第頁，共頁重慶市字水中學(xué)2025年4月高2027屆學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.考生必須按照題號在答題卡各題號相對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)（黑色線框）作答，寫在草稿紙上、超出答題區(qū)域或非題號對應(yīng)的答題區(qū)域的答案一律無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知角，則角是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】由終邊相同角和象限角的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?所以角與角終邊相同，又因?yàn)樗越窃诘谌笙?故選：C.2.已知平面向量，則“”是“，共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若則，共線，故充分性成立；若，共線，不一定得到，如，，顯然滿足，共線，但是不存在實(shí)數(shù)使得，故必要性不成立；所以“”是“，共線”的充分不必要條件.故選：A3.已知函數(shù)，則（）A.-1 B.2 C.0 D.-2【答案】D【解析】【分析】將代入式子計算，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.4.在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用平面向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得解.【詳解】如圖，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.故選：B.5.把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向右平行移動個單位長度，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，所得的圖像的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得解析式.【詳解】將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)向右平行移動個單位長度，得到解析式，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，得到解析式.故選：C.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件求得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以所?故選：B.7.已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量的意義求得答案.【詳解】根據(jù)題意，平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若，則有，變形可得,由數(shù)乘的定義，有.故選：D8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由商數(shù)關(guān)系、二倍角公式化簡得，即可得解.【詳解】所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.向量在向量上的投影向量可表示為B.若，則與的夾角的范圍是C.若是等邊三角形，則、的夾角為D.若，，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的計算公式即可判斷B；根據(jù)向量夾角的定義即可判斷C；舉例，即可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)投影向量的定義可得向量在向量上的投影向量為，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，又，所以，故B正確；對于C，若是等邊三角形，則、的夾角為，故C錯誤；對于D，若，則滿足，，但不一定共線，故D錯誤.故選：AB.10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)與，的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷各項(xiàng)即可得到結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的部分圖象知，，且，所以，所以，又，所以，即，又，所以，所以.對于A，當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；對于C，令，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，可得函數(shù)與有4個交點(diǎn)，令，解得；令，解得；其中關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.是周期函數(shù) B.最大值為1C.關(guān)于對稱 D.最小值【答案】ACD【解析】【分析】通過判斷A；通過判斷C；令，通過求函數(shù)的最值判斷BD.【詳解】則為的周期，故A正確；，則是的對稱軸，故C正確；令，則，則，對稱軸為，故的最小值為，最大值為，故B錯誤；D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量與的夾角為60°，，，當(dāng)時，實(shí)數(shù)_____.【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量積為0，列方程求出得值.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，，，由知，所以，所以，解得.故答案為：.13.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有3個零點(diǎn)，則的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件先求出整體角的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象即可判斷.【詳解】由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知，，則的最小值為.故答案為：.14.已知平面上三個不同的單位向量、、滿足，若為平面內(nèi)任意單位向量，則的最大值為_____【答案】【解析】【分析】先求出，再求出，再求出，即得最大值.【詳解】因?yàn)?，且、、為單位向量，所以，因?yàn)樗耘c與夾角為，易得與的夾角為，所以.設(shè)，由題意得，，又因?yàn)?所以，所以最大值為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.設(shè)，是兩個不共線的向量，已知，，.（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）實(shí)數(shù)的值為9.【解析】【分析】（1）由平面向量的線性表示與共線定理，證明、共線，得出A，B，D三點(diǎn)共線；（2）由平面向量的共線定理列方程求出的值.【小問1詳解】由，，，所以，所以，所以、共線，且有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.【小問2詳解】由，且，所以，即，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的值為9.16.已知，，，（1）求：（2）求向量在方向上的投影向量.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的運(yùn)算法則得，由向量的模的運(yùn)算得；（2）根據(jù)投影向量的運(yùn)算計算即可.【小問1詳解】，所以，所以，所以.【小問2詳解】，所以在方向上的投影向量為.17.已知函數(shù)的最小正周期為，且.（1）求函數(shù)的解析式，并寫出取最大值時相應(yīng)的取值集合：（2）求函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間：【答案】（1）；取最大值2時，的取值集合為.（2），【解析】【分析】（1）由最小正周期為，得，根據(jù)，結(jié)合可得，從而可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2），根據(jù)正弦函數(shù)得單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，所以，，所以，即，?dāng)，即時，取最大值2，即取最大值2時，的取值集合為.【小問2詳解】依題意得，若單調(diào)遞減，則，所以，又，令，得其減區(qū)間為，.18.已知函數(shù).（1）已知，求的值；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合三角恒等變化化簡得，得到，然后將利用誘導(dǎo)公式，余弦的倍角公式轉(zhuǎn)化計算.（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，即；由（1）得，求出當(dāng)時,，進(jìn)而求得的最大值，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】當(dāng)時,，可得，由不等式恒成立，可得不等式恒成立，所以，所以當(dāng)時，取到最大值，，所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，若在仿射坐標(biāo)系下，則把有序數(shù)對叫做向量的仿射坐標(biāo)，記為.若滿足，則稱是仿射坐標(biāo)系下的“完美向量”，已知在仿射坐標(biāo)系下，.（1）若，求向量的仿射坐標(biāo)，并寫一個“完美向量”的仿射坐標(biāo)（不需要說明理由）；（2）當(dāng)時，是仿射坐標(biāo)系下的“完美向量”，且，求（3）設(shè)，若對恒成立，求的最大值.【答案】（1）向量的仿射坐標(biāo)為；其中一個“完美向量”的仿射坐標(biāo)為.（2）（3）【解析】【分析】（1）由題中新定義和平面向量的線性運(yùn)算計算即可；（2）由題中新定義結(jié)合三角恒等