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文檔簡介
專題05三角形中的倒角模型-雙角平分線(三角形)模型
模型1、雙角平分線模型
圖1圖2圖3
1)兩內(nèi)角平分線的夾角模型
1
條件:如圖1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線BE,CF交于點G;結(jié)論:BGC90A.
2
2)兩外角平分線的夾角模型
1
條件:如圖2,在△ABC中,BO,CO是△ABC的外角平分線;結(jié)論:O90A.
2
3)一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型
1
條件:如圖3,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角,兩條角平分線相交于點P;結(jié)論:PA.
2
圖4圖5圖6
4)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型
條件:如圖4,BP、CP平分∠ABC、∠DCB,兩條角平分線相交于點P;結(jié)論:2PAD
5)兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件:如圖5,BP、DP平分∠BCD、∠CDE,兩條角平分線相交于點P;結(jié)論:2PABE180
6)一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型(累計平分線)
條件:如圖6,A,ABC,ACD的平分線相交于點P1,P1BC,P1CD的平分線相交于點P2,P2BC,
PCD的平分線相交于點P……以此類推;結(jié)論:P的度數(shù)是.
23n2n
7)旁心模型
旁心:三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點
條件:如圖,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角,兩條角平分線相交于點D;結(jié)論:AD平分∠CAD
例1.(2022秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在ABC中,點P是ABC內(nèi)一點,且點P到ABC三
邊的距離相等,若BPC124,則A.
【答案】68
【分析】由條件可知BP、CP平分ABC和ACB,利用三角形內(nèi)角和可求得A.
【詳解】解:∵點P到ABC三邊的距離相等,
∴BP平分ABC,CP平分ACB,
∴A180(ABCACB),180(2PBCPCB)
1802(180BPC)1802(180124)68故答案為:68.
【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定,掌握角平分線的交點到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.
例2.(2022·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在五邊形ABCDE中,ABEa,DP,CP分別平
分EDC,BCD,則P的度數(shù)是.
1
【答案】90
2
【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式、三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可求解.
【詳解】解:∵五邊形的內(nèi)角和為52180540,∴EDCBCD540,
11
∵DP,CP分別為EDC、BCD的平分線,∴PDCEDC,PCDBCD,
22
11
∴PDCPCDEDCBCD540,
22
111
∴P18054090,故答案為:90.
222
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式,牢記n邊形的內(nèi)角和為n2180是解題關(guān)鍵.
例3.(2023·山東濟南·??寄M預(yù)測)如圖1,在ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE
1
交于點O.(1)求證:∠AOC=90°+∠ABC;(2)當(dāng)△∠ABC=90°時,且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,
2
CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
4
【答案】(1)見解析(2)AE+CD=AC,證明見解析
3
11
【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,
22
即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;(3)在AC上分別截取AM、CN,使
AM=AE,CN=CD,連接OM,ON,證AEO≌△AMO,DCO≌△NCO,推出∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,
OD=ON,求出∠MON=∠MOA=45°△,根據(jù)角平分線性△質(zhì)求出MK=ML,據(jù)此計算即可求解.
【詳解】(1)證明:∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,
11
∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O.∴∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,
22
111
∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=(180°-∠ABC)=90°-∠ABC,
222
11
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-(90°-∠ABC),即∠AOC=90°+∠ABC;
22
4
(2)解:AE+CD=AC,
3
1
證明:如圖2,∵∠AOC=90°+∠ABC=135°,∴∠EOA=45°,
2
在AC上分別截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,連接OM,ON,
AEAM
則在△AEO和△AMO中,EAOMAO,∴△AEO≌△AMO,
AOAO
同理△DCO≌△NCO,∴∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,OD=ON,
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°,∴∠MON=∠MOA=45°,
過M作MK⊥AD于K,ML⊥ON于L,
11AOSAOM
∴MK=ML,SAOM=AO×MK,SMON=ON×ML,∴,
22ONSMON
△△
SAOMAMAOAMAO3AOAM344
∵,∴,∵AO=3OD,∴,∴,∴AN=AM=AE,
SMONMNONMNOD1ONMN133
4
∵AN+NC=AC,∴AE+CD=AC.
3
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,角平分線定義和性質(zhì),三角形的面積,三角形內(nèi)角和定理
的應(yīng)用,熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵.
例4.(2023秋·成都市·八年級專題練習(xí))如圖,在ABC中,B58,三角形兩外角的角平分線交于點
E,則AEC.
【答案】61°
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義求得
∠EAC+∠ECA的度數(shù),即可解答.
【詳解】解:∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°,∠B=58°,∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°,
∵∠BAC+∠DAC=180°,∠BCA+∠ACF=180°,
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣(∠BAC+∠BCA)=360°﹣122°=238°,
11
∵AE平分∠DAC,CE平分∠ACF,∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF,
22
1
∴∠EAC+∠ECA=(∠DAC+∠ACF)=119°,∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°,
2
∴∠AEC=180°﹣(∠EAC+∠ECA)=180°﹣119°=61°,故答案為:61°.
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義,熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角
平分線的定義是解答的關(guān)鍵.
例5.(2023·湖北·八年級專題練習(xí))如圖,已知在ABC中,B、C的外角平分線相交于點G,若
ABCm,ACBn,求BGC的度數(shù).
1
【答案】BGCmn
2
【分析】運用角平分線的知識列出等式求解即可.解答過程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)系.
【詳解】解:∠B、∠C的外角平分線相交于點G,
111
在BCG中,∠BGC=180°-(∠EBC+∠BCF)=180°-(∠EBC+∠BCF)
222
111
=180°-(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°-(180°-m°+180°-n°);=mn
222
【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的知識.此類題的關(guān)鍵是找出與之相關(guān)的等量關(guān)系
簡化計算得出.
例6.(2023·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期中)如圖,CD、BD分別平分∠ACE、∠ABC,∠A=70°,則∠BDC
=()
A.35°B.25°C.70°D.60°
【答案】A
11
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠CBD=∠ABC,∠DCE=∠ACE,再根據(jù)三角形的一個外角等于與
22
1
它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠DCE=∠D+∠CBD,∠ACE=∠A+∠ABC,然后整理求出∠D=∠A.
2
11
【詳解】解:∵CD、BD分別平分∠ACE、∠ABC,∴∠CBD=∠ABC,∠DCE=∠ACE,
22
由三角形的外角性質(zhì)得,∠DCE=∠D+∠CBD,∠ACE=∠A+∠ABC,
11
∴∠D+∠CBD=(∠A+∠ABC)∴∠D=∠A,
22
1
∵∠A=70°,∴∠D=×70°=35°.故選:A.
2
【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì),角平分線的定義,注意整體思想的利用是解答的關(guān)鍵.
例7.(2022秋·八年級課時練習(xí))如圖,BA1和CA1分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線,BA2是A1BD
的平分線,CA2是A1CD的平分線,BA3是A2BD的平分線,CA3是A2CD的平分線,……以此類推,若
A,則A2020.
【答案】
22020
11
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC,∠A1CD=∠ACD,再根據(jù)三角形的一個外角等于與
22
1
它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,整理即可得解AA,同
12
1
理求出∠A2,∠A3,可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的,根據(jù)此規(guī)律即可得解.
2
【詳解】∵A1B是∠ABC的平分線,A1C是∠ACD的平分線,
11
∴∠A1BC=∠ABC,∠A1CD=∠ACD,
22
又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,
111
∴(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠A1,∴∠A1=∠A,
222
1111
∵∠A=α.∠A1=∠A=α,同理可得∠A2=∠A1=α,
22222
根據(jù)規(guī)律推導(dǎo),∴A,故答案為.
20202202022020
【點睛】本題主要考查的是三角形外角性質(zhì),角平分線定理,熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩
個內(nèi)角的和的性質(zhì),角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.
例8.(2023春·成都市七年級課時練習(xí))如圖在△ABC中,BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE
為外角∠ACD的平分線,交BO的延長線于點E,記BAC1,BEC2,則以下結(jié)論①122,
②BOC32,③BOC901,④BOC902,正確的是.(把所有正確的結(jié)論
的序號寫在橫線上)
【答案】①④
1
【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì),即可得到∠1=2∠2,∠BOC=90°+∠1,∠BOC=90°
2
+∠2,再分析判斷.
11
【詳解】∵CE為外角∠ACD的平分線,BE平分∠ABC,∴∠DCE=∠ACD,∠DBE=∠ABC,
22
11
又∵∠DCE是△BCE的外角,∴∠2=∠DCE?∠DBE=(∠ACD?∠ABC)=∠1,故①正確;
22
11
∵BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=ABC,∠OCB=∠ACB,
22
111
∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?(∠ABC+∠ACB)=180°?(180°?∠1)=90°+∠1,
222
故②、③錯誤;
11
∵OC平分∠ACB,CE平分∠ACD,∴∠ACO=∠ACB,∠ACE=∠ACD,
22
11
∴∠OCE=(∠ACB+∠ACD)=×180°=90°,
22
∵∠BOC是△COE的外角,∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2,故④正確;故答案為:①④.
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì),以
及角平分線的定義.
例9.(2023秋·廣東佛山·八年級??计谀?)如圖1所示,在ABC中,ABC和ACB的平分線將
1
于點O,則有BOC90A,請說明理由.
2
(2)如圖2所示,在ABC中,內(nèi)角的平分線ABC和外角ACD的平分線交于點O,請直接寫出BOC
與BAC之間的關(guān)系,不必說明理由.
1
(3)如圖3所示,AP,BP分別平分CAD,CBD,則有P(CD),請說明理由.
2
(4)如圖4所示,AP,BP分別平分CAM,CBD,請直接寫出P與C,D之間的關(guān)系,不必說
明理由.
11
【答案】(1)理由見解析;(2)∠BAC=2∠BOC;(3)理由見解析;(4)PD+C90
22
【分析】(1)根據(jù)OB是∠ABC的角平分線,OC是∠ACB的角平分線,利用三角形的內(nèi)角和等于180°即可得
出結(jié)果;(2)根據(jù)OB是∠ABC的角平分線,OC是∠ACD的角平分線,利用三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果;
(3)根據(jù)AP是∠DAC的角平分線,BP是∠DBC的角平分線,利用三角形的外角性質(zhì)列出等式
∠D+∠DAP=∠P+∠DBP,∠P+∠PAC=∠PBC+∠C,分析等式即可得出結(jié)果;
(4)AP是∠MAC的角平分線,BP是∠DBC的角平分線,設(shè)∠DBP=∠PBC=x,∠MAP=∠PAC=y,利用三角形外
角性質(zhì)和內(nèi)角和性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】解:(1)∵OB是∠ABC的角平分線,OC是∠ACB的角平分線∴∠ABO=OBC,∠ACO=∠OCB
1
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=180A290A
2
11
∴∠BOC==18090A90A
22
(2)∵OB是∠ABC的角平分線,OC是∠ACD的角平分線∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCD
∵∠BAC+∠ABC=∠ACD,∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD
∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC
(3)∵AP是∠DAC的角平分線,BP是∠DBC的角平分線∴∠DAP=∠PAC,∠DBP=∠PBC
∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP,∠P+∠PAC=∠PBC+∠C
1
∴∠D-∠P=∠P-∠C∴P(CD)
2
(4)∵AP是∠MAC的角平分線,BP是∠DBC的角平分線
∴∠MAP=∠PAC,∠DBP=∠PBC設(shè)∠DBP=∠PBC=x,∠MAP=∠PAC=y
∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-(∠C+2x)-y
∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-(∠C+2x)-y=y
111111
∴x+y=DC90∴PDC90C∴PD+C90
222222
【點睛】本題主要考查的是角平分線性質(zhì)的綜合運用,正確的掌握角平分線的性質(zhì)以及運用是解題的關(guān)鍵.
例9.(2023·江蘇八年級課時練習(xí))(1)如圖所示,在ABC中,BO,CO分別是ABC和ACB的平分
1
線,證明:BOC90A.
2
1
(2)如圖所示,ABC的外角平分線BD和CD相交于點D,證明:BDC90A.
2
1
(3)如圖所示,ABC的內(nèi)角平分線BD和外角平分線CD相交于點D,證明:DA.
2
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析
【詳解】(1)設(shè)ABOOBCx,ACOBCOy.
由ABC的內(nèi)角和為180,得A2x2y180.①
由BOC的內(nèi)角和為180,得BOCxy180.②
由②得xy180BOC.③
把③代入①,得A2180BOC180,
1
即2BOC180A,即BOC90A
2
(2)∵BD、CD為ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線,
11
∴BCDA△ABC、DBCAACB,
22
由三角形內(nèi)角和定理得,BDC180BCDDBC,
111
=180°-[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)],=180°-(∠A+180°),=90°-∠A;
222
(3)如圖:
∵BD為ABC的角平分線,交AC與點E,CD為ABC外角∠ACE的平分線,兩角平分線交于點D
1
∴∠1=∠△2,∠5=(∠A+2∠1),∠3=∠4,△
2
在ABE中,∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①
1
在△CDE中,∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-(∠A+2∠1),
2
即△2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2(∠1+∠3)-∠A②,
1
把①代入②得∠D=∠A.
2
【點睛】此題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系,角平分線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,屬中學(xué)常規(guī)題.
課后專項訓(xùn)練
1.(2023·成都·八年級月考)如圖,ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點P,
若BPC40,則CAP()
A.40B.45C.50D.60
【解答】解:延長BA,作PNBD,PFBA,PMAC,設(shè)PCDx,
CP平分ACD,ACPPCDx,PMPN,
BP平分ABC,ABPPBC,PFPN,PFPM,
BPC40,ABPPBCPCDBPC(x40),
BACACDABC2x(x40)(x40)80,CAF100,
PAPA
在RtPFA和RtPMA中,,
PMPF
RtPFARtPMA(HL),F(xiàn)APPAC50.故選:C.
2.(2023秋·綿陽市·八年級專題練習(xí))如圖,在ABC中,ABC50,ACB60,點E在BC的延長
線上,ABC的平分線BD與ACE的平分線CD相交于點D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是()
A.BAC70B.DOC90C.BDC35D.DAC55
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可求出BAC,即可判斷A選項;根據(jù)角平分線的定義求出
ABO,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出AOB,然后利用對頂角,即可判斷B選項;根據(jù)鄰補角的定義
和角平分線的定義求出∠DCO,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出BDC,即可判斷C選項;利用角平分線
的性質(zhì),推出AD為ABC的外角平分線,然后列式計算求出DAC,即可判斷D選項.
【詳解】解:ABC50,ACB60,
BAC180ABCACB180506070,故A選項正確,不符合題意;
11
QBD平分ABC,ABOABC5025,
22
在ABO中,AOB180BACABO180702585,
DOCAOB85,故B選項錯誤,符合題意;
111
CD平分ACE,ACDACE180ACB1806060,
222
在△COD中,BDC180CODACD180856035,故C選項正確,不符合題意;
QBD、CD分別是ABC和ACE的平分線,D到AB、AC、BC的距離相等,
11
AD是ABC的外角平分線,DAC180BAC1807055,
22
故D選項正確,不符合題意.故選:B.
【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,熟記定理和概念是解題關(guān)鍵.
3.(2022春·北京海淀·七年級??计谥校┤鐖D,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與y軸在正半軸、x軸正半
軸分別交A、B兩點,點C在BA的延長線上,AD平分∠CAO,BD平分∠ABO,則∠D的度數(shù)是()
A.30°B.45°C.55°D.60°
【答案】B
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°,再根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和
定理即可求出∠D的度數(shù).
【詳解】解:∵OA⊥OB,∴∠OAB+∠ABO=90°,∠AOB=90°.
111
∵DA平分∠CAO,∴∠DAO=∠OAC=(180°-∠OAB).∵DB平分∠ABO,∴∠ABD=∠ABO,
222
111
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-(180°-∠OAB)-∠OAB-∠ABO=90°-(∠OAB+∠ABO)=45°.
222
故選:B.
1
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是找出∠D=90°-(∠OAB+∠ABO).本題屬于基礎(chǔ)
2
題,難度不大,解決該題型題目時,熟練運用三角形內(nèi)角和定理解決問題是關(guān)鍵.
4.(2022秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí))如圖,點O在ABC內(nèi),且到三邊的距離相等,連接OB,OC.若
BOC120,則A的度數(shù)是()
A.30B.45C.60D.70
【答案】C
1
【分析】由點O在ABC內(nèi),且到三邊的距離相等,可知O是角平分線的交點,則OBCABC,
2
1
OCBACB,由OBCOCBBOC180,可得ABCACB120,根據(jù)
2
AABCACB180,計算求解即可.
【詳解】解:∵點O在ABC內(nèi),且到三邊的距離相等,
11
∴O是角平分線的交點,∴OBCABC,OCBACB,
22
11
∵OBCOCBBOC180,∴ABCACB120180,即ABCACB120,
22
∵AABCACB180,∴A60,故選:C.
【點睛】本題考查了角平分線的判定定理,三角形內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系.
5.(2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在△ABC中,∠A=30°,E為BC延長線上一點,∠ABC
與∠ACE的平分線相交于點D,則∠D等于()
A.10°B.15°C.20°D.30°
【答案】B
【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到12,34,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得1234A,
1
13D,則2123A,利用等式的性質(zhì)得到DA,然后把A的度數(shù)代入計算即可.
2
【詳解】解答:解:∵ABC的平分線與ACE的平分線交于點D,∴12,34,
∵ACEAABC,即1234A,∴2123A,
11
∵13D,∴DA3015.故選:B.
22
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等,根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°
和三角形外角性質(zhì)進行分析是解題關(guān)鍵.
6.(2023春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末)如圖,在ABC中,ACBA,BD是角平分線,BE是邊AC上
的高,延長BD與外角ACF的平分線交于點G.以下四個結(jié)論:①ABDCBD;②ABEA90;
③G45;④AACB2EBD.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】由三角形的角平分線的含義可判斷①,由三角形的高的含義可判斷②,證明ABC2GBC,
ACF2GCF,ACFABCA,GCFGBCG,可判斷③,由2BED290ADB,
ADBDBCACB,可得2BED1802DBC2ACB,從而可判斷④,從而可得答案.
【詳解】解:∵BD是ABC角平分線,∴ABDCBD,故①符合題意;
∵BE是邊AC上的高,∴ABEA90,故②符合題意;
∵BD是ABC角平分線,CG平分ACF,∴ABC2GBC,ACF2GCF
1
∵ACFABCA,GCFGBCG,∴2GCF2GBCA,∴GA,
2
∵A90,∴G45,故③不符合題意;
∵2BED290ADB,ADBDBCACB,
∴2BED1802DBC2ACB180ABC2ACB
180180AACBAACB,故④符合題意;故選C
【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用,三角形的角平分線與高的含義,三角形的外角的性質(zhì),
靈活運用三角形的外角的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵.
7.(2022秋·貴州遵義·八年級??茧A段練習(xí))如圖,RtABC中,ACB90,BAC16,ACB的平
分線與外角ABD的平分線交于點E,連接AE,則AEC的度數(shù)為.
【答案】37/37度
【分析】由角平分線的性質(zhì)可得EFEHEG,進而可證明EA是BAC的外角平分線,再利用三角形的
內(nèi)角和定理解答即可.
【詳解】解:過E點分別作EFAC于F,作EGAB于點G,作EHCD于H,
∵EC是ACB的平分線,EB是ABD的平分線,∴EFEH,EGEH,
∴EFEG,∴EA是BAC的外角平分線,
FAB18016
∵ACB90,BAC16,∴ACE45,∴EAB82,
22
∴AEC180EACACE18082164518014337.故答案為:37.
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角平分線和外角平分線的定義,掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.
8.(2023春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考階段練習(xí))如圖,BA1和CA1分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線,
BA2是A1BD的平分線,CA2是A1CD的平分線,BA3是A2BD的平分線,CA3是A2CD的平分線,若
A,則A999.
【答案】
2999
11
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得ABDABC,ACDACD,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得
1212
111
ABCAABCA,化簡可得AA,進一步找出其中的規(guī)律,即可求出A的度數(shù).
22112999
【詳解】解:BA1和CA1分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線,
11
ABDABC,ACDACD,
1212
又QACDABCA,A1CDA1BDA1,
1111
ABCAABCA,AA,
221122
111111
同理可得:AA,AA,......
2212222322123
1
則AA,故答案為:.
999299929992999
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),角平分線的定義等,找出A1,A2,A3
與A的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
9.(2022秋·北京大興·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在ABC中,ABAC,BAC的平分線與外角BCD的
平分線相交于點M,作AB的延長線得到射線AE,作射線BM,有下面四個結(jié)論:
1
①MCDMAB;②BMCM;③射線BM是EBC的角平分線;④BMC90BAC.
2
所有正確結(jié)論的序號是.
【答案】①③④
【分析】由角平分線的定義可知MABMAC.再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出MCDMACAMC,
即可確定MCDMAB,故①正確;過點M作MFAD于點F,MGBC于點G,MHAE于點H,
由角平分線的性質(zhì)定理可得出MFMGMH.即易證RtBMG≌RtBMH(HL),得出MBGMBH,
即說明射線BM是EBC的角平分線,故③正確;利用反證法,假設(shè)BMCM,易證CBEBCD,即
得出∠ABCACB.由ABAC,可知ABCACB,即說明BMCM不成立,故②錯誤;由
BMCBMGCMG,即得出BMC(90MBG)(90MCG).再根據(jù)角平分線的定義即得出
11
BMC(90CBE)(90BCD),最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論,可判斷④正確.
22
【詳解】解:∵AM為BAC的平分線,∴MABMAC.
∵MCDMACAMC,∴MCDMAC,∴MCDMAB,故①正確;
如圖,過點M作MFAD于點F,MGBC于點G,MHAE于點H,
∵AM為BAC的平分線,CM為BCD的平分線,∴MFMGMH.
又∵BMBM,∴RtBMG≌RtBMH(HL),
∴MBGMBH,即射線BM是EBC的角平分線,故③正確;
假設(shè)BMCM,∴MBCMCB.
∵CM為BCD的平分線,BM是EBC的角平分線,
∴MBEMBC,MCBMCD,
∴MBEMBCMCBMCD,即CBEBCD,
∴180CBE180BCD,即∠ABCACB.
∵ABAC,∴ABCACB,∴假設(shè)不成立,故②錯誤;
∵BMCBMGCMG,∴BMC(90MBG)(90MCG).
1111
∵MBGCBE,MCGBCD,∴BMC(90CBE)(90BCD),
2222
1111
∴BMC(90CBE)(90BCD)180CBEBCD
2222
111
180(180ABC)(180ACB)(ABCACB)
222
11
(180BAC)90BAC,∴④正確.
22
綜上可知所有正確結(jié)論的序號是①③④.故答案為:①③④.
【點睛】本題考查角平分線的定義,角平分線的性質(zhì)定理,三角形全等的判定和性質(zhì),三角形外角的性質(zhì)
及三角形內(nèi)角和的應(yīng)用等知識.正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形,并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.
10.(2023春·河北·七年級專題練習(xí))如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O,延長BO
與∠ACB的外角平分線交于點D,若∠BOC=130°,則∠D=
【答案】40°
【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
1
【詳解】解:∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O,∴∠ACO=∠ACB,
2
1
∵CD平分∠ACE,∴∠ACD=∠ACE,∵∠ACB+∠ACE=180°,
2
11
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=(∠ACB+∠ACE)=×180°=90°,
22
∵∠BOC=130°,∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°,故答案為:40°.
【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì),角平分線的定義,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計算是解題
的關(guān)鍵.
11.(2023·浙江杭州·八年級期末)如圖,在四邊形ABCD中,ADm,ABC的平分線與BCD的
平分線交于點P,則P.(用含字母m的代數(shù)式表示)
1
【答案】m
2
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°,求出∠ABC+∠BCD的度數(shù),然后根據(jù)角平分線的定義及三角形的內(nèi)
角和定理求出∠P的度數(shù)即可.
【詳解】解:∵∠A+∠D=m°,且四邊形內(nèi)角和為360°,∴∠ABC+∠BCD=360°-m°,
11
∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分線,∴∠PBC=ABC,∠BCP=BCD,
22
1111
∴∠PBC+∠BCP=ABC+BCD=(ABC+BCD)(360m)
2222
111
∴∠P=180°-(∠PBC+∠BCP)=180(360m)m故答案為:m.
222
【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和及三角形的內(nèi)角和與角平分線相關(guān)的角度計算問題,解題的關(guān)鍵是表
達(dá)出∠PBC+∠BCP的度數(shù).
12.(2023春·河南·七年級專題練習(xí))如圖,點M是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點,點N是△ABC兩外角
平分線的交點,如果∠CMB:∠CNB=3:2,那么∠CAB=.
【答案】36°
1
【分析】由角平分線的定義得∠NCM=∠
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