PAGEPAGE1第2講平面對量一、選擇題1．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.假如c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向解析：由c∥d，則存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0，又a與b不共線，∴k－λ＝0，且λ＋1＝0，∴k＝－1，此時c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.故c與d反向，選D.答案：D2．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ()A．1 B．－1C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：由題意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＝1，,λ＝－k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))答案：D3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b解析：設c＝xa＋yb，則(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－1，,x－y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(3,2)，))則c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.答案：B4．已知△ABC的三個頂點A，B，C及所在平面內(nèi)一點P滿意eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，則點P與△ABC的關系為()A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部C．P在邊AB上 D．P在邊AC上解析：由eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(PB,\s\up8(→))－eq\o(PA,\s\up8(→))，得2eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(CP,\s\up8(→))＝2eq\o(PA,\s\up8(→))，即eq\o(CP,\s\up8(→))∥eq\o(PA,\s\up8(→))，∴C、P、A三點共線．答案：D5．已知向量a，b，c中隨意兩個都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于()A．a(chǎn) B．bC．c D．0解析：設a＋b＝λc，b＋c＝μa，則a－c＝λc－μa，所以(1＋μ)a＝(1＋λ)c，因為a，c不共線，所以μ＝λ＝－1，所以a＋b＋c＝0.故選D.答案：D6．設向量a，b滿意|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則|a＋2b|＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(5) D.eq\r(7)解析：|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4＝3，∴|a＋2b|＝eq\r(3).答案：B7．設x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．10解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝eq\r(10).答案：B8．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b的夾角為eq\f(π,6)，則實數(shù)m＝()A．2eq\r(3) B.eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)解析：a·b＝|a||b|coseq\f(π,6)，則3＋eq\r(3)m＝2·eq\r(9＋m2)·eq\f(\r(3),2)，(eq\r(3)＋m)2＝9＋m2，解得m＝eq\r(3).答案：B9．已知△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O.若|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，且2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，則eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))等于()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\f(3,2) D．3解析：因為2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，所以(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，所以O為BC的中點，故△ABC為直角三角形，∠A為直角，又|OA|＝|AB|，則△OAB為正三角形，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝1，eq\o(CA,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))的夾角為30°，由數(shù)量積公式可知eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\r(3)×2cos30°＝eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＝3.選D.答案：D10．在△ABC中，設eq\o(AC,\s\up8(→))2－eq\o(AB,\s\up8(→))2＝2eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))，那么動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的()A．垂心 B．內(nèi)心C．外心 D．重心解析：設BC邊中點為D，∵eq\o(AC,\s\up8(→))2－eq\o(AB,\s\up8(→))2＝2eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))，∴(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))·(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝2eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))，即eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))，∴eq\o(MD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，則eq\o(MD,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即MD⊥BC，∴MD為BC的垂直平分線，∴動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的外心，故選C.答案：C11．若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))(λ>0)，則點P的軌跡經(jīng)過△ABC的()A．重心 B．垂心C．外心 D．內(nèi)心解析：eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)，eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)分別表示與eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))方向相同的單位向量，記為eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→)).以eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))為鄰邊作?AEDF，則?AEDF為菱形．∴AD平分∠BAC且eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\o(AD,\s\up8(→)).∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\o(AD,\s\up8(→)).∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AD,\s\up8(→)).∵λ>0，∴點P的軌跡為射線AD(不包括端點A)．∴點P的軌跡經(jīng)過△ABC的內(nèi)心．答案：D12．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有極值，則向量a與b的夾角的范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2,3)π))解析：設a與b的夾角為θ.∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函數(shù)f(x)在R上有極值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有兩個不同的實數(shù)根，即Δ＝|a|2－4a·b>0，∴a·b<eq\f(a2,4)，又∵|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)<eq\f(\f(a2,4),\f(a2,2))＝eq\f(1,2)，即cosθ<eq\f(1,2)，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，故選C.答案：C二、填空題13．已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，則a·b＝__________.解析：由a＝(－2，－6)，得|a|＝eq\r(－22＋－62)＝2eq\r(10)，則a·b＝|a||b|cos60°＝2eq\r(10)·eq\r(10)·eq\f(1,2)＝10.答案：1014．如圖所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，點C在AB上，OC⊥AB，用eq\o(OA,\s\up8(→))和eq\o(OB,\s\up8(→))來表示向量eq\o(OC,\s\up8(→))，則eq\o(OC,\s\up8(→))等于__________．解析：依據(jù)三角形三邊關系：eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up8(→)).答案：eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up8(→))15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，重心為G，若aeq\o(GA,\s\up8(→))＋beq\o(GB,\s\up8(→))＋eq\f(\r(3),3)ceq\o(GC,\s\up8(→))＝0，則A＝__________.解析：由G為△ABC的重心知eq\o(GA,\s\up8(→))＋eq\o(GB,\s\up8(→))＋eq\o(GC,\s\up8(→))＝0，則eq\o(GC,\s\up8(→))＝－eq\o(GA,\s\up8(→))－eq\o(GB,\s\up8(→))，因此aeq\o(GA,\s\up8(→))＋beq\o(GB,\s\up8(→))＋eq\f(\r(3),3)c(－eq\o(GA,\s\up8(→))－eq\o(GB,\s\up8(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(3),3)c))eq\o(GA,\s\up8(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(\r(3),3)c))eq\o(GB,\s\up8(→))＝0，又eq\o(GA,\s\up8(→))，eq\o(GB,\s\up8(→))不共線，所以a－eq\f(\r(3),3)c＝b－eq\f(\r(3),3)c＝0，即a＝b＝eq\f(\r(3),3)c.由余弦定理得cosA＝eq