類(lèi)型一定義新運(yùn)算【典例1】定義一種新運(yùn)算“a?b”：當(dāng)a≥b時(shí)，a?b＝a＋2b；當(dāng)a＜b時(shí)，a?b＝a－2b．例如：3?(－4)＝3＋(－8)＝－5，(－6)?12＝－6－24＝－30．(1)填空：(－3)?(－2)＝________；(2)若(3x－4)?(5＋x)＝(3x－4)＋2(5＋x)，則x的取值范圍為_(kāi)_______；(3)已知(5x－7)?(－2x)＞1，求x的取值范圍．[聽(tīng)課記錄](méi)對(duì)于運(yùn)算的新定義問(wèn)題，首先讀懂定義公式或規(guī)則，然后根據(jù)公式或規(guī)則代入數(shù)值解答即可．[對(duì)點(diǎn)演練]【問(wèn)題提出】(1)數(shù)學(xué)課上王老師在黑板上寫(xiě)了如下式子：a＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)．小麗同學(xué)想到剛學(xué)的平方差公式，她的方法是：a＝1×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22048＋1)，求出a＝________．【問(wèn)題解決】(2)請(qǐng)借鑒小麗的方法求出b的值．b＝(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(31024＋1)．【遷移應(yīng)用】定義一種新運(yùn)算：i2＝－1．(3)(2＋3i)(2－3i)＝________．(4)求[1＋(2i)2][1＋(2i)4][1＋(2i)8]…[1＋(2i)256][1＋(2i)512]的值．類(lèi)型二定義新概念【典例2】定義：如圖，點(diǎn)H，K把線(xiàn)段AB分割成AH，HK，KB，若以AH，HK，KB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)H，K是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)．(1)已知H，K把線(xiàn)段AB分割成AH，HK，KB，若AH＝4，HK＝6，KB＝5，點(diǎn)H，K是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知點(diǎn)H，K是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)，且AH為直角邊，若AH＝8，AB＝24，求BK的長(zhǎng)．[聽(tīng)課記錄](méi)[對(duì)點(diǎn)演練]實(shí)踐探究題【定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值，稱(chēng)為這兩個(gè)圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點(diǎn)，當(dāng)AB的長(zhǎng)最小時(shí)，稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，AB⊥l1，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度稱(chēng)為點(diǎn)A與直線(xiàn)l2之間的距離，當(dāng)l2∥l1時(shí)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度也是l1與l2之間的距離．【應(yīng)用】(1)如圖2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．若AB＝6，AD＝4，則DE與BC之間的距離是________；(2)如圖3，已知直線(xiàn)l3：y＝－x＋4與雙曲線(xiàn)C1：y＝kx(x>0)交于A(1，m)與B兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離是________，點(diǎn)O與雙曲線(xiàn)C1之間的距離是________【拓展】(3)按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過(guò)80m時(shí)，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障(如圖4)．有一條“東南—西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線(xiàn)的形狀，它們之間的距離小于80m．現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，此時(shí)高速路所在直線(xiàn)l4的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x，小區(qū)外延所在雙曲線(xiàn)C2的函數(shù)表達(dá)式為y＝3000x(x>0)【典例3】新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱(chēng)該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程x－1＝3的解為x＝4，而不等式組x-1>1，x-2<3的解集為2＜x＜5，不難發(fā)現(xiàn)x＝4在2＜x＜5的范圍內(nèi)，所以方程x－1＝3是不等式組x-1>1(1)在方程①3(x＋1)－x＝9；②4x－7＝0；③x-12＋1＝x中，不等式組2x-2>x-1，3x-2(2)若關(guān)于x的方程2x－k＝6是不等式組3x+12≥x，x[聽(tīng)課記錄](méi)[對(duì)點(diǎn)演練]“新定義”問(wèn)題就是給出一個(gè)從未接觸過(guò)的新規(guī)定，要求現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，更多的考查閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力．定義：方程cx2＋bx＋a＝0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的倒方程，其中a，b，c均不為0．請(qǐng)根據(jù)此定義解決下列問(wèn)題：(1)方程－12x2－x＋1＝0的倒方程是________．(2)若x＝5是x2－3x＋c＝0的倒方程的解，求出c的值；(3)若m，n是一元二次方程x2－5x－1＝0的倒方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式2n2－mn－10m的值．類(lèi)型三定義新方法【典例4】閱讀下面的材料：一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書(shū)》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法，我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著《勾股圓方圖注》中也給出了類(lèi)似的解法．以x2＋10x＝39為例，花拉子米的幾何解法步驟如下：①如圖1，在邊長(zhǎng)為x的正方形的兩個(gè)相鄰邊上作邊長(zhǎng)分別為x和5的矩形，再補(bǔ)上一個(gè)邊長(zhǎng)為5的小正方形，最終把圖形補(bǔ)成一個(gè)大正方形；②一方面大正方形的面積為(x＋________)2，另一方面它又等于圖中各部分面積之和，因?yàn)閤2＋10x＝39，可得方程(x＋________)2＝39＋________，則方程的正數(shù)解是x＝________．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題．(1)補(bǔ)全花拉子米的解法步驟②；(2)根據(jù)花拉子米的解法，在圖2的兩個(gè)構(gòu)圖①②中，能夠得到方程x2－6x＝7的正數(shù)解的正確構(gòu)圖是________(填序號(hào))．[聽(tīng)課記錄](méi)新方法的定義類(lèi)問(wèn)題，要仔細(xì)讀題，研究出新方法的“新”，然后模仿其方法解答題目即可．[對(duì)點(diǎn)演練]閱讀材料：如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線(xiàn)垂直的三條直線(xiàn)，外側(cè)兩條直線(xiàn)之間的距離叫△ABC的“水平寬(a)”，中間的這條直線(xiàn)在△ABC內(nèi)部線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC＝12ah解答下列問(wèn)題：如圖2，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1，4)，交x軸于點(diǎn)A(3，0)，交y軸于點(diǎn)B．(1)求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)AB的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB；(3)拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝98S△CAB？若存在，求出P【典例5】閱讀理解【學(xué)習(xí)新知】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過(guò)“降次”轉(zhuǎn)化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉(zhuǎn)化為二次方程或一次方程進(jìn)行求解．①因式分解法求解特殊的三次方程：將x3－5x＋2＝0變形為x3－(4＋1)x＋2＝0，∴x3－4x－x＋2＝0．∴(x3－4x)－(x－2)＝0．∴x(x＋2)(x－2)－(x－2)＝0．∴(x－2)(x2＋2x－1)＝0．∴x－2＝0或x2＋2x－1＝0．∴原方程有三個(gè)根：x1＝2，x2＝－1＋2，x3＝－1－2．②換元法求解特殊的四次方程：x4－5x2＋4＝0，設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4，當(dāng)y＝1，x2＝1時(shí)，∴x＝±1；當(dāng)y＝4，x2＝4時(shí)，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2．【應(yīng)用新知】(1)仿照以上方法，按照要求解方程：①(因式分解法)x3－10x＋3＝0；②(換元法)x4＋3x2－4＝0．【拓展延伸】(2)已知：x2－2x－1＝0，且x＞0，請(qǐng)綜合運(yùn)用以上方法，通過(guò)“降次”求x4－2x3－3x的值．[聽(tīng)課記錄](méi)[對(duì)點(diǎn)演練]閱讀：計(jì)算(－3x3＋5x2－7)＋(2x－3＋3x2)時(shí)，可列豎式：-3+)3小明認(rèn)為，整式的加減實(shí)際上就是合并同類(lèi)項(xiàng)，而合并同類(lèi)項(xiàng)的關(guān)鍵是合并各同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，因此，可以把上題的豎式簡(jiǎn)化為：-3+5+0-7+)0+3+2-3所以，原式＝－3x3＋8x2＋2x－10．根據(jù)閱讀材料解答下列問(wèn)題：已知：A＝－2x－3x3＋1＋x4，B＝2x3－4x2＋x．(1)將A按x的降冪排列：________；(2