PAGEPAGE1第42講橢圓1.已知橢圓的長軸長是8,離心率是34,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (A.x216+yB.x216+y27=1或xC.x216+yD.x216+y225=1或x2.已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),A.2 B.3 C.4 D.93.[2024·清華高校附中月考]若橢圓x24+y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P是橢圓上隨意一點(diǎn)(非左、右頂點(diǎn)),則△PF1F2A.8 B.6 C.4 D.34.已知橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32,且橢圓G上一點(diǎn)到橢圓G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為.5.[2024·河南中原名校聯(lián)考]已知點(diǎn)M在橢圓x236+y29=1上,MP'垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線,垂足為P',并且M為線段PP'的中點(diǎn),則6.[2024·孝感模擬]已知橢圓x2100+y236=1上的一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6,點(diǎn)M是PF1的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OM|A.2 B.4 C.7 D.147.[2024·新疆華山中學(xué)月考]橢圓x29+y22=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,若|PF1|=4,則∠F1PF2A.12 B.-1C.32 D.-8.[2024·安徽江南十校聯(lián)考]已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠F1PF2=π3,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則1e1+3eA.223 B.C.23 D.229.已知橢圓的方程為x2a2+y2b2=1b≥32a>0,橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1A.0,32 C.34,1 10.[2024·泉州質(zhì)檢]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,過F且斜率為3的直線交C于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方),線段AB的中點(diǎn)為M,線段AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)P.若△PFB的面積是△PFM的面積的2倍,A.13 B.C.23 D.11.[2024·河南鞏義模擬]已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形,且60°<∠PF1F2A.3-B.3C.12D.012.已知橢圓x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M在橢圓上,若MF1·MF2=0,則M13.設(shè)F1,F2分別是橢圓x216+y212=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,若△PF1F2為直角三角形,則△PF1F214.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A,B兩點(diǎn).(1)寫出C的方程;(2)若OA⊥OB,求k的值.15.[2024·河南中原名校聯(lián)考]已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為G,直線FG與直線x-3y=0垂直,橢圓E經(jīng)過點(diǎn)(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)F作橢圓E的兩條相互垂直的弦AB,CD,若弦AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,證明:直線MN恒過定點(diǎn).16.[2024·郴州二中月考]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P在橢圓上(異于橢圓C的左、右頂點(diǎn)),過右焦點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線L的垂線F2Q,交L于點(diǎn)Q,且|OQ|=2(O(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l:x=my+4(m∈R)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A',直線A'B交x軸于D,求當(dāng)△ADB的面積最大時(shí),直線l的方程.課時(shí)作業(yè)(四十二)1.B[解析]∵a=4,e=34,∴c=∴b2=a2-c2=16-9=7,∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216+y27=1或x22.B[解析]由題意得m2=25-(-4)2=9,又因?yàn)閙>0,所以m=3,故選B.3.B[解析]由橢圓x24+y23=1,得a2=4,b2=3,∴c2=a2-b2=4-3=1,則a=2,c=1,∴△PF1F2的周長為PF1+PF2+F1F2=2a+2c=24.x236+y29=1[解析]設(shè)橢圓G的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),依據(jù)橢圓的定義及題意,得2a=12,即a=6.又ca=32,所以c=33,故b2=a2-c2=36-5.x2+y2=36[解析]設(shè)P(x,y),則Mx,y2.∵點(diǎn)M在橢圓x236+y29=1上,∴x236+y236=1,∴P點(diǎn)的軌跡方程為6.C[解析]設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F2,連接PF2,依據(jù)橢圓的定義得|PF2|=20-6=14,在△PF1F2中,M,O分別是PF1,F1F2的中點(diǎn),∴|OM|=12|PF2|=7,故選C7.B[解析]依據(jù)題意,橢圓的方程為x29+y22=1,∴a=9=3,b=2,則c=∴|F1F2|=27,|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|=4,∴|PF2|=6-|PF1|=2,∴cos∠F1PF2=42+2故選B.8.D[解析]設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0),由題知a12-b12=a22+b22=c2.設(shè)|PF1|=x,|PF2|=y,|F1F2|=2c,∵∠F1PF∵4c2=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,4c2=x2+y2-xy=(x-y)2+xy=4a22+xy,∴4c2-4a12+3(4c2-4a22)=0,即4c2=a12+3a22,∴4=a12c2+3a22c2,即1e12+3e22=4,∴1e1+3e22≤2∴所求最大值為22.故選D.9.D[解析]∵b≥32a>0,焦點(diǎn)在x軸上,∴1>ba≥32,∴0<e=1-(ba)

2≤12.∵方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1,x2,Δ>0恒成立,∴x1+x2=-ba,x1x2=-ca,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+2ca=a2-c2a2+2e=-e2+2e+110.C[解析]設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知y1>0,y2<0,直線AB的方程為y=3(x+c),由y=3(x+c),x2a2+y2b2=1消去x整理得(3a2+b2)y2-23b2cy-3b4=0,∴y1+y2=23b2c3a2+b2①,y1y2=-3b43a2+b2②.∵△PFB的面積是△PFM的面積的2倍,∴|BF|=2|MF|,又M為AB的中點(diǎn),∴y2=-2yM=-2×y1+11.B[解析]由題意可得|PF1|=|F1F2|=2c,由橢圓的定義可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-2c.設(shè)∠PF1F2=θ,∵60°<∠PF1F2<120°,∴-12<cosθ<1在△PF1F2中,由余弦定理可得cosθ=c2-a2+2ac2c2,又由-12<cosθ<12.263[解析]由題意知,點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓上,該圓的方程是x2+y2=3,即y2=3-x2,代入橢圓方程得x24+3-x2=1,解得x2=83,則|x|=263,13.6[解析]由橢圓x216+y212=1可得a2=16,b2=12,∴c2=a2-b2=4.則在Rt△POF1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中,tan∠OPF1=223=33,∴∠OPF1=30°,∴∠F1PF∴當(dāng)P在橢圓上隨意位置時(shí),∠F1PF2≤60°恒成立,故不行能有PF1⊥PF2的狀況,∴PF1⊥x軸或PF2⊥x軸.將x=±2代入橢圓方程得416+y212=1,∴△PF1F2的高h(yuǎn)=3,∴△PF1F2的面積S=12|F1F2|·h=12×4×3=14.解:(1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡C是以(0,-3),(0,3)為焦點(diǎn),長半軸長為2的橢圓,橢圓的短半軸長b=22-(故C的方程為x2+y24=(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由x2+y24=1,y=kx+1消去y并整理得(k其中Δ=4k2+12(k2+4)>0恒成立,故x1+x2=-2kk2+4,x1x若OA⊥OB,則x1x2+y1y2=0,又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=-3k2+4-3k2k化簡得-4k2+1=0,所以k=±1215.解:(1)因?yàn)橹本€FG與直線x-3y=0垂直,所以|OG|=3|OF|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),即b=3c,所以a2=b2+c2=43b2因?yàn)辄c(diǎn)P1,32在橢圓E上,所以1a2+94b由a2=所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2(2)證明:①當(dāng)直線AB或直線CD的斜率不存在時(shí),直線MN的方程為y=0.②當(dāng)直線AB,CD的斜率都存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m≠0),則直線CD的方程為x=-1my+1由x24+y23=1,x=my+1消去x整理得(3m設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-6m3m2+4,y1則x1+x2=m(y1+y2)+2=83由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M43m2+4,-用-1m代替點(diǎn)M坐標(biāo)中的m,可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為4m24m所以直線MN的方程為x-4(m2令y=0,得x=47所以直線MN經(jīng)過定點(diǎn)47,0.綜上,直線MN經(jīng)過定點(diǎn)47,0.16.解:(1)由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的平行四邊形的面積為4×12ab=43,得ab=23延長F2Q交直線F1P于點(diǎn)R,因?yàn)镕2Q為∠F1PF2的外角平分線的垂線,所以|PF2|=|PR|,Q為F2R的中點(diǎn),所以|OQ|=|F1R|2=所以a=2,又ab=23,所以b=3,所以橢圓C的方程為x24+y2(2)由x=my+4整理得(3m2+4)y2+24my+36=0,由Δ=(24m)2-4×36(3m2+4)=144(m2-4)>0,得m2>4.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A'(x1,-y1),由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1+y2=-24m3m2+4,y直線