高中數學精選資源PAGE4-/NUMPAGES7章末檢測：圓錐曲線與方程一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(－10,0)，則焦點坐標為()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±eq\r(69))解析：由題意知橢圓的焦點在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦點坐標為(0，±eq\r(69))．答案：D2．在雙曲線的標準方程中，若a＝6，b＝8，則其標準方程是()A.eq\f(y2,36)－eq\f(x2,64)＝1B.eq\f(x2,64)－eq\f(x2,36)＝1C.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1D.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1或eq\f(y2,36)－eq\f(x2,64)＝1解析：因為沒有說明雙曲線的焦點所在的坐標軸，故應分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況進行討論，顯然D選項符合要求．答案：D3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，則方程表示的曲線是()A．焦點在x軸上的橢圓B．焦點在x軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓D．焦點在y軸上的雙曲線解析：將方程化為eq\f(y2,－\f(n,m))－eq\f(x2,－\f(n,m))＝1，由mn<0，知－eq\f(n,m)>0，所以方程表示的曲線是焦點在y軸上的雙曲線．答案：D4．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率是()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(3,2)解析：由題可知y＝eq\f(b,a)x與y＝－eq\f(b,a)x互相垂直，可得－eq\f(b,a)·eq\f(b,a)＝－1，則a＝b.由離心率的計算公式，可得e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝2，e＝eq\r(2).答案：C5．橢圓4x2＋9y2＝144內有一點P(3,2)，設某條弦過點P，且以P為中心，那么這條弦所在直線的方程為()A．3x＋2y－12＝0B．2x＋3y－12＝0C．4x＋9y－144＝0D．9x＋4y－144＝0解析：設滿足題意的直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x\o\al(2,1)＋9y\o\al(2,1)＝144，,4x\o\al(2,2)＋9y\o\al(2,2)＝144.))兩式相減得4(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋9(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,9y1＋y2)＝－eq\f(2,3).由此可得所求的直線方程是y－2＝－eq\f(2,3)(x－3)，即2x＋3y－12＝0.答案：B6．已知一動圓P與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內切，則動圓的圓心P的軌跡是()A．雙曲線的一支B．橢圓C．拋物線D．圓解析：由題意，知圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝1，則圓C與圓O相離，設動圓P的半徑為R.∵圓P與圓O外切而與圓C內切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1.又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即點P在以O，C為焦點的雙曲線的右支上．答案：A7．給定四條曲線：①x2＋y2＝eq\f(5,2)；②eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1；③x2＋eq\f(y2,4)＝1；④eq\f(x2,4)＋y2＝1.其中與直線x＋y－eq\r(5)＝0僅有一個交點的曲線是()A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析：直線方程為y＝－x＋eq\r(5)，k2＝1，t2＝5，由上述判定方法可得：對于①，λ＝m(1＋k2)－t2＝eq\f(5,2)×(1＋1)－5＝0，所以C與l僅有一個交點；對于②，λ＝n＋mk2－t2＝4＋9－5＝8>0，所以C與l有兩個交點；對于③，λ＝n＋mk2－t2＝4＋1＝5＝0，所以C與l僅有一個交點；對于④，λ＝n＋mk2－t2＝1＋4＝5＝0，所以C與l僅有一個交點．答案：D8．雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共焦點，它們的離心率互為倒數，則雙曲線方程為()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：由4x2＋y2＝64得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，c2＝64－16＝48，∴c＝4eq\r(3)，e＝eq\f(4\r(3),8)＝eq\f(\r(3),2).∴雙曲線中，c′＝4eq\r(3)，e′＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(c′,a′).∴a′＝eq\f(\r(3),2)c′＝6，b′2＝48－36＝12.∴雙曲線方程為eq\f(y2,36)－eq\f(x2,12)＝1，即y2－3x2＝36.答案：A9．已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，滿足eq\o(MF1,\s\up13(→))·eq\o(MF2,\s\up13(→))＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：∵eq\o(MF1,\s\up13(→))⊥eq\o(MF2,\s\up13(→))，∴點M在以F1F2為直徑的圓上，又點M在橢圓內部，∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又e>0，∴0<e<eq\f(\r(2),2).答案：C10．我們把由半橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≥0)與半橢圓eq\f(y2,b2)＋eq\f(x2,c2)＝1(x<0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如圖所示，其中點F0，F1，F2是相應橢圓的焦點．若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形．則a，b的值分別為()A.eq\f(\r(7),2)，1B.eq\r(3)，1C．5,3D．5,4解析：∵|OF2|＝eq\r(b2－c2)＝eq\f(1,2)，|OF0|＝c＝eq\r(3)|OF2|＝eq\f(\r(3),2)，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)，得a＝eq\f(\r(7),2).答案：A11．設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：拋物線y2＝8x的準線方程為x＝－2，所以Q(－2,0)．設過點Q的方程為y＝k(x＋2)，當k＝0時，顯然成立．當k≠0時，μ1＝p－2kt＝4－4k2≥10，即0<k2≤1.綜上不難得到－1≤k≤1.答案：C12．已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為()A.eq\f(5\r(2),2)＋2B.eq\f(5\r(2),2)＋1C.eq\f(5\r(2),2)－2D.eq\f(5\r(2),2)－1解析：因為拋物線的方程為y2＝4x，所以焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為點P到y(tǒng)軸的距離為d1，所以到準線的距離為d1＋1.又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1.焦點F到直線l的距離記為d，則d＝eq\f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，而|PF|＋d2≥d＝eq\f(5\r(2),2)，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥eq\f(5\r(2),2)－1，即d1＋d2的最小值為eq\f(5\r(2),2)－1.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其上一點P(3，y)到兩焦點的距離分別是6.5和3.5，則該橢圓的標準方程為________．解析：由橢圓的定義，知2a＝6.5＋3.5＝10，a＝5.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋c2＋y2＝6.52，,3－c2＋y2＝3.52，))解得c＝eq\f(5,2)，從而b2＝a2－c2＝eq\f(75,4)，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(75,4))＝114．如果過兩點A(a,0)和B(0，a)的直線與拋物線y＝x2－2x－3沒有交點，那么實數a的取值范圍是________．解析：過A，B兩點的直線方程為y＝－x＋a，拋物線方程為(x－1)2＝y(tǒng)＋4，化為x2＝y(tǒng)，此時直線方程為y＝－x＋(a＋3)，此時μ2＝pk2＋2t＝eq\f(1,2)×1＋2(a＋3)<0，解得a<－eq\f(13,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,4)))15．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率為________．解析：由題意知，a＋c＝eq\f(b2,a)，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：216．已知直線l與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，O為坐標原點，若eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝－4，則直線l恒過的定點M的坐標是________．解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝－4.當直線l的斜率不存在時，設其方程為x＝x0(x0>0)，則xeq\o\al(2,0)－4x0＝－4，解得x0＝2；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝4x，))得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝eq\f(4b,k)，則x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),16)＝eq\f(b2,k2)，得eq\f(b2,k2)＋eq\f(4b,k)＝－4，∴eq\f(b,k)＝－2，有b＝－2k，直線y＝kx－2k＝k(x－2)恒過定點(2,0)．又直線x＝2也恒過定點(2,0)，得點M的坐標為(2,0)．答案：(2,0)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)焦點分別為(0,5eq\r(2))和(0，－5eq\r(2))的橢圓截直線y＝3x－2所得弦的中點的橫坐標為eq\f(1,2)，求此橢圓的方程．解析：設橢圓的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，且a2－b2＝(5eq\r(2))2＝50①，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2,a2)＋\f(x2,b2)＝1，,y＝3x－2，))消去y，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.設弦兩端點的橫坐標分別為x1，x2，則x1＋x2＝eq\f(12b2,a2＋9b2).∵eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(6b2,a2＋9b2)＝eq\f(1,2)，即a2＝3b2②，此時Δ>0.由①②得a2＝75，b2＝25，∴橢圓的方程為eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.18．(12分)若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個公共點，試求實數a的取值集合．解析：因為直線1與曲線C恰好有一個公共點，所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax))只有一組實數，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①.(1)當a＋1＝0，即a＝－1時，方程①是關于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時，原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)當a＋1≠0，即a≠－1時，方程①是關于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq\f(4,5).所以原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))綜上，實數a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))).19．(12分)已知點A(0，eq\r(3))和圓O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，點M在圓O1上運動，點P在半徑O1M上，且|PM|＝|PA|，求動點P的軌跡方程．解析：由題意，可得圓O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16是以O1(0，－eq\r(3))為圓心，半徑r＝4的圓．因為點P在半徑O1M中，且|PM|＝|PA|，所以|O1P|＋|PA|＝|O1P|＋|PM|＝|O1M|＝4，可得點P到A(0，eq\r(3))，O1(0，－eq\r(3))的距離之和為4(常數)，因些，點P的軌跡是以點A(0，eq\r(3))，O1(0，－eq\r(3))為焦點的橢圓．因為焦點在y軸上，c＝eq\r(3)且2a＝4，所以a＝2得a2＝4，b2＝a2－c2＝4－3＝1，橢圓方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1，綜上所述，點P的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.20．(12分)已知雙曲線關于兩坐標軸對稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點P(3，－1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的漸近線平行，求此雙曲線的方程．解析：切點為P(3，－1)的圓的切線方程為3x－y＝10，因為雙曲線的一條漸近線平行于此切線，且雙曲線關于兩坐標軸對稱．所以雙曲線的漸近線方程為3x±y＝0.當焦點在x軸上時，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則其漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即eq\f(b,a)＝3，則雙曲線方程可化為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9a2)＝1，因為雙曲線過點P(3，－1)，所以eq\f(9,a2)－eq\f(1,9a2)＝1，所以a2＝eq\f(80,9)，b2＝80，所以所求雙曲線方程為eq\f(x2,\f(80,9))－eq\f(y2,80)＝1.當焦點在y軸上時，設雙曲線方程為eq\f(y2,a′2)－eq\f(x2,b′2)＝1(a′>0，b′>0)，則漸近線方程為y＝±eq\f(a′,b′)x，即eq\f(a′,b′)＝3，則雙曲線方程可化為eq\f(y2,9b′2)－eq\f(x2,b′2)＝1，因為雙曲線過點P(3，－1)，所以eq\f(1,9b′2)－eq\f(9,b′2)＝1，得－eq\f(80,9b′2)＝1，無解．綜上可知所求雙曲線方程為eq\f(x2,\f(80,9))－eq\f(y2,80)＝1.21．(12分)已知點P(3,4)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一點，F1，F2為橢圓的兩焦點，若PF1⊥PF2，試求：(1)橢圓的方程；(2)△PF1F2的面積．解析：(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，則b2＝a2－c2.因為PF1⊥PF2，所以kPF1·kPF2＝－1，即eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，解得c＝5，所以設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－25)＝1.因為點P(3,4)在橢圓上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,a2－25)＝1.解得a2＝45或a2＝5.又因為a>c，所以a2＝5(舍去)．故所求橢圓方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝6eq\r(5)，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝20.22．(12分)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點和拋物線y2＝4eq\r(3)x的焦點相同，且橢圓過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2))).(1)求橢圓方程；(2)過點(3,0)的直線交橢圓于A，B兩點，P為橢圓上一點，且滿足eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝λeq\o(OP,\s\up13(→))(λ≠0，O為原點)，當|AB|<eq\r(3)時，求實數λ的取值范圍．解析：(1)y2＝4eq\r(3)x，焦點F(eq\r(3)，0)，所以c＝eq\r(3)，橢圓焦點為(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，所以2a＝eq\r(－2