專題11三角形中的重要模型-特殊三角形中的分類討論模型

模型1、等腰三角形中的分類討論模型

【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的

性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。

1）無圖需分類討論

①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；

③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。

2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：

即：如圖：已知A，B兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)C構(gòu)成等腰△ABC

方法：兩圓一線

具體圖解：①當(dāng)ABAC時，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作⊙A，點(diǎn)C在⊙A上（B，C除外）

②當(dāng)ABBC時，以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑作⊙B，點(diǎn)C在⊙B上（A，E除外）

③當(dāng)ACBC時，作AB的中垂線，點(diǎn)C在該中垂線上（D除外）

例1．（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎妊切蔚膬蛇呴L分別是m，n，若m，n滿足

2

m3n50，那么它的周長是（）

A．11B．13C．11或13D．11或15

【答案】C

【分析】由已知等式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、n的值，再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰，分類求解．

22

【詳解】解：m3n50，m30，n50，

m30，n50，解得：m3，n5，

當(dāng)m3作腰時，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：33511，

當(dāng)n5作腰時，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：35513，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、

n的值，再根據(jù)m或n作為腰，分類求解．

例2．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級?？计谥校┮粋€等腰三角形的周長為18cm，且一邊長是4cm，則它的

腰長為（）

A．4cmB．7cmC．4cm或7cmD．全不對

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，兩腰相等，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：當(dāng)4cm為腰長時，則底邊長為182410cm，

1

∵4410，不符合題意；∴4cm為底邊長，∴等腰三角形的腰長為：1847cm；故選B．

2

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩腰相等，注

意討論時要根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷能否構(gòu)成三角形．

例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的一個角是80，則它頂角的度數(shù)是（）

A．80B．80或20C．80或30D．20

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180，進(jìn)行分類討論即可

【詳解】解：①當(dāng)?shù)捉菫?0時，頂角18080220，

②當(dāng)頂角為80時，頂角度數(shù)80，綜上：頂角度數(shù)為80或20；故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和為180，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是書熟練掌握相關(guān)內(nèi)容．

例3．（2023·四川廣安·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€外角為100，則它的底角為（）

A．55B．80C．55或80D．以上都不是

【答案】D

【分析】等腰三角形的一個外角等于100，則等腰三角形的一個內(nèi)角為80，但已知沒有明確此角是頂角還

是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類討論．

【詳解】∵等腰三角形的一個外角等于100，∴等腰三角形的一個內(nèi)角為80，

①當(dāng)80為頂角時，其他兩角都為50、50，

②當(dāng)80為底角時，其他兩角為80、20，所以等腰三角形的底角可以是50，也可以是80．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理；在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等

腰所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進(jìn)行分類討論，才能正確解題，因此，解決和

等腰三角形有關(guān)的邊角問題時，要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯．

例4．（2023·四川綿陽·八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為70，則等腰三角形

的頂角度數(shù)為．

【答案】20或160

【分析】要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和

以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．

【詳解】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，ABAC，ACD70，CD為高，即ADC90，

此時AACDADC180，∴A180907020，

若三角形為鈍角三角形時，如圖，ABAC，ACD70，CD為高，即ADC90，

此時BACDACD9070160，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為20或160．

故答案為：20或160．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意畫出圖形，并注意分類討論．

例5．（2023·山東濱州·八年級?？计谀┪覀兎Q網(wǎng)格線的交點(diǎn)為格點(diǎn)．如圖，在6行5列的長方形網(wǎng)格中

有兩個格點(diǎn)A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點(diǎn)C，使得ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)

C的個數(shù)是（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角ABC底邊；②AB為等腰直角ABC

其中的一條腰．

【詳解】如圖：分情況討論：

①AB為等腰直角ABC底邊時，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有2個；

②AB為等腰直角ABC其中的一條腰時，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有3個．故共有5個點(diǎn)，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)

形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．

例6．（2023·北京·八年級期中）RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在ABC外部作等腰直角

三角形ACD，則線段BD的長為__△__．△

【答案】4或25或10．

【分析】根據(jù)題意分類討論，①CAD90，②ACD90，③ADC90，分別作出圖形，再結(jié)合已

知條件勾股定理求解即可．

【詳解】解：①如圖，當(dāng)CAD90時，

BAC90，ABAC2，△ACD是等腰直角三角形，

ACADAB2,BADBACCAD180，BDABAD224；

②如圖，當(dāng)ACD90時，過點(diǎn)D作DEBC，交BC的延長線于點(diǎn)E，

BAC90，ABAC2，△ACD，ABC是等腰直角三角形，

CDACAB2，DCE180ACDACB45，

又DEBC，DEC是等腰直角三角形，DECE，

2

在Rt△DEC中，DC2CE2DE22DE2，DEDC2，

2

22

在RtABC中，BCAB2AC222，在RtBDE中，BDBE2DE2222225；

③如圖，當(dāng)ADC90時，

2

BAC90，ABAC2△ACD，ABC是等腰直角三角形，CDADAC2，

2

22

在RtABC中，BCAB2AC222，在RtBDC中，BDCD2BC222210．

綜上所述，BD的長為：4或25或10．故答案為：4或25或10．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．

例7．（2023·福建南平·八年級校考期中）已知△ABC中，如果過頂點(diǎn)B的一條直線把這個三角形分割成兩

個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．如

圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若

直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．

【答案】40°或90°或140°

【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．

【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠DBC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，

∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，

∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；

②如圖，當(dāng)∠BDC=90°，AD=BD時，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，或當(dāng)∠BDC=90°，CD=BD

時，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，；

③如圖，當(dāng)∠ABD=90°，CD=BD時，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，

∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．

綜上所述：當(dāng)∠BDC的度數(shù)是40°或90°或140°時，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線是本題關(guān)鍵．

例8．（2023·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2,4，6,0，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，

且ABP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

【答案】(2,0)或(2,0)或(642,0)或(642,0)

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三種情況求解即可．

【詳解】∵ABP為等腰三角形，①當(dāng)ABBP時，如圖①，

∵AB(62)2(04)242，∴BP42，

∵B(6,0)，∴P(642,0)或P(642,0)；

②當(dāng)ABAP時，如圖②作ACBP于C點(diǎn)，則C(2,0)，

∵ABAP，∴BCCP，∵BC624，∴CP4，∴P(2,0)．

③當(dāng)APBP時，如圖③，作APBP，∴APBP4，∴P(2,0)．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(2,0)或(642,0)或(642,0)，

故答案為：(2,0)或(2,0)或(642,0)或(642,0)．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握等腰三角形的判定與性

質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論的思想解決問題是解答的關(guān)鍵．

例9．（2023·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，ABC中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線ABCA運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t0）．

(1)若點(diǎn)P在BC上，且滿足PAPB，求此時t的值；(2)若點(diǎn)P恰好在ABC的角平分線上，求此時t的值：

(3)在運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，△ACP為等腰三角形．

65315539

【答案】(1)(2)或(3)或或或3

1662425

【分析】（1）設(shè)PBPAxcm，則PC4xcm，利用勾股定理求出AC3cm，在RtACP中，依據(jù)

AC2PC2AP2，列方程求解即可得到t的值．（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，過P作PDAB于D，

設(shè)PDPCycm，則AP3ycm，在RtADP中，依據(jù)AD2PD2AP2，列方程求解即可得到t的值．當(dāng)

AB5

點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)P也在ABC的角平分線上，此時，t．

22

（3）分四種情況：當(dāng)P在AB上且APCP時，當(dāng)P在AB上且APCA3cm時，當(dāng)P在AB上且ACPC

時，當(dāng)P在BC上且ACPC3cm時，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到t的值．

【詳解】（1）解：如圖，設(shè)PBPAxcm，則PC4xcm，

ACB90，AB5cm，BC4cm，ACAB2BC23cm，

在RtACP中，由勾股定理得AC2PC2AP2，

25

22225255

34xx，解得x，BP，ABBP865；

8t

82216

（2）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，過P作PDAB于D，

BP平分ABC，C90，PDABPDPC，DBPCBP，

BDPBCP

在BCP與△BDP中，DBPCBP，BDP≌BCPAAS

BPBP

BCBD4cm，AD541cm，設(shè)PDPCycm，則AP3ycm，

在RtADP中，由勾股定理得AD2PD2AP2，

4

2224454

1y3y，解得y，\CP=，ABBCCP331，

3t

3226

AB5

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)P也在ABC的角平分線上，此時，t．

22

315

綜上所述，點(diǎn)P恰好在ABC的角平分線上，t的值為或．

62

（3）解：分四種情況：①如圖，當(dāng)P在AB上且APCP時，∴AACP，

∵A+B90，ACPBCP90，BBCP，CPBPAP，

15AP5

P是AB的中點(diǎn)，即APABcm，t．

2224

AP3

②如圖，當(dāng)P在AB上且APCA3cm時，∴t．

22

③如圖，當(dāng)P在AB上且ACPC時，過C作CDAB于D，

11ACBC12

∵SACBCABCD，∴CDcm，

ABC22AB5

2

驏129

在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=32-琪琪=cm，

桫55

18AP9

AP2ADcm，t．

525

ABBP6

④如圖，當(dāng)P在BC上且ACPC3cm時，則BP431cm，t3．

22

539

綜上所述，當(dāng)t的值為或或或3時，△ACP為等腰三角形．

425

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用．畫

出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關(guān)鍵．

例10．（2022春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過A2，6

的直線交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，OBOC，直線AD交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，若△ABD的面積為27

(1)求直線AB的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x

軸的平行線交AD于點(diǎn)E，設(shè)PE的長為yy0，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m取值范

圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使PEF為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

3

【答案】(1)yx4，D5，0(2)ym3，2m4

2

2168

(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為,0或,0或,0

557

【分析】（1）據(jù)直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，OBOC，設(shè)直線AB解析式為yxn，

把A的坐標(biāo)代入求得n的值，從而求得B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出BD的值，求出OD的

值，從而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出AD的解析式，先根據(jù)B、A的坐標(biāo)求出直線AB

的解析式，將P點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線AB的解析式，求出P的縱坐標(biāo)，將P的縱坐標(biāo)代入直線AD的解析式

就可以求出E的橫坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使PEF為等腰直角三角形，分三種

情況分別以點(diǎn)P、E、F為直角頂點(diǎn)，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中m的值，就可以求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

【詳解】（1）解：OBOC，∴設(shè)直線AB的解析式為yxn，

∵直線AB經(jīng)過A2，6，2n6，n4，

∴直線AB的解析式為yx4，B4，0，OB4，

，，1

ABD的面積為27A26，SABDBD627，

2

BD9，OD5，D5，0，直線AB的解析式為yx4，D5，0

（2）解：設(shè)直線AD的解析式為yaxb，

2ab6a2

A2，6，D5，0∴，解得．∴直線AD的解析式為y2x10；

5ab0b10

∵點(diǎn)P在AB上，且橫坐標(biāo)為m，Pm，m4，PE∥x軸，∴E的縱坐標(biāo)為m4，

m6m6

代入y2x10得，m4=2x10，解得x，E,m4，

22

m63m3

PE的長ym3；即ym3，2m4；

222

（3）解：在x軸上存在點(diǎn)F，使PEF為等腰直角三角形，

3

①當(dāng)FPE90時，如圖①，有PFPE，PFm4，PEm3，

2

322

m4m3，解得m，此時F,0；

255

②當(dāng)PEF90時，如圖②，有EPEF，EF的長等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，

32

EFm4，m4m3，解得：m，

25

m61616

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，∴F,0；

255

③當(dāng)PFE90時，如圖③，有FPFE，F(xiàn)PEFEP．

FPEEFPFEP180，F(xiàn)PEFEP45．作FRPE，點(diǎn)R為垂足，

1

PFR180FPEPRF45，PFR=RPF，F(xiàn)R=PR．同理FR=ER，F(xiàn)RPE．

2

1310

∵點(diǎn)R與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，F(xiàn)Rm4，∴m4m3，解得：m，

227

1018101888

PRFRm44，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，F(xiàn),0．

777777

2168

綜上，在x軸上存在點(diǎn)F使PEF為等腰直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為,0或,0或,0．

557

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式

模型2、直角三角形中的分類討論模型

【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點(diǎn)（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性

質(zhì)或勾股定理解題即可。

1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是

直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。

2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進(jìn)行講解）

即：如圖：已知A，B兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)C構(gòu)成Rt△ABC

方法：兩線一圓

具體圖解：①當(dāng)BAC90時，過點(diǎn)A作AB的垂線，點(diǎn)C在該垂線上（A除外）

②當(dāng)ABC90時，過點(diǎn)B作AB的垂線，點(diǎn)C在該垂線上（B除外）。

③當(dāng)ACB90時，以AB為直徑作圓，點(diǎn)C在該圓上（A，B除外）。

例1．（2023春·河南安陽·八年級?？计谀┤羧切蔚膬蛇呴L為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊

的長為．

【答案】3或41/41或3

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角

三角形，再分5為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況考慮，即可求出第三邊．

【詳解】解：當(dāng)較大的數(shù)5為斜邊時，第三邊52423，

當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r，第三邊524241，故答案為：3或41．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角

形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關(guān)鍵．

例2．（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）如圖，AD是ABC的角平分線，CE是ABC的高，BAC60，

ACB78，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，當(dāng)VBDF為直角三角形時，則ADF的度數(shù)為．

【答案】60或18

【分析】分情況討論：①當(dāng)BFD90時，②當(dāng)BDF90時，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別

求解即可．

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)BFD90時，

∵AD是ABC的角平分線，BAC60，

∴BAD30，∴RtADF中，ADF60；

如圖，當(dāng)BDF90時，

同理可得BADDAC30，∵ACB78，∴ADBDACACB3078108，

∴ADFADBBDF1089018，

綜上所述：ADF的度數(shù)為60或18．故答案為：60或18．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想

是解題的關(guān)鍵．

例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點(diǎn)A，B，連接AB，在

網(wǎng)格中再找一個格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC

其中的一條腰．

【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點(diǎn)有0個；

②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點(diǎn)有3個．

∵22，22，

AC1AC3ABBC2125BC1BC3AC21310

222222222

∴AC1ABBC1，AC3ABBC3，BC2ABAC2，

∴△ABC2，△ABC2，△ABC2都是等腰直角三角形，故共有3個點(diǎn)，故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形

結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．

例4．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P

在x軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

23

【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）

3

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．再分RtPAC和TtPBC兩種情況

進(jìn)行分析即可．△△

【詳解】解：∵點(diǎn)P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)PAC為直角三角形時，

①∠APC＝90°，易知點(diǎn)P在原△點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；

②∠ACP＝90°時，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，

2323

(23)222m222(m23)2，解得，m＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；

33

當(dāng)PBC為直角三角形時，①∠BPC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；

②∠△BCP＝90°時，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

23

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（，0），（﹣2，0）．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺

漏的進(jìn)行分類．

例5．（2022秋·遼寧丹東·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC為一邊，在△ABC

外作等腰直角△ACD，則線段BD的長為．

【答案】8或45或210

【分析】根據(jù)題意分類討論，①CAD90，②ACD=90，③ADC90，分別作出圖形，再結(jié)合

已知條件勾股定理求解即可．

【詳解】①如圖，當(dāng)CAD90時，

BAC90，ABAC4，ACD是等腰直角三角形，

ACADAB4,BADBACCAD180BDABAD448

②如圖，當(dāng)ACD=90時，過點(diǎn)D作DEBC，交BC的延長線于點(diǎn)E，

BAC90，ABAC4，ACD，ABC是等腰直角三角形，

CDACAB4，DCE180ACDACB45

又DEBCDEC是等腰直角三角形DECE

2

在Rt△DEC中，DC2CE2DE22DE2DEDC22

2

在RtABC中，BCAB2AC242

22

在RtBDE中，BDBE2DE242222245

③如圖，當(dāng)ADC90時

2

BAC90，ABAC4，ACD，ABC是等腰直角三角形，CDADAC22，

2

在RtABC中，BCAB2AC242

22

在RtBDC中，BDCD2BC22242210

綜上所述，BD的長為：8或45或210

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．

例6.（2023春·山東東營·八年級校考階段練習(xí)）如圖，長方形ABCD中，ABCD6，ADBC10，點(diǎn)E

為射線AD上的一個動點(diǎn)，若ABE與ABE關(guān)于直線BE對稱，若ABC為直角三角形，則AE的長為．

【答案】2或18

【分析】分點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)E在線段AD的延長線上兩種情況討論，由題意可得ABAB6，

EAB90，AEAE，AC8，根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，可求AE的長．

【詳解】解：若點(diǎn)E在線段AD上，

若ABE與△ABE關(guān)于直線BE對稱，ABAB6，EAB90，AEAE，

△ABC為直角三角形，BAC90，ACBC2AB28，

EAB90，BAC90，CAE180，點(diǎn)E，點(diǎn)C，點(diǎn)A共線，

在RtCDE中，DC2DE2CE2．(AE8)2(10AE)236，AE2，

若點(diǎn)E在線段AD的延長線上，且點(diǎn)C在AE上，

若ABE與△ABE關(guān)于直線BE對稱，ABAB6，AA90，

在Rt△ABC中，ACBC2AB28，BCADCE90，DCEDEC90，

BCADEC，且AEDC90，ABCDAB，

△ABCDCE(AAS)，DEAC8，AE18，故答案為：2或18．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性

質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵

例7.（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ABC30，ABAC23，點(diǎn)D是邊BC

上的點(diǎn)，將ACD沿AD折疊得到△AED，線段AE與邊BC交于點(diǎn)F．若CDE為直角，則CD的長

是．

【答案】33/33

1

【分析】過點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得C30，從而得到AGAC3，進(jìn)

2

而得到CG3，再由折疊的性質(zhì)可得ADC135，從而得到ADG45，進(jìn)而得到DGAG3，即

可求解．

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G，

∵ABC30，ABAC23，∴C30，

1

∴AGAC3，∴CGAC2AG23，

2

∵將ACD沿AD折疊得到△AED，∴ADCADE，

1

∵CDE90，∴ADCADE36090135，

2

∴ADG45，∴ADGDAG45，∴DGAG3，

∴CDCGDG33．故答案為：33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知

識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．

例8．（2023秋·河南商丘·八年級?？计谥校┤鐖D，ABC中，ABBCCA6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從

點(diǎn)A、點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一

次到達(dá)B點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動．

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，可得到等邊三角形AMN？

(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N

運(yùn)動的時間．(4)點(diǎn)M、N運(yùn)動______________________后，可得到直角三角形AMN．

31215

【答案】(1)6(2)2(3)存在，此時M、N運(yùn)動的時間為8秒(4)或或或9秒

252

【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M、N的運(yùn)動路程，N的運(yùn)動路程比M

的運(yùn)動路程多6cm，列出方程求解即可；

（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形AMN，然后表示出AM，AN的長，由于A60，

所以只要ANAM，AMN就是等邊三角形；

（3）首先假設(shè)AMN是等腰三角形，可證出ACM≌ABN，可得CMBN，設(shè)出運(yùn)動時間，表示出CM、

NB、NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值；（4）分點(diǎn)N在AB、AC、BC上運(yùn)動的三種情況，再分

別就是AMN90和ANM90，列方程求解可得．

【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，

則x162x，解得：x6，即當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動6秒后，M、N兩點(diǎn)重合；

（2）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形AMN，如圖1，AMt，AN62t，

，，

∵A60，當(dāng)AMAN時，AMN是等邊三角形，∴t62t，解得t2，

∴點(diǎn)M、N運(yùn)動2秒后，可得到等邊三角形AMN；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知6秒時M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，

如圖2，假設(shè)AMN是等腰三角形，

∴ANAM，∴AMNANM，∴AMCANB，

∵ABBCAC，∴△ACB是等邊三角形，∴CB，

在△ACM和ABN中，∵AMCANB，CB，ACAB，

∴ACM≌ABN（AAS），∴CMBN，∴t6182t，解得t8，符合題意，

所以假設(shè)成立，當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動8秒時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形；

（4）解：當(dāng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動時，如圖3，

，，，，

若AMN90，∵BN2t，AMt，∴AN62t，

3

∵A60，∴2AMAN，即2t62t，解得t；

2

12

如圖4，若ANM90，由2ANAM得262tt，解得t；

5

當(dāng)點(diǎn)N在AC上運(yùn)動時，點(diǎn)M也在AC上，此時A、M、N不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)點(diǎn)N在BC上運(yùn)動時，如圖5，

當(dāng)點(diǎn)N位于BC中點(diǎn)處時，由ABC是等邊三角形知ANBC，即AMN是直角三角形，

15

則2t663，解得t；

2

如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于BC中點(diǎn)處時，由ABC是等邊直角三角形知AMBC，即AMN是直角三角形，

則t639；

31215

綜上，當(dāng)t，，，9時，可得到直角三角形AMN．

252

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的定義與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，

理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．

例9．（2023秋·河南漯河·八年級?？计谀┤鐖D，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，

BDCE，AD與BE相交于點(diǎn)P，AP4，Q是射線PE上的動點(diǎn)．

(1)圖中共有__________組全等，請選擇其中的一組全等予以證明．(2)若△APQ為直角三角形，求PQ的值．

【答案】(1)2，證明見解析(2)2或8

【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，以及SAS證明ABD≌BCE,ABE≌CAD即可；

（2）分PAQ,PQA為直角，兩種情況，結(jié)合30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）解：圖中有2組全等，ABD≌BCE,ABE≌CAD；

證明：∵等邊三角形ABC，∴ABBCCA,ABCCBAC60，

∵BDCE，∴CDAE，

ABBC

在△ABD和BCE中，ABCC，∴ABD≌BCE；

BDCE

ABAC

在ABE和CAD中，BACC，∴ABE≌CAD；

CDAE

（2）解：∵ABD≌BCE，∴CBE=BAD，

∴APEBADABPCBEABPABC60，

∵Q是射線PE上的動點(diǎn)，當(dāng)△APQ為直角三角形時：

1

①當(dāng)AQP90時，如圖，則：PAQ30，∴PQAP2；

2

②當(dāng)QAP90時，如圖，則：AQP30，∴PQ2AP8．

綜上：PQ2,8．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形．熟練掌握等邊

三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．

例10．（2023·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，4），點(diǎn)B的

坐標(biāo)為（0，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負(fù)半軸

于點(diǎn)C，射線AD交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D．當(dāng)∠CAD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，OC-OD的值是否發(fā)生變化？若不變，

求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2，點(diǎn)M（-4，0）和N（2，0）是x軸上的兩個點(diǎn)，

點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)．當(dāng)PMN是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

△

1

【答案】（1）直線AB的解析式為：y=-x+2；（2）（2）不變．理由見解析；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，4）或

2

45254525

（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．

5555

【分析】（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標(biāo)代入列出方程組，求出方程組的解得到k與b的值，

即可確定出直線AB解析式；（2）當(dāng)∠CAD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，OC-OD的值不變，理由為：過A作AE垂直于

x軸，AF垂直于y軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，求出A的坐標(biāo)得到AE=AF，再由已知直角相等，

利用ASA得到三角形AEC與三角形AFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EC=FD，進(jìn)而求出OC-OD的

值即可；（3）分三種情況考慮：①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時；②N為直角頂點(diǎn)時；③P為直角頂點(diǎn)時；分別求

出P坐標(biāo)即可．

【詳解】（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），

∵點(diǎn)A（-4，4），點(diǎn)B（0，2）在直線AB上，

1

4kb＝4k＝1

∴，解得：2．∴直線AB的解析式為：y=-x+2；

b＝22

b＝2

（2）不變．理由如下：過點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)（如答圖1），可得∠AEC=∠AFD=90°，

又∵∠BOC=90°，∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，

∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DAF，∵A（-4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，

CAE＝DAF

在AEC和AFD中，AE＝AF，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC=FD，

AEC＝AFD＝90

△△

∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，則OC-OD的值不發(fā)生變化，值為8；

（3）①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-4，

1

∵點(diǎn)P在直線AB上，將x=-4代入y=-x+2得，y=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-4，4）；

2

②當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，

1

∵點(diǎn)P在直線AB上，將x=2代入y=-x+2得，y=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，1）；

2

1

③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，∵點(diǎn)P在直線AB上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x+2），