本章小結(jié)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并能用圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題.②了解指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，通過對幾類基本初等函數(shù)的變化差異進(jìn)行比較，來解決簡單的實(shí)際問題.③掌握運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二分法)；理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程；運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用，特別是單調(diào)性的應(yīng)用.難點(diǎn)：與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題和選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題.1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

類型a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1在(?∞，＋∞)上是增函數(shù)在(?∞，＋∞)上是減函數(shù)課堂導(dǎo)入復(fù)習(xí)情境2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

類型圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)課堂導(dǎo)入

課堂導(dǎo)入

課堂導(dǎo)入

課堂導(dǎo)入6.函數(shù)模型的應(yīng)用(1)要解決函數(shù)應(yīng)用問題，首先要增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)的意識.一般來說，解決函數(shù)應(yīng)用問題可分三步：第一步，理解題意，弄清關(guān)系；第二步，抓住關(guān)鍵，建立模型；第三步，數(shù)學(xué)解決、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?其中第二步尤為關(guān)鍵.(2)在解題中要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想及策略，尋求解題途徑.(3)根據(jù)已知條件建立函數(shù)解析式是函數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面.一般分為兩類：一類是借助于生活經(jīng)驗(yàn)、函數(shù)知識等建立函數(shù)模型，以二次函數(shù)模型為主，一般是求二次函數(shù)的最值.另一類是根據(jù)幾何、物理概念建立函數(shù)模型.課堂導(dǎo)入課堂導(dǎo)入課前自測

BD課堂導(dǎo)入2.(多選題)如果函數(shù)f(x)=loga|x?1|在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，那么(

)A.f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增且無最大值B.f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減且無最小值C.f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=loga|x?1|在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)=loga(1?x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，而y=1?x是減函數(shù)，所以a>1，又因?yàn)閥=x?1是增函數(shù)，所以f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增且無最大值，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)=loga|x?1|的定義域?yàn)??∞，1)∪(1，+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閒(2?x)=loga|2?x?1|=loga|x?1|=f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故選項(xiàng)D正確.故選AD.AD課堂導(dǎo)入

課堂探究探究一指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算1.指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算主要考查：對數(shù)與指數(shù)的互化對數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)換底公式利用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、計(jì)算、證明2.掌握基本運(yùn)算性質(zhì)，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課堂探究課堂探究規(guī)律方法指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算應(yīng)遵循的原則指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡順序，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.對數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價(jià)，熟練地運(yùn)用對數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式、換底公式是對數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧.課堂探究【變式訓(xùn)練1】

3

課堂探究【變式訓(xùn)練2】

C

課堂探究【變式訓(xùn)練2】

B

課堂探究1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用一是已知函數(shù)解析式求作函數(shù)圖象，即“知式求圖”；二是判斷方程的根的個(gè)數(shù)時(shí)，通常不具體解方程，而是轉(zhuǎn)化為判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.2.掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的作法以及簡單的圖象平移翻折變換，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).探究二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2

(1)若函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是(

)解析由已知函數(shù)圖象可得loga3=1，所以a=3.A項(xiàng)中函數(shù)的解析式是y=3?x，在R上單調(diào)遞減，與圖象不符；C項(xiàng)中函數(shù)的解析式是y=(?x)3=?x3，當(dāng)x>0時(shí)，y<0，與圖象不符；D項(xiàng)中函數(shù)的解析式是y=log3(?x)，在(?∞，0)上是減函數(shù)，與圖象不符；B項(xiàng)中函數(shù)的解析式是y=x3，與圖象相符.故選B.課堂探究B

課堂探究課堂探究規(guī)律方法1.識別函數(shù)的圖象從以下幾個(gè)方面入手：單調(diào)性：函數(shù)圖象的變化趨勢；奇偶性：函數(shù)圖象的對稱性；特殊點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值.2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過定點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是a0=1，loga1=0，其中a>0，且a≠1.解析(1)由f(4)g(4)<0，知a2·loga4<0，則loga4<0，可知0<a<1，故f(x)和g(x)在(0，+∞)上都單調(diào)遞減.課堂探究【變式訓(xùn)練3】(1)已知f(x)=ax?2，g(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，則y=f(x)，y=g(x)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是(

)B課堂探究【變式訓(xùn)練3】(2)若函數(shù)f(x)=loga(2x+b?1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是(

)A.0<a?1<b<1 B.0<b<a?1<1C.0<b?1<a<1 D.0<a?1<b?1<1(2)由函數(shù)圖象可知，f(x)在R上單調(diào)遞增，又y=2x+b?1在R上單調(diào)遞增，故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知?1<logab<0，即logaa?1<logab<loga1，所以a?1<b<1.綜上有0<a?1<b<1.A課堂探究

探究三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用課堂探究

課堂探究【變式訓(xùn)練4】

(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2+x)?ln(2?x)，則f(x)是(

)A.奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減A課堂探究【變式訓(xùn)練4】

課堂探究規(guī)律方法1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行.2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤.3.在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時(shí)，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.在利用單調(diào)性時(shí)，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件.課堂探究規(guī)律方法求與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.課堂探究1.函數(shù)的零點(diǎn)主要考查零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及零點(diǎn)所在區(qū)間，主要利用了轉(zhuǎn)化思想，把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與x軸交點(diǎn)以及兩函數(shù)交點(diǎn)問題.2.掌握零點(diǎn)存在定理及轉(zhuǎn)化思想，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).探究四函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根課堂探究

D課堂探究(2)函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)=?x?a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=?x?a有2個(gè)交點(diǎn).作出直線y=?x?a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知?a≤1，解得a≥?1，故選C.

C課堂探究規(guī)律方法1.已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：(1)直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.2.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.課堂探究【變式訓(xùn)練5】解析(1)若λ=2，當(dāng)x≥2時(shí)，令x?4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時(shí)，令x2?4x+3<0，解得1<x<2.綜上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集為(1，4).(2)令f(x)=0，當(dāng)x≥λ時(shí)，x=4，當(dāng)x<λ時(shí)，x2?4x+3=0，解得x=1或x=3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，如圖，結(jié)合函數(shù)的圖象知1<λ≤3或λ>4.(1，4)

課堂探究建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題的步驟：(1)對實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括，確定變量之間的關(guān)系，并分別用x，y表示.(2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時(shí)要注意函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型，并還原為實(shí)際問題的解.探究五

函數(shù)模型的應(yīng)用課堂探究例5

“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0千克/年.(1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大?并求出最大值.課堂探究

課堂探究規(guī)律方法1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解題，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，求解時(shí)要準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算，靈活進(jìn)行指數(shù)與對數(shù)的互化.2.實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.但應(yīng)關(guān)注以下兩點(diǎn)：(1)分段要簡潔合理，不重不漏；(2)分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.課堂探究【變式訓(xùn)練6】

(1)某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10m3的，按每立方米m元收費(fèi)；用水超過10m3的，超過部分加倍收費(fèi).某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為(

)A.13m3 B.14m3 C.18m3 D.26m3A課堂探究【變式訓(xùn)練6】

D課堂探究規(guī)律方法針對一個(gè)實(shí)際問題，我們應(yīng)該選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫.這當(dāng)然需要我們深刻理解已學(xué)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握已學(xué)函數(shù)的特點(diǎn)，并對一些重要的函數(shù)模型要有清晰的認(rèn)識.對于一個(gè)具體的應(yīng)用題，原題中的數(shù)量間的關(guān)系，一般是以文字和符號的形式給出，也有的是以圖象的形式給出，此時(shí)我們要分析數(shù)量變化的特點(diǎn)和規(guī)律，選擇較為接近的函數(shù)模型進(jìn)行模擬，從而解決一些實(shí)際問題或預(yù)測一些結(jié)果.

評價(jià)反饋C

評價(jià)反饋解析函數(shù)滿足f(?x)=f(x)，是偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如圖所示，所以函數(shù)的值域是(?1，0]，故選D.

D評價(jià)反饋解析因?yàn)楹瘮?shù)y=ax在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，所以最大值與最小值都在端點(diǎn)處取到，故有a0+a1=3，解得a=2，因此函數(shù)y=2ax?1，即y=4x?1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，ymax=4×1?1=3，故選C.

C評價(jià)反饋解析由已知得loga9=2，解得a=3，于是f(x)=log3x，所以f(x)