專題06三角形中的倒角模型-平行線+拐點(diǎn)模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的

一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型(M

型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

模型1：豬蹄模型（M型）

【模型解讀】

圖1圖2圖3

如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.

如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.

如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.

例1．（2022·河南·統(tǒng)考二模）如圖，ABCD，ABM30，CDM45，則BMD的度數(shù)為（）

A．105B．90C．75D．70

例2．（2023春·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考期中）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物

線有關(guān)．如圖，從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線OB，OC反射后沿著與PO平行的方向射出，已知圖中

ABO46，OCD88，則BOC的度數(shù)為（）

A．116B．124C．134D．135

例3．（2023春·四川瀘州·七年級?？计谀┤鐖D所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示x，應(yīng)為（）

A．B．C．180D．180

例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青

少年，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進(jìn)滑

雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學(xué)會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直

略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，當(dāng)人腳與地面的夾角

CDE60時，求出此時上身AB與水平線的夾角BAF的度數(shù)為（）

A．60B．45C．50D．55

11

例5．（2023春·河南駐馬店·九年級專題練習(xí)）已知AB∥CD，EAFEAB，ECFECD，若

33

E66，則F為（）

A．23°B．33°C．44°D．46°

例6．（2022·浙江七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷

口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問

題”．（1）如圖（2）所示，已知AB//CD，請問DB，D，E有何關(guān)系并說明理由；

（2）如圖（3）所示，已知AB//CD，請問DB，E，D又有何關(guān)系并說明理由；

（3）如圖（4）所示，已知AB//CD，請問∠E∠G與∠B∠F∠D有何關(guān)系并說明理由．

模型2：鉛筆頭模型

圖1圖2圖3

如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.

如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°

如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.

例1．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖所示，已知AB∥EF，那么BACACECEF（）

A．180°B．270°C．360°D．540°

例2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平

行.若132，262，則3的度數(shù)為（）

A．118B．148C．150D．162

例3．（2023·河南三門峽·校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示

的數(shù)學(xué)圖形．已知CD垂直地面上的直線DF于點(diǎn)D，當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞點(diǎn)C

緩慢向上抬高，AB段則一直保持水平狀態(tài)上升（即AB始終平行于DF）．在該運(yùn)動過程中，當(dāng)ABC112

時，BCD的度數(shù)是（）

A．112B．138C．158D．128

例4．（2023春·新疆·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．

例5．（2022春·河北保定·七年級?？计谥校┤鐖D，已知A1B∥AnC，則A1A2A3，則

A1A2An等于（用含n的式子表示）．

模型3：牛角模型

圖1圖2

如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：180.

例1．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若ABCD，則（）

A．123B．132C．123180D．123180

例2．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，若AB//CD，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為

例3．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點(diǎn)，BF平分∠ABP，DE平

分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點(diǎn)E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．

例4．（2023春·廣東深圳·九年級校?？计谥校┮阎本€AB∥CD，點(diǎn)P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的

一點(diǎn)，(1)問題提出：如圖1，A120，C130．求APC的度數(shù)：

(2)問題遷移：如圖2，寫出APC，A，C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

H

(3)問題應(yīng)用：如圖3，EAH:HAB1:3，ECH20，DCH60，求的值．

E

例5．（2023·余干縣八年級期末）已知直線AB∥CD，（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)

系為；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)

11F

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點(diǎn)F，則

nnE

=．

模型4：羊角模型

圖1圖2

如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.

如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：180.

例1．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)

為．

例2．（2022·江蘇七年級期中）如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（）

A．20°B．25°C．30°D．40°

例3．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D

例4．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知AB∥DE，ABC150，CDE75，則BCD的度數(shù)為（）

A．55B．60C．45D．50

例5．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）如圖，A58，D122，132，225，點(diǎn)P是BC上

一點(diǎn)．（1）DFE的度數(shù)為；（2）若BFP50．則CE與PF（填“平行”或“不平行”）．

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.

圖1圖2

如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：180.

如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：180.

例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，拐彎后與原來方向相同，

如圖，若ABC120，BCD80，則CDE等于（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

例2．（2023·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，若AB∥CD，65，25，則的度數(shù)是（）

A．115°B．130°C．140°D．150°

例3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，AB∥EF，B100，CDE25，則BCD的度數(shù)是（）

A．125B．75C．95D．105

例4．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，ABCD，CD∥EF，CE平分BCD，若ABC58，則CEF

的度數(shù)為（）

A．131B．141C．151D．161

例5．（2023·江西·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖BAC10，ACD125，CDEF于點(diǎn)D，將AB繞點(diǎn)A

逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB∥EF，則的最小值為．

課后專項訓(xùn)練

1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，a∥b,145，則2的度數(shù)為（）

A．105B．125C．135D．145

2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，已知：AB∥EF，BE，求證：BC∥DE．在證明該結(jié)論

時，需添加輔助線，則以下關(guān)于輔助線的作法不正確的是（）

A．延長BC交FE的延長線于點(diǎn)GB．連接BEC．分別作BCD，CDE的平分線CG，DH

D．過點(diǎn)C作CG∥AB（點(diǎn)G在點(diǎn)C左側(cè)），過點(diǎn)D作DH∥EF（點(diǎn)H在點(diǎn)D左側(cè)）

3．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若130，

250，則3的度數(shù)為（）．

A．130B．140C．150D．160

4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，兩直線AB、CD平行，則123456（）．

A．630B．720C．800D．900

5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，若AB∥CD∥EF，115，260，那么BCE（）

A．120B．125C．130D．135

6．（2022·安徽蕪湖·七年級期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與

∠ABE互補(bǔ)，則∠F的度數(shù)為

A．30°B．35°C．36°D．45°

7．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考三模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中ABCD，124，3148，

則2的度數(shù)為（）

A．56B．66C．98D．104

11

8．（2023春·重慶江津·七年級校聯(lián)考期中）如圖，AB//CD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，設(shè)∠ABE

23

＝α，∠E＝β，∠F＝γ，則α，β，γ的數(shù)量關(guān)系是（）

A．4β﹣α+γ＝360°B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360°D．3β﹣2α﹣γ＝360°

9．（2022·江蘇七年級期末）如圖，AB∥CD，則∠1+∠3－∠2的度數(shù)等于__________．

10．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考二模）如圖所示，AB∥DE，1130，236，則3度．

11．（2022·四川成都·七年級期末）已知直線AB∥DE，射線BF、DG分別平分ABC，EDC，兩射線

反向延長線交于點(diǎn)H，請寫出H，C之間的數(shù)量關(guān)系：________．

12．（2022·黑龍江·七年級月考）如圖，AB//CD，E是CD上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//DP，若PEFPEH，

EG平分DEH，B152，PEG65，則BPD_______．

13．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知AB∥DE，BCD30，CDE138，求ABC的度數(shù)．

14．（2023春·重慶南岸·九年級?？计谥校┰跀?shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：

如圖，B160，當(dāng)A與D滿足什么關(guān)系時，BC∥DE?

小明認(rèn)為DA20時BC∥DE，他解答這個問題的思路和步驟如下，請根據(jù)小明的思路完成下面的作．

圖．與填．空．：

解：用直尺和圓規(guī)，在DA的右側(cè)找一點(diǎn)M，使DAMD（只保留作圖痕跡）．

∵DAMD，

∴①_____________

∵DDAB20

∴BAM②_________，

∵B160，

∴BBAM③__________，

∴④_____________

∴BC∥DE．

所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)DA20時，BC∥DE．

15．（2023春·河北廊坊·七年級校考階段練習(xí)）（1）如圖（1）ABCD，猜想BPD與B、D的關(guān)系，

說出理由．

（2）觀察圖（2），已知ABCD，猜想圖中的BPD與B、D的關(guān)系，并說明理由．

（3）觀察圖（3）和（4），已知ABCD，猜想圖中的BPD與B、D的關(guān)系，不需要說明理由．

16．（2023秋·廣東江門·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖①，如果AB∥CD，求證：APCAC．

（2）如圖②，AB∥CD，根據(jù)上面的推理方法，直接寫出APQC___________．

（3）如圖③，AB∥CD，若ABPx，BPQy，PQCz，QCDm，則m___________（用x、

y、z表示）．

17．（2023春·山東淄博·九年級?？计谥校┤鐖D，AB∥CD，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)．

(1)如圖1，若BAE30，DCE20，則AEC；

如圖1，若BAE，DCE，則AEC；

(2)如圖2，試說明，BAEAECECD360；(3)如圖3，若BAE的平分線與DCE的平分線相交

于點(diǎn)F，判斷AEC與AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

18．（2022·湖南株洲市八年級期末）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別

在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB

＝∠2，∠PBF＝∠3．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動時，試說明∠1+∠3=∠2；（提示：過點(diǎn)P作PM∥a）

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動時有兩種情況，①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明．

②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．

19．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級?？计谥校﹩栴}探究：如下面四個圖形中，ABCD．

（1）分．別．說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．

（2）請你從中任．選．一．個．加以說明理由．

解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗

反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．

20．（2023春·湖北黃岡·七年級?？计谥校┤鐖D，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AD∥BE

(1)求證：BCA180：

(2)如圖②，AQ、BQ分別為DAC、EBC的平分線所在直線，試探究C與AQB的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直線AQ、BC交于點(diǎn)P，QPPB，直接寫出

DAC：ACB：CBE=．

21．（2023春·廣東·七年級專題練習(xí)）（1）如圖1，ABCD，ABE=45，CDE21，直接寫出BED

的度數(shù)．（2）如圖2，ABCD，點(diǎn)E為直