)函數(shù)f(x)＝(2x＋1)5，則f

′(0)的值為_______.BB10(1)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為(

)題型三與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的切線問題典例3D3[分析]

(1)先求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線的斜率，從而求得切線在此處的傾斜角．(2)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，從而求得a的值．[規(guī)律方法]

解決與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的切線問題的關(guān)鍵有兩個(gè)：(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是正確解答的前提條件，要注意把復(fù)合函數(shù)逐層分解，求導(dǎo)時(shí)不要有遺漏．(2)求切線方程，注意切線所過的點(diǎn)是否為切點(diǎn)．

已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是_______________.[解析]

設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex－1＋x.因此，當(dāng)x>0時(shí)，f

′(x)＝ex－1＋1，f

′(1)＝e0＋1＝2.則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?2x－y＝0易|錯(cuò)|警|示對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)不完全而致誤在對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量及分析函數(shù)的復(fù)合層次是關(guān)鍵．一般從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)，最后要把中間變量變成自變量的函數(shù)．典例4

函數(shù)y＝xe1－2x的導(dǎo)數(shù)為________________________.[錯(cuò)解]

y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解]

y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.(1－2x)e1－2x[點(diǎn)評(píng)]

錯(cuò)解中對(duì)e1－2x求導(dǎo)數(shù)，沒有按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，導(dǎo)致求導(dǎo)不完全.課堂檢測(cè)?固雙基1.函數(shù)y＝(x2－1)n的復(fù)合過程正確的是(

)A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[解析]

將x2－1看作整體，記u＝x2－1，則y＝(x2－1)n由y＝un和u＝x2－1復(fù)合而成．AAB4．曲線f(