類型一動點、動線類探究【典例1】如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點A的坐標為(2，23)，點D是邊OC上的動點，過點D作DE⊥OB交邊OA于點E，作DF∥OB交邊BC于點F，連接EF，設(shè)OD＝x，△DEF的面積為S．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x取何值時，S的值最大？請求出最大值．[聽課記錄]熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識是解決此類問題的關(guān)鍵．[對點演練](2024·泰山二模)如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，M是對角線BD上的一個動點0＜DM<12BD．連接AM，過點M作MN⊥(1)如圖1，求證：MA＝MN；(2)如圖2，過點N作NH⊥BD于H，當(dāng)AM＝25時，求△HMN的面積．【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(3，5)，(3，0)．將線段AB向下平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到線段CD，連接AC，BD．(1)直接寫出坐標：點C________，點D________．(2)M，N分別是線段AB，CD上的動點，點M從點A出發(fā)向點B運動，速度為每秒1個單位長度，點N從點D出發(fā)向點C運動，速度為每秒0.5個單位長度，若兩點同時出發(fā)，求幾秒后MN∥x軸？(3)點P是直線BD上一個動點，連接PC，PA，當(dāng)點P在直線BD上運動時，請直接寫出∠APC與∠PCD，∠PAB的數(shù)量關(guān)系．[聽課記錄]平移的圖形，平移前后的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，圖形上各點平移的距離相等．[對點演練]已知點C在線段AB上，AC＝2BC，點D，E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)．(1)若AB＝15，DE＝6，線段DE在線段AB上移動．①如圖，當(dāng)E為BC中點時，求AD的長；②點F(異于A，B，C點)在線段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的長；(2)若AB＝2DE，線段DE在直線AB上移動，且滿足關(guān)系式AD+ECBE＝3類型二圖形形狀變化類探究【典例3】在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，分別從A，C同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中0≤t≤10．(1)若G，H分別是AD，BC的中點，則四邊形EGFH一定是怎樣的四邊形(E，F(xiàn)相遇時除外)?答：________；(直接填空，不用說明理由)(2)在(1)條件下，若四邊形EGFH為矩形，求t的值；(3)在(1)條件下，若G向D點運動，H向B點運動，且與點E，F(xiàn)以相同的速度同時出發(fā)，若四邊形EGFH為菱形，求t的值．[聽課記錄][對點演練]【探究問題】(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC延長線上一點，連接DE，點F是DE上的一個動點，BF與邊CD相交于點G．若BF⊥DE，試猜想CG與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展遷移】(2)如圖2，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝45°，求證：BE＋DF＝EF；(3)在(2)的條件下，若正方形的邊長為6，點E是BC邊的中點，求EF的長．【典例4】觀察下列圖形的變化過程，解答以下問題：如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點(D點不與B，C兩點重合)．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．(1)試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；(2)在(1)的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形為什么？[聽課記錄][對點演練](2024·泰山期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點M為AD的中點，過點M作MN∥BD交CD延長線于點N．(1)若AB＝BD，求證：四邊形MNDO是菱形；(2)請直接寫出當(dāng)四邊形ABCD的邊AB與BD滿足什么關(guān)系時，四邊形MNDO分別是矩形、正方形．類型三圖形旋轉(zhuǎn)類探究【典例5】(2024·岱岳一模)如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α＝0°時，AEBD＝________；②當(dāng)α＝180°時，AEBD＝(2)拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時，AEBD的大小有無變化？請僅就圖2(3)問題解決當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點共線時，求線段BD的長．[聽課記錄][對點演練](2024·煙臺)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為直線BC上任意一點，連接AD．將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得線段ED，連接BE．【嘗試發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系為________；【類比探究】(2)當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系并證明；【聯(lián)系拓廣】(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，請寫出sin∠ECD的值．類型四圖形折疊類探究【典例6】【問題情境】綜合與實踐課上，老師發(fā)給每位同學(xué)一張正方形紙片ABCD．在老師的引導(dǎo)下，同學(xué)們在邊BC上取中點E，取CD邊上任意一點F(不與C，D重合)，連接EF，將△CEF沿EF折疊，點C的對應(yīng)點為G．然后將紙片展平，連接FG并延長交AB所在的直線于點N，連接EN，EG．探究點F在位置改變過程中出現(xiàn)的特殊數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系．【探究與證明】(1)如圖1，小亮發(fā)現(xiàn)：∠FEN＝90°．請證明小亮發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)如圖2、圖3，小瑩發(fā)現(xiàn)：連接CG并延長交AB所在的直線于點H，交EF于點M，線段EN與CH之間存在特殊關(guān)系．請直接寫出小瑩發(fā)現(xiàn)的特殊關(guān)系，不需要證明；【應(yīng)用拓展】(3)在圖2、圖3的基礎(chǔ)上，小博士進一步思考發(fā)現(xiàn)：將EG所在直線與AB所在直線的交點記為P，若給出BP和BC的長，則可以求出CF的長．當(dāng)BC＝10，BP＝12時，請根據(jù)題意選擇圖2或圖3其中一個，補畫圖形，求CF的長．[聽課記錄]折疊類的題目，經(jīng)常用到軸對稱的性質(zhì)，注意題目中隱含條件的挖掘常常達到“柳暗花明又一村”的效果．[對點演練]如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C在坐標軸上，B(30，40)，將OC沿OD折疊，使點C落在對角線OB上的點E處．(1)求點D的坐標；(2)動點P從點B出發(fā)，沿折線B-A-O方向以5個單位/秒的速度勻速移動，到終點O停止，設(shè)P運動時間為t，△POE的面積為S，求出S與t的關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；(3)在(2)的條件下，當(dāng)PE∥AB時，在平面內(nèi)是否存在點Q，使得以P，