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浙教版七年級(jí)下冊(cè)

初中數(shù)學(xué)

全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解“三線八角”模型特征；

2.掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識(shí)別它們.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念

1.“三線八角”模型

如圖，直線AB、CD與直線EF相交(或者說(shuō)兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)

成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱為“三線八角”，如圖1.

被截線

⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交.

⑵“三線八角”中的每個(gè)角是由截線與一條被截線相交而成.

2.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義

在“三線八角”中，如上圖1,

(1)同位角：像N1與N5,這兩個(gè)角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線EF的同

側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角.

(2)內(nèi)錯(cuò)角：像/3與/5,這兩個(gè)角都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的兩側(cè)，像這

樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.

(3)同旁內(nèi)角：像/3和N6都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的同一旁，像這樣的一

對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.

要點(diǎn)詮釋：

(1)“三線八角”是指上面四個(gè)角中的一個(gè)角與下面四個(gè)角中的一個(gè)角之間的關(guān)系，顯然是

沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角.

(2)“三線八角”中共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角.

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（：平行線及其判定403102三線八角】

要點(diǎn)二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征

基本圖形

角的名稱位置特征圖形結(jié)構(gòu)特征

（去掉多余的線）

在兩條被截直線同形如字母“F”

方，在截線同側(cè)（或倒形）

同位角V

在兩條被截直線之形如字母“Z”

間，在截線兩側(cè)（交（或反置）

內(nèi)錯(cuò)角

錯(cuò)）

在兩條被截直線之形如字母“U”

同旁內(nèi)角內(nèi)，在截線同側(cè)匚

要點(diǎn)詮釋：巧妙識(shí)別三線八角的兩種方法：

（1）巧記口訣來(lái)識(shí)別：一看三線，二找截線，三查位置來(lái)分辨.

（2）借助方位來(lái)識(shí)別

根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標(biāo)出方位，判斷時(shí)依方位來(lái)識(shí)別，如圖2.

圖2

【典型例題】

類型一、“三線八角”模型

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（1）圖3中，ZEN2由直線被直線所截而成.

（2）圖4中，AB為截線，/D是否屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角？

【答案】（1）EF,CD；AB.（2）不是.

【解析】（1）Zl,N2兩角共同的邊所在的直線為截線，而另一邊所在的直線為被截線.

（2）因?yàn)?D的兩邊都不在直線AB上，所以/D不屬于以AB為截線的三線八角圖形

中的角.

【總結(jié)升華】判斷“三線八角”的關(guān)鍵是找出哪兩條直線是被截線，哪條直線是截線.

類型二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別

?^2.如圖，（DDE為截線，NE與哪個(gè)角是同位角？

（2）/B與N4是同旁內(nèi)角，則截出這兩個(gè)角的截線與被截線是哪些直線？

（3）ZB和/E是同位角嗎?為什么？

【答案與解析】

解：（1）DE為截線，/E與/3是同位角；

（2）截出這兩個(gè)角的截線是直線BC,被截線是直線BF、DE；

（3）不是，因?yàn)镹B與NE的兩邊中任一邊沒有落在同一直線上,所以NB和/E不是同位角.

【總結(jié)升華】確定角的關(guān)系的方法：（1）先找出截線，由截線與其它線相交得到的角有哪兒

個(gè)；（2）將這幾個(gè)角抽出來(lái)，觀察分析它們的位置關(guān)系；（3）再取其它的線為截線，再抽取

與該截線相關(guān)的角來(lái)分析.

舉一反三：

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【變式】如圖，下列判斷錯(cuò)誤的是（）.

A./I和/2是同旁內(nèi)角.B.N3和N4是內(nèi)錯(cuò)角.

C.N5和/6是同旁內(nèi)角.D./5和N8是同位角.

【答案】C

▼3.如圖，/ABD與NBDC,NADC與/BCE,NABC與/BCD,/ADB與NDBC分別是哪兩

條直線被哪一條直線所截而成的？它們分別是什么角？

【答案與解析】

解：/ABD與/BDC是由直線AB,DC被直線BD所截而成的，是內(nèi)錯(cuò)角，

NADC與NBCE是由直線AD,BC被直線DE所截而成的，是同位角，

NABC與NBCD是由直線AB,DC被直線BC所截而成的，是同旁內(nèi)角，

NADB與/DBC是由直線AD,BC被直線BD所截而成的，是內(nèi)錯(cuò)角.

【總結(jié)升華】要分析各對(duì)角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的，可以把復(fù)雜圖形按題目要

求分解成簡(jiǎn)單的圖形后，結(jié)論便一目了然.

舉一反三：

【變式】如圖Nl、N2、N3、N4、N5中，哪些是同位角？哪些是A

內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁內(nèi)角？/高

解：同位角：N5與/I,N4與N3；

內(nèi)錯(cuò)角：N2與N3,N4與N1：

同旁內(nèi)角：/4與N2,/5與N3,/5與N4.

（：平行線及其判定403102三線八角練習(xí)（2）］

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C^4.分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.

【答案與解析】

解：同位角：NB與NACD,/B與NECD；

內(nèi)錯(cuò)角：NA與NACD,/A與NACE；

同旁內(nèi)角：NB與NACB,ZA與NB,NA與NACB,NB與NBCE.

【總結(jié)升華】在復(fù)雜圖形中，分析同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，應(yīng)把圖形分解成幾個(gè)“兩條

直線與同一條直線相交”的圖形，并抽取交點(diǎn)處的角來(lái)分析.

舉一反三：

【變式】請(qǐng)寫出圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.

【答案】

解：N1與N5,N2與N6,N3與/7,N4與/8是同位角；

N2與N8,N3與N5是內(nèi)錯(cuò)角；

N2與/5,/3與N8是同旁內(nèi)角.

類型三、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角大小之間的關(guān)系

@^5.如圖直線DE、BC被直線AB所截，

(1)/1和/2、/I和N3、/I和/4各是什么角？每組中兩角的大小關(guān)系如何?

(2)如果/1=N4,那么/I和N2相等嗎？N1和N3互補(bǔ)嗎？為什么？

【答案與解析】

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解：（DN1和/2是內(nèi)錯(cuò)角；/I和N3是同旁內(nèi)角；N1和N4是同位角.每組中兩角的

大小均不確定.

（2）/I與/2相等，N1和N3互補(bǔ).理由如下：

①VZ1=Z4（已知）

Z4=Z2（對(duì)頂角相等）

，/l=N2.

②VZ4+Z3=180°（鄰補(bǔ)角定義）

/1=/4（已知）

.*.Zl+Z3=180°

即N1和/3互補(bǔ).

綜上，如果N1=N4,那么N1與/2相等，/I和/3互補(bǔ).

【總結(jié)升華】在“三線八角”中，如果有一對(duì)同位角相等，則其他對(duì)同位角也分別相等，并

且所有的內(nèi)錯(cuò)角相等，所有同旁內(nèi)角互補(bǔ).

舉一反三：

【變式1】若N1與N2是內(nèi)錯(cuò)角，則它們之間的關(guān)系是（）.

A.Nl=/2B.Z1>Z2C.Z1<Z2D.Nl=/2或Nl>/2或Nl</2

【答案】D

【變式2】下列命題：①兩條直線相交，一角的兩鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線垂直；②兩條

直線相交，一角與其鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線垂直；③內(nèi)錯(cuò)角相等，則它們的角平分線互

相垂直；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則它們的角平分線互相垂直，其中正確的個(gè)數(shù)為（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C（提示：②④正確）.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.如圖，直線AD、BC被直線AC所截，則N1和/2是（）.

A.內(nèi)錯(cuò)角B.同位角C.同旁內(nèi)角D.對(duì)頂角

2.如圖，能與Na構(gòu)成同位角的有（）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

第3題圖

3.如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.

①/I和N3是同位角；②N1和/5是同位角;

③N1和N2是同旁內(nèi)角；④N1和N4是內(nèi)錯(cuò)角.

A.①@B.②③C.②④D.③④

4.若/I與N2是同位角，則它們之間的關(guān)系是（）.

A./1=/2；B.Z1>Z2；

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C.Z1<Z2；D.N1=N2或N1>N2或N1C/2.

5.在下圖中，/I和N2不是內(nèi)錯(cuò)角的是().

在上述四個(gè)圖中，/I與N2是同位角的有().

A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(3)C.(1)(3)D.(1)

7.如圖，下列結(jié)論正確的是(

A.N5與N2是對(duì)頂角；B.N1與N3是同位角；

C./2與/3是同旁內(nèi)角；D.N1與N2是同旁內(nèi)角.

8.在圖中，N1與/2不是同旁內(nèi)角的是().

二、填空題

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9.如圖，當(dāng)直線BC、DC被直線AB所截時(shí):N1的同位角是,同旁內(nèi)角是；

當(dāng)直線AB、AC被直線BC所截時(shí)，N1的同位角是；當(dāng)直線AB、BC被直線CD所截

時(shí)，/2的內(nèi)錯(cuò)角是.

10.如圖，

(1)Z1和ZABC是直線AB、CE被直線所截得的角；

(2)Z2和/BAC是直線CE、AB被直線所截得的角；

(3)Z3和/ABC是直線、被直線所截得的角；

(4)ZABC和ZACD是直線、被直線所截得的角；

(5)ZABC和ZBCE是直線、被直線所截得的角.

11.如圖，若/1=95°,Z2=60°,則N3的同位角等于,Z3的內(nèi)錯(cuò)角等于

,/3的同旁內(nèi)角等于.

12.如圖，在圖中的/I、N2、/3、N4、Z5和/B中，同位角是,內(nèi)錯(cuò)角是,

同旁內(nèi)角是.

13.如圖，直線a、b、c分別與直線d、e相交，與/I構(gòu)成同位角的角共有個(gè)，

和/I構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的角共有個(gè)，與N1構(gòu)成同旁內(nèi)角的角共有個(gè).

14.如圖，三條直線兩兩相交，其中同旁內(nèi)角共有對(duì)，同位角共有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角

共有對(duì)，

三、解答題

15.如圖，N1和哪些角是內(nèi)錯(cuò)角？N1和哪些角是同旁內(nèi)角？N2和哪些角是內(nèi)錯(cuò)角？Z2

和哪些角是同旁內(nèi)角？它們分別是由哪兩條直線被哪一條線截成的？

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16.指出圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.

17.在同一個(gè)“三線八角”的基本圖形中，如果已知一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等.

(1)圖中其余的各對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等嗎?為什么？

(2)圖中的各對(duì)同位角相等嗎?為什么？

(3)猜想圖中各對(duì)同旁內(nèi)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】N1與N2是直線AD、BC被直線AC所截而成，且這兩角都在被截線AD、BC之

間，在截線AC兩側(cè)，所以為內(nèi)錯(cuò)角.

2.【答案】B

【解析】如圖，與Na能構(gòu)成同位角的有：Zl,N2,Z3.

3.【答案】C

【解析】②錯(cuò)因：/I與/5沒有公共邊，不是“三線八角”中的角；④錯(cuò)因：N4沒在

截線的內(nèi)側(cè)，所以N1與N4不是內(nèi)錯(cuò)角.

4.【答案】1)

【解析】由兩角是同位角，內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角得不出它們大小之間的關(guān)系.

5.【答案】D

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【解析】D中的N1與/2沒有公共邊，所以不屬于“三線八角”中的角.

6.【答案】C

【解析】圖（2）或圖（4）中的N1與N2沒有公共邊，不屬于“三線八角”中的角.

7.【答案】I）

8.【答案】D

【解析】選項(xiàng)D中/1與22沒有公共邊，不屬于“三線八角”中的角.

二、填空題

9.【答案】Z2,Z5,Z3,Z4

【解析】先看哪兩條線被哪一條線所截，再判斷它們的關(guān)系.

10.【答案】（1）BD（或BC）,同位；（2）AC,內(nèi)錯(cuò)；（3）AB,AC,BC,同旁內(nèi)；

（4）AB,AC,BC,同位；（5）AB,CE,BC,同旁內(nèi).

【解析】可以從復(fù)雜圖形中抽出簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行分析.

11.【答案】85°,85°,95°

【解析】23的同位角和內(nèi)錯(cuò)角均與/I互補(bǔ)，故它們的度數(shù)均為：180°—95°=85°,

而N3的同旁內(nèi)角是N1的對(duì)頂角，所以N3的同旁內(nèi)角的度數(shù)等于N1的度數(shù).

12.【答案】/I與/B,N4與/B；N2與/5,N3與N4；/2與/4,/3與N5,Z3

與NB,NB與N5.

13.【答案】3,2,2

【解析】如圖，與/I是同位角的是：Z2,Z3,Z4；與N1是內(nèi)錯(cuò)角的是：Z5,

Z6；與/I是同旁內(nèi)角的是：Z7,Z8.

14.【答案】6,12,6

【解析】每個(gè)“三線八角”中共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角，而兩兩相

交，且不交于同一點(diǎn)的三條直線共有三個(gè)“三線八角”，所以同旁內(nèi)角共有：3x2=6

（對(duì)），同位角共有：3x4=12（對(duì)），同旁內(nèi)角共有：3x2=6（對(duì)）.

三、解答題

15.【解析】

解：/I和NDAB是內(nèi)錯(cuò)角，由直線DE和BC被直線AB所截而成；

Z1和NBAC是同旁內(nèi)角，由直線BC和AC被直線AB所截而成；

/I和N2也是同旁內(nèi)角，是直線AB和AC被直線BC所截而成；

Z1和NBAE也是同旁內(nèi)角，是直線DE和BC被直線AB所截而成；

Z2和NEAC是內(nèi)錯(cuò)角，是直線DE和BC被直線AC所截而成；

Z2和NBAC是同旁內(nèi)角，是直線AB和BC被直線AC所截而成；

/2和N1也是同旁內(nèi)角，是直線AB和AC被直線BC所截而成；

Z2和ZDAC也是同旁內(nèi)角，是直線DE和BC被直線AC所截而成.

16.【解析】

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解：如圖，可分解成三個(gè)基本圖形，由圖（1）得內(nèi)錯(cuò)角：/BAD和/B；

由圖⑵得同位角：/DAE和/C,同旁內(nèi)角：/CAD和NC；

由圖⑶得同位角:NBAE和NC,內(nèi)錯(cuò)角：NB和NBAE,同旁內(nèi)角：NB和NC,NB和NBAC,

ZC和NBAC.

即原圖形中共有兩組同位角，兩組內(nèi)錯(cuò)角，四組同旁內(nèi)角.

17.【解析】

解：（1）相等；（2）相等；（3）互補(bǔ).理由如下:

如圖，

（1）由/1=N2,又N3=/4（等角的補(bǔ)角相等）；

（2）由/1=N2,又Nl=/5（對(duì)頂角相等），所以N2=N5,

同理可得：其他對(duì)同位角也相等；

（3）由N1=N2,又/1+/3=180°,所以N2+N3=180°（等量代換）,

同理：Zl+Z4=180°.

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平行線及其判定(提高)知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

L熟練掌握平行線定義及畫法；

2.掌握平行公理及其推論；

3.掌握平行線的判定方法，并能運(yùn)用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、平行線及平行公理

1.平行線的定義

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.兩直線平行，用符號(hào)“〃”表示.如下

圖，兩條直線互相平行，記作AB〃CD或a〃b.

(1)同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：相交和平行.

(2)互相重合的直線通?？醋饕粭l直線，兩條線段或射線平行是指它們所在的直線平行.

用直尺和三角板作平行線的步驟：

①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.

②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.

③推：沿著直尺平移三角板，使與已知直線重合的斜邊通過(guò)已知點(diǎn).

④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.

3.平行公理及推論

平行公理：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.

推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

要點(diǎn)詮釋：

(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì).

(2)公理中“有”說(shuō)明存在；“只有”說(shuō)明唯一.

(3)“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.

4.兩條平行線間的距離

同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線

間的距離.

要點(diǎn)詮釋：

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（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段

的長(zhǎng)度就是兩條平行線的距離.

（2）兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個(gè)定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，

即兩條平行線之間的距離處處相等.

要點(diǎn)二、平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：

,/Z3=Z2

...AB〃CD（同位角相等，兩直線平行）

判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：

/1=/2

...AB〃CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：

Z4+Z2=180°

...AB〃CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

要點(diǎn)詮釋：

（1）平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.

（2）今后我們用符號(hào)表示“因?yàn)?，用表示“所以”.

【典型例題】

類型一、平行公理及推論

在同一平面內(nèi)，下列說(shuō)法：（1）過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線；（2）兩條直線有且只有

一個(gè)公共點(diǎn)；（3）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線

與已知直線平行.其中正確的個(gè)數(shù)為：（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】正確的是：（1）（3）.

【總結(jié)升華】對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確

理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意區(qū)分不同表述之間的聯(lián)系和區(qū)別.

舉一反三：

【變式】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）.

（1）直線a、b、c、d,如果a〃b、c〃b、c〃d,則a〃d.

（2）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直.

（3）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.

（4）在同一平面內(nèi)，如果兩直線都垂直于同一條直線，那么這兩直線平行.

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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

C2.下面兩條平行線之間的三個(gè)圖形，圖—的面積最大，圖的面積最小.

785

圖1圖2圖3

【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)三角形的面積是拼成的

平行四邊形面積的一半；兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)梯形的面積是

拼成的平行四邊形面積的一半.因?yàn)楦呦嗤?，所以可以通過(guò)比較平行四邊形的底的長(zhǎng)短，得

出平行四邊形面積的大小.

【答案】圖3,圖2

【解析】

解：因?yàn)樗鼈兊母呦嗟?，三角形的底?,8+2=4,梯形的上、下底之和除以2,(2+7)+2=4.5；

5>4.5>4；

所以，圖3平行四邊形的面積最大，圖2三角形的面積最小.

【總結(jié)升華】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出梯形、三角形、平行四邊形的高相等，求出三角形底

的一半，梯形上、下底之和的一半，與平行四邊形的底進(jìn)行比較，由此得出正確答案.

舉一反三：

【變式】下圖是一個(gè)方形螺線.已知相鄰均為1厘米，則螺線總長(zhǎng)度是厘米.

【答案】35

類型二'平行線的判定

C3.如圖，給出下列四個(gè)條件：(1)AC=BD；(2)ZDAC=ZBCA；(3)ZABD=ZCDB；

(4)/ADB=NCBD,其中能使AD〃BC的條件有().

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(2)(4)D.(1)(3)(4)

【思路點(diǎn)撥】欲證AD〃BC,在圖中發(fā)現(xiàn)AD、BC被一直線所截，故可按同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角

相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行補(bǔ)充條件.

【答案】C

【解析】從分解圖形入手，即尋找AD、BC的截線.

【總結(jié)升華】從題目的結(jié)論出發(fā)分析所要說(shuō)明的結(jié)論能成立，必須具備的是哪些條件，再看

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這些條件成立又需具備什么條件，直到追溯到已知條件為止.

舉一反三：

【變式】一個(gè)學(xué)員在廣場(chǎng)上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，這兩次

拐彎的角度可能是（）

A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°

B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°

D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°

【答案】A

提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出示意圖.

圖B顯然不同向，因?yàn)槁肪€不平行.

圖C中，21=180°-130°=50°,路線平行但不同向.

圖D中，Zl=180°-130°=50°,路線平行但不同向.

只有圖A路線平行且同向，故應(yīng)選A.

^^4.如圖所示，已知/B=25°,ZBCD=45°,NCDE=30°,ZE=10°.試說(shuō)明

AB〃EF的理由.

【思路點(diǎn)撥】利用輔助線把AB、EF聯(lián)系起來(lái).

【答案與解析】

解法1：如圖所示，在/BCD的內(nèi)部作/BCM=25°,在NCDE的內(nèi)部作NEDN=10°.

A-----------------

-M

F

'：ZB=25°,ZE=10°（已知），

NB=/BCM,NE=NEDN（等量代換）.

AB〃CM,EF〃DN（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

又，:/BCD=45°,ZCDE=30°（己知），

二ZDCM=20°,ZCDN=20°（等式性質(zhì)）.

二/DCM=/CDN（等量代換）.

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CM〃DN（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

,/AB〃CM,EF〃DN（己證），

AB〃EF（平行線的傳遞性）.

ZB=25°,

ZCNB-1800-ZNCB-ZB=20°（三角形的內(nèi)角和等于180°）.

又,../CDE=30°,.,.ZEDM=150°.

又,；/E=10°,

ZEMD=180°-ZEDM-ZE=20°（三角形的內(nèi)角和等于180°）.

ZCNB=ZEMD（等量代換）.

所以AB〃EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

【總結(jié)升華】判定兩條直線平行的方法有四種，選擇哪種方法要根據(jù)問(wèn)題提供的條件來(lái)靈活

選取.

舉一反三：

（：平行線及判定403102經(jīng)典例題2】

【變式】已知，如圖，BE平分NABD,DE平分/CDB,且/I與/2互余，試判斷直線AB、

CD的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

解：AB〃CD,理由如下：

BE平分NABD,DE平分NCDB,

/ABD=2/1,NCDB=2N2.

又；Nl+N2=90°,

二ZABD+ZCDB=180°.

AB〃CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

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平行線及其判定（提高）鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.下列說(shuō)法中正確的有（）.

①一條直線的平行線只有一條.

②過(guò)一點(diǎn)與已知直線平行的直線只有一條.

③因?yàn)閍〃b,c〃d,所以a〃d.

④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.如果兩個(gè)角的一邊在同一直線上，另一邊互相平行，則這兩個(gè)角（）.

A.相等B.互補(bǔ)C.互余D.相等或互補(bǔ)

3.如圖，能夠判定DE〃BC的條件是（）.

A.ZDCE+ZDEC=180°B.ZEDC=ZDCB

C.NBGF=NDCBD.CD±AB,GF±AB

4.一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，那么這兩

次拐彎的角度可能是（）.

A.第一次向右拐40°第二次向右拐140°

B.第一次向右拐40。第二次向左拐40。

C.第一次向左拐40°第二次向右拐140°

D.第一次向右拐140°，第二次向左拐40。

5.如圖所示，下列條件中,不能推出AB〃CE成立的條件是).

A.NA=/ACEB.NB=NACEC.NB=NECDD./B+NBCE=180°

6.（紹興）學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過(guò)己知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法,

她是通過(guò)折一張半透明的紙得到的（如圖，（1）一（4））:

從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（）.

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①兩直線平行，同位角相等.②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.③同位角相等，兩直線平行.

④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

A.①②B.②③C.③④D.④①

二、填空題

7.在同一平面內(nèi)的三條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是.

8.如圖，DF平分/CDE,/CDF=55°,ZC=70°,則//.

9.規(guī)律探究：同一平面內(nèi)有直線a”a2,a?…，aioo，若ai_La2，a2〃a3，a3-La4…，按此規(guī)

律，ai和aioo的位置是.

10.已知兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角為40°,則另一個(gè)角的度數(shù)是.

11.直線/同側(cè)有三點(diǎn)A、B、C,如果A、B兩點(diǎn)確定的直線/'與B、C兩點(diǎn)確定的直線/"

都與/平行，則A、B、C三點(diǎn),其依據(jù)是.

12.如圖，ABLEF于點(diǎn)G,CDLEF于點(diǎn)H,GP平分NEGB,HQ平分NCHF,則圖中互

相平行的直線有.

cBD

C

三、解答題

13.如圖，Zl=60°,/2=60°,/3=100°,要使AB〃EF,N4應(yīng)為多少度?說(shuō)明理由.

14.小敏有一塊小畫板（如圖所示），她想知道它的上下邊緣是否平行，而小敏身邊只有一個(gè)

量角器，你能幫助她解決這一問(wèn)題嗎？

15.如圖，把一張長(zhǎng)芳形紙條ABCD沿AF折疊，已知NADB=20°,那么NBAF為多少

度時(shí)，才能使AB'〃BD?

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16.如圖所示，由Nl=/2,BD平分/ABC,可推出哪兩條線段平行，寫出推理過(guò)程，如

果推出另兩條線段平行，則應(yīng)將以上兩條件之一作如何改變？

【答案與解析】

一、選擇題

I.【答案】A；

【解析】只有④正確，其它均錯(cuò).

2.【答案】D；

3.【答案】B；

【解析】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

4.【答案】B；

5.【答案】B；

【解析】ZB和NACE不是兩條直線被第三條直線所截所得到的角.

6.【答案】C；

【解析】解決本題關(guān)鍵是理解折疊的過(guò)程，圖中的虛線與已知的直線垂直，過(guò)點(diǎn)P的折

痕與虛線垂直.

二、填空題

7.【答案】0或1或2或3個(gè)；

8.【答案】BC,DE；

【解析】ZCFD=180°-70°-55°=55°,而NFDE=NCDF=55°,所以NCFD=

ZFDE.

9.【答案】ai〃aioo；

///,z

【解析】為了方便，我們可以記為a1±a2Za3±a4Za5±a6Za7±ag/7a9±aio"Za97-La98

〃a99，aioo，因?yàn)閍i_La2〃a3，所以aiJ_a3，而a3~La4，所以ai〃a4〃a5.同理得a5〃ag〃的，

a9//a12"am…，接著這樣的規(guī)律可以得a1〃a97〃aioo，所以ai〃aioo.

10.【答案】40°或140°；

11?【答案】共線，平行公理；

【解析】此題考查是平行公理，它是論證推理的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練應(yīng)用.

12.【答案】AB〃CD,GP〃HQ；

【解析】

理由：AB_LEF,CD±EF.，ZAGE=ZCHG=90°.，AB/7CD.

AB1EF.:./EGB=N2=90°.GP平分/EGB.

Z1=-EGB=45°.

2

ZPGH=Z1+Z2=135°.

同理NGHQ=135°,/.NPGH=/GHQ.

GP〃HQ.

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三、解答題

13.【解析】

解：Z4=100°.理由如下：

,:/1=60°,/2=60°,

Z1=Z2,二AB〃CD

又?.?/3=N4=100°,

CD〃EF,AB〃EF.

14.【解析】

解：如圖所示，用量角器在兩個(gè)邊緣之間畫一條線段MN,用量角器測(cè)得Nl=50°,

/2=50。，因?yàn)镹1=N2,所以由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知畫板的上下邊緣是

平行的.

15.【解析】

解：要使AB'〃BD,只要NB'AD=NADB=20°,

NB'AB=ZBAD+ZB,AD=900+20°=110°.

?，.ZBAF=-ZB,AB=-X110°=55°.

22

16.【解析】

解：可推出AD〃BC.

,/BD平分NABC（已知）.

N1=NDBC（角平分線定義）.

又：N1=N2（已知），N2=/DBC（等量代換）.

/.AD〃BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

把/1=/2改成/DBC=/BDC.

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平行線的性質(zhì)及平移（提高）知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；

2.了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；

3.了解圖形的平移變換，知道一個(gè)圖形進(jìn)行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系

和區(qū)別，能用平移變換有關(guān)知識(shí)說(shuō)明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題及進(jìn)行圖形設(shè)計(jì).

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

要點(diǎn)詮釋：

（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等“、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不

可忽視前提“兩直線平行”.

（2）從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平

行線的性質(zhì).

要點(diǎn)二、兩條平行線間的距離

同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線

間的距離.

要點(diǎn)詮釋：

（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段

的長(zhǎng)度就是兩條平行線間的距離.

（2）兩條平行線間的距離處處相等.

要點(diǎn)三、圖形的平移

1.定義：一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)，在移動(dòng)的過(guò)程中，原圖形上所有的點(diǎn)都沿同一個(gè)方向

移動(dòng)相等的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移.

要點(diǎn)詮釋：圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離.

2.性質(zhì)：

（1）平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.

（2）一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段互相平行（或在同一條

直線上）且相等.

要點(diǎn)詮釋：

（1）“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”的線段的長(zhǎng)度實(shí)際上就是平移的距離.

（2）要注意“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”與“對(duì)應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過(guò)連接平移前后的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到的，而后者是原來(lái)的圖形與平移后的圖形上本身存在的.

3.作圖：

平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時(shí)，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”一一定、找、

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移、連.

(1)定：確定平移的方向和距離；

(2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

(3)移：過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

(4)連：按原圖形順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn).

【典型例題】

類型一、平行線的性質(zhì)

◎^1.如圖，己知AB〃CD,AP平分NBAC,CP平分NACD,求NAPC的度數(shù).

解：作PM〃AB,交AC于點(diǎn)M,如圖:

VAB/7CD

/.ZCAB+ZACD=180°

；PA平分/CAB,PC平分NACD

AZl+Z4=90°

VAB/7PM/7CD

.?.N1=N2,N3=N4

Z2+Z3=90°

ZAPC=90°

【總結(jié)升華】平行線與角的關(guān)系非常密切，平行線的性質(zhì)都是以角的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，在求角度

的過(guò)程中，如果能夠適時(shí)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將會(huì)使問(wèn)題的解決顯得簡(jiǎn)便快捷?

舉一反三：

【變式】(廣安)如圖所示，已知a〃b〃c,Zl=105°,Z2=140°,則N3的度數(shù)是()

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類型二、兩平行線間的距離

.下面兩條平行線之間的三個(gè)圖形，圖—的面積最大，圖的面積最小.

785

圖1圖2圖3

【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)三角形的面積是拼成的

平行四邊形面積的一半；兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)梯形的面積是

拼成的平行四邊形面積的一半.因?yàn)楦呦嗤?，所以可以通過(guò)比較平行四邊形的底的長(zhǎng)短，得

出平行四邊形面積的大小.

【答案】圖3,圖2

【解析】

解：因?yàn)樗鼈兊母呦嗟龋切蔚牡资?,8+2=4,梯形的上、下底之和除以2,(2+7)+2=4.5；

5>4.5>4；

所以，圖3平行四邊形的面積最大，圖2三角形的面積最小.

【總結(jié)升華】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出梯形、三角形、平行四邊形的高相等，求出三角形底

的一半，梯形上、下底之和的一半，與平行四邊形的底進(jìn)行比較，由此得出正確答案.

舉一反三：

【變式】下圖是一個(gè)方形螺線.已知相鄰均為1厘米，則螺線總長(zhǎng)度是厘米.

【答案】35

類型三、圖形的平移

如圖所示，①、②兩圖中，哪個(gè)圖形中的一個(gè)三角形可以經(jīng)過(guò)另一個(gè)三角形平移得

到？

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【答案與解析】

解：圖①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，無(wú)

論怎樣平移其中一個(gè)三角形也得不到另一個(gè)三角形.圖②符合平移的特征，三角形PQR沿

射線PM方向移動(dòng)PM長(zhǎng)即可得到三角形MNO.

所以，圖②中一個(gè)三角形可以經(jīng)過(guò)另一個(gè)三角形平移得到.

【總結(jié)升華】平移變換的實(shí)質(zhì)是圖形沿直線運(yùn)動(dòng)，它的形狀、大小都不發(fā)生變化，否則就不

是平移變換.

舉一反三：

【變式】下面生活中的物體的運(yùn)動(dòng)情況可以看成平移的是（填寫序號(hào)）.

（1）擺動(dòng)的鐘擺；（2）在筆直的公路上行駛的汽車；（3）隨風(fēng)擺動(dòng)的旗幟；

（4）搖動(dòng)的大繩；（5）汽車玻璃上雨刷的運(yùn)動(dòng)；（6）從樓頂自由落下的球（球不旋轉(zhuǎn)）.

【答案】（2）（6）.

解：（1）擺動(dòng)的鐘擺，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（2）在筆直的公路上行駛的汽車沿直線運(yùn)動(dòng)，屬于平移；

（3）隨風(fēng)擺動(dòng)的旗幟，形狀發(fā)生改變，不屬于平移；

（4）搖動(dòng)的大繩，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（5）汽車玻璃上雨刷的運(yùn)動(dòng)，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（6）從樓頂自由落下的球沿直線運(yùn)動(dòng)，屬于平移.

工可以看成平移的是（2）（6）.

4.（蘇州中考模擬）如圖所示,在長(zhǎng)為50m,寬為22m的長(zhǎng)方形地面上修筑寬度都為2m

的道路，余下的部分種植花草，求種植花草部分的面積.

【思路力:撥】因種植花草部分比較分散，且有的是不規(guī)則的圖形，所以直接求其面積較困

難.因小路都是寬度相同的長(zhǎng)方形，所以可想到把小路平移到一起，這樣種植花草部分將匯

集成一個(gè)長(zhǎng)方形，問(wèn)題便迎刃而解.

【答案與解析】

解：如圖所示②把幾條2米寬的小路分別平移到大長(zhǎng)方形的上邊緣和左邊緣，則種植花草部

分匯集成一個(gè)長(zhǎng)方形，

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顯然，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是50-2=48(m),寬是22-2=20(m),于是種植花草部分的面積為

48X20=960(m2).

【總結(jié)升華】若分步計(jì)算則較繁瑣.但采用“平移”的手段從整體上把握，問(wèn)題便迅速求解.

舉一反三：

【變式】如圖①，在寬為20m、長(zhǎng)為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬度的道路，余下部

分作為耕地.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得耕地的面積為()

A.600m2B.551m2C.550m2D.500m2

【答案】B

.如圖，AB〃CD,點(diǎn)M,N分別為AB,CD上的點(diǎn).

(1)若點(diǎn)Pi在兩平行線內(nèi)部，NBMP[=45°,NDNP|=30°,則NMP1N=

(2)若P],P2在兩平行線內(nèi)部，且P1P2不與AB平行，如圖，請(qǐng)你猜想NAMP|+NP|P?N

與NMP|P2+NP2ND的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖，若P|,P2,P3在兩平行線內(nèi)部，順次連結(jié)M,P”P2,P3,N,且P1P2，P2P3

不與AB平行，直接寫出你得到的結(jié)論.

【答案與解析】

解：⑴75。；

(2)結(jié)論：ZAMPi+ZP,P2N=ZMP,P2+ZP2ND

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證明：如圖，分別過(guò)P”P2作PQ〃AB,P2Q2^AB.

又：AB〃CD,ZAMPi-Zl,N2=/3,Z4=ZP2ND.

:.ZAMPi+ZP!P2N=ZAMP,+Z3+Z4=Z1+Z2+ZP2ND=ZMPIP2+ZP2ND.

(3)/BMP1+NP1P2P3+ZP3ND=ZMP,P2+ZP2P3N.

【總結(jié)升華】通過(guò)作平行線，問(wèn)題便迅速得到解決.

舉一反三:

【變式】如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí).，需拐彎繞湖而過(guò)，如果第一次拐角NA是120。，

第二次拐的角NB是150°,第三次拐的角是/C,這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道

路平行，則/（2是（）.

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D；提示：如圖,過(guò)點(diǎn)B作BE〃AM.

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平行線的性質(zhì)及平移（提高）鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.若N1和/2是同旁內(nèi)角，若Nl=45°,則/2的度數(shù)是（）.

A.45°B.135°C.45°或135°D.不能確定

2.如圖，已知直線AB〃CD,ZC=125°,ZA=45°,那么NE的大（）.

E

A.70°B.80°C.90°D.100°

3.（湖北襄樊）如圖所示，己知直線AB〃CD,BE平分NABC,交CD于D,ZCDE=

150°,則NC的度數(shù)為（）.

C.120°D.100°

).

B.Z2+Z3-