專題24最值模型之將軍飲馬模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，

由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上

來看是由軸對(duì)稱衍生而來，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考

試中都以中高檔題為主，本專題就將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

在解決將軍飲馬模型主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法有：利用軸對(duì)

稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。

模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）

【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?/p>

（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

例1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動(dòng)點(diǎn)．連

接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到CF．連接AF，EF，DF，則CDF周長(zhǎng)的最小值是．

例2．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，在ABC中，ABC的面積為10，AB22，BD平分ABC，

E、F分別為BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，則CFEF的最小值是（）

A．2B．3C．2D．5

例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上，且BE1，F(xiàn)為

對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，EF，則CFEF的最小值為．

例4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上，ABC120，

點(diǎn)A3,0，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PDPE的最小值是（）

3

A．3B．5C．D．3

222

例5．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=10，AD42，點(diǎn)P是邊AD

上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC．點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，連接MN，AM，DN，點(diǎn)

E在邊AD上，ME∥DN，則AMME的最小值是（）

A．23B．3C．32D．42

例6．（2023·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB是O的直徑，點(diǎn)C、D是O上的點(diǎn)．且OD∥BC，AC

分別與BD、OD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若O的半徑為5，DOA80，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，則PCPD

的最小值是．

例7．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ABDC22,BC4，且

BC135，則AEDE的最小值是___．

例8．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線yx2bxc經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于

另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MHDH的最小值；

模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值

【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：

（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：

（4）臺(tái)球兩次碰壁模型

1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形

ADEB周長(zhǎng)最短.

2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1．（2023·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問題提出】

(1)如圖1，AOB45，在AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，M、N分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊OA、

OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1，P2與OA、OB相交于M、N，則此時(shí)PMN的周長(zhǎng)最小，且順次連接O，P1，

P2后OP1P2的形狀是等腰直角三角形．理由如下：

∵點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1，P2，

∴，，，，

OPOP1OP2AOPAOP1BOPBOP2PMP1MPNP2N

∴C△PMNPMPNMNP1MP2NMNP1P2即PMN周長(zhǎng)的的最小值為P1P2

∵AOB45，∴P1OP22(AOPBOP)90∴OP1P2是等腰直角三角形．

學(xué)以致用：若AOB30，在AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，順次連

接O，P1，P2，則OP1P2的形狀是__________三角形．

(2)【問題探究】如圖2，在ABC中，ABAC，BAC30，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若ADh，請(qǐng)用含有

h的代數(shù)式表示ABC的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到頂點(diǎn)B的距離

為10，ABC60，點(diǎn)M、N分別是AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接P、M、N，使PMN在周長(zhǎng)最小的

情況下，面積最大，問：是否存在使PMN在周長(zhǎng)最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請(qǐng)求出PMN

的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

例2．（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AOB45，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，MN4，

OMN的面積為12，P是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱的點(diǎn)為P2，當(dāng)

點(diǎn)P在直線NM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP1P2的面積最小值為．

例3．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，AOB30，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM3,ON5，

點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是（）

A．34B．35C．342D．352

例4．（2023春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB6，AD2，E、F分別是AB和

DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，則

（1）DEEFFM的最小值是________；（2）若EFD45，則DEEFFM的最小值為________．

模型3.求兩條線段差最大值

【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；

（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：

延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時(shí)最大，

因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：

過B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’

【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。

例1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，ABC120，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，

BD8，點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且AF3BF，點(diǎn)P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF，則

PFPE的最大值為________．

例2．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB2,AD6，O為對(duì)角線AC的中

點(diǎn)，點(diǎn)P在AD邊上，且AP2，點(diǎn)Q在BC邊上，連接PQ與OQ，則PQOQ的最大值為____________，

PQOQ的最小值為__________．

例3．（2022·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線

CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．

例4．（2022·湖北·武漢八年級(jí)期末）如圖，AB//DP，E為DP上一動(dòng)點(diǎn)，ABCBCD，過A作ANEC

交直線EC于N，過D作DMEC交直線EC于點(diǎn)M，若B114，當(dāng)ANDM的值最大時(shí)，則ACE

________．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)．若AB4，

則AEOE的最小值是()

A．42B．252C．213D．210

2．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB2,ABC60，M是對(duì)角線BD上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CFBF，則MAMF的最小值為（）

A．1B．2C．3D．2

3．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段AB上一點(diǎn)，VADE和BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個(gè)等邊

三角形，點(diǎn)P,F分別是CD,AB的中點(diǎn)．若AB4，則下列結(jié)論錯(cuò)．誤．的是（）

A．PAPB的最小值為33B．PEPF的最小值為23

C．CDE周長(zhǎng)的最小值為6D．四邊形ABCD面積的最小值為33

4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ADEB8，BF2，

則DECF的最小值為（）

A．10B．311C．72D．97

5．（2023春·福建廈門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別

是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過程中，PB+PQ的最小值為（）

A．4B．3C．23D．43

6．（2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)

(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小

值等于（）

A．105B．103C．55D．53

7．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE1，點(diǎn)P，Q分別是邊

BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是（）

3943

A．B．C．D．

4255

8．（2022·江蘇·九年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A，B在直線MN的同側(cè)，A到MN的距離AC8，B到MN的距離

BD5，已知CD4，P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記PAPB的最小值為a，PAPB的最大值為b，則

a2b2的值為（）

A．160B．150C．140D．130

=2

9．（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，ABC中，ABAC，BC6cm，S△ABC18cm，EF是AC

的垂直平分線，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則CMDM

的最小值為（）

A．6B．7C．8D．9

10．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，MN是O的直徑，MN6，點(diǎn)A在O上，

AMN30，B為AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的最小值是．

11．（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AC，BD在AB的同側(cè)，AC10，BD3，AB8，點(diǎn)M

為AB的中點(diǎn)，若CMD120，則CD的最大值是．

12．（2023上·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在ABC中，ABAC10，BC12，AD8，AD是BAC

的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PCPQ的最小值是．

13．（2022·重慶大渡口·九年級(jí)期中）如圖，RtABC，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側(cè)

有一點(diǎn)P，連接BP，CP，S△BCP4，將BCP沿BC翻折至同一平面得到△BCP，連接AP．若APBP

取得最大值時(shí)，則S△ACP______．

14．（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）ABC中，ACB90，ACBC4，點(diǎn)P為高CD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連接AP，將射線AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，交過點(diǎn)P與AP垂直的直線于點(diǎn)Q，連接DQ，則△ADQ

周長(zhǎng)的最小值是______．

15．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重

合），以AE為直角邊在直線BC上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，連接DF，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程

中，△ADF周長(zhǎng)的最小值是______．

16．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1,AB2,AD1,AA12，P是棱A1B1

上任意一點(diǎn)，Q是側(cè)面對(duì)角線AB1上一點(diǎn)，則PD1PQ的最小值是________．

17．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，

PB，若AB4，BC43，則PEPB的最小值為________．

18．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BAD60，AD3，

AH是BAC的平分線，CEAH于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OPPE的最小值是________．

19．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將CDE沿CE

翻折得CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP//EM交M△C于點(diǎn)P，

則MN+△NP的最小值為________．

20．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB8，BC6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，

ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PEF的周長(zhǎng)最小值為__________．

21．（2023·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A1,0，B3,0，C0,1在拋物線yax2bxc

上．（1）求拋物線解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)P，使PBC的面積為1；

（3）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AMCM的值最大時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；

6

22．（2023·廣東深圳·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）已知，如圖，函數(shù)y＝y(tǒng)，y2x8的圖象交于點(diǎn)A、B．

x

6

(1)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A，B；(2)觀察圖象，直接寫出不等式2x8的解集：；

x

(3)點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APBP取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

23．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DEAD，且

BEDC．(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M