PAGE1-第23課時(shí)幾何概型學(xué)問點(diǎn)一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的問題1．已知函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，那么滿意f(x0)≤0，x0∈[－5，5]的x0取值的概率為()A．eq\f(3,10)B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,5)D．eq\f(1,10)答案A解析由f(x0)≤0，即xeq\o\al(2,0)－x0－2≤0，解得－1≤x0≤2．∴所求概率為P＝eq\f(2－－1,5－－5)＝eq\f(3,10)．2．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)答案C解析如圖所示，在邊AB上任取一點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC與△PBC是等高的，所以事務(wù)“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價(jià)于事務(wù)“|BP|∶|AB|＞eq\f(1,4)”，即P△PBC的面積大于eq\f(S,4)＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4)．學(xué)問點(diǎn)二與角度有關(guān)的幾何概型問題3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，射線OT為60°角的終邊，在隨意角集合中任取一個(gè)角，則該角終邊落在∠xOT內(nèi)的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,60)答案A解析隨意角的終邊OA落在坐標(biāo)系中任何一個(gè)位置是等可能的，而60°角是一周角的eq\f(1,6)，∴所求概率P＝eq\f(1,6)．4．在圓心角為90°的扇形OAB中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為________．答案eq\f(1,3)解析作射線OD和OE，使得∠AOD和∠BOE都等于30°．要使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，則射線OC位于射線OD和OE之間，故所求概率P＝eq\f(90°－30°－30°,90°)＝eq\f(1,3)．學(xué)問點(diǎn)三與面積有關(guān)的幾何概型問題5．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2)D．eq\f(π,4)答案B解析設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則圓的半徑為eq\f(a,2)，則正方形的面積為a2，圓的面積為eq\f(πa2,4)．由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是eq\f(\f(1,2)·\f(πa2,4),a2)＝eq\f(π,8)，選B．學(xué)問點(diǎn)四與體積有關(guān)的幾何概型問題6．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M．(1)求點(diǎn)M落在三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)的概率P1；(2)求點(diǎn)M落在三棱錐B－A1B1C1內(nèi)的概率P2；(3)求點(diǎn)M到面ABCD的距離大于eq\f(a,3)的概率P3；(4)求點(diǎn)M到面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于eq\f(a,3)的概率P4．解V正方體＝a3．(1)∵V三棱柱ABC－A1B1C1＝eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,2)a3，∴所求概率P1＝eq\f(\f(1,2)a3,a3)＝eq\f(1,2)．(2)∵V三棱錐B－A1B1C1＝eq\f(1,3)·S△A1B1C1·BB1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,6)a3，∴所求概率P2＝eq\f(1,6)．(3)所求概率P3＝eq\f(a－\f(a,3),a)＝eq\f(2,3)．(4)所求概率P4＝eq\f(a－\f(a,3)－\f(a,3),a)＝eq\f(1,3)．易錯(cuò)點(diǎn)幾何概型中測(cè)度選取不對(duì)致錯(cuò)7．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，過頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM<eq\f(\r(3),3)AC的概率為()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(1,4)易錯(cuò)分析易錯(cuò)的緣由在于選擇的視察角度有問題，題目中條件是過C作射線CM，錯(cuò)在AB上取點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度之比，事實(shí)上，在∠ACB內(nèi)的射線CM是勻稱分布的，所以射線CM作在任何位置都是等可能的，則涉及的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是角度．正解D由題意，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，則AC＝eq\r(3)AD，即AD＝eq\f(\r(3),3)AC，AB＝eq\r(3)AC＝3AD，所以要使過頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM<eq\f(\r(3),3)AC，只要AM<AD即可，由DA＝DC，得∠ACD＝∠CAD＝eq\f(180°－120°,2)＝30°，所以AM<eq\f(\r(3),3)AC的概率為eq\f(30°,120°)＝eq\f(1,4)．故選D．一、選擇題1．已知直線y＝x＋b，b∈[－2，3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率為()A．eq\f(3,8)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(2,5)答案D解析直線在y軸上的截距大于1，則b∈(1，3]，故P＝eq\f(3－1,3－－2)＝eq\f(2,5)．2．如右圖所示，將一個(gè)長(zhǎng)與寬不等的長(zhǎng)方形沿對(duì)角線分成四個(gè)區(qū)域，并涂上四種顏色，中間裝個(gè)指針，使其可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則下列對(duì)指針停留在各區(qū)域的可能性的說法正確的是()A．一樣大B．藍(lán)白區(qū)域大C．紅黃區(qū)域大D．由指針轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)確定答案B解析哪個(gè)區(qū)域的張角大，則指針停留在哪個(gè)區(qū)域的可能性大，明顯，藍(lán)、白區(qū)域的角度大．故選B．3．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(2)π,2)C．eq\f(1,6)D．eq\f(π,6)答案D解析事務(wù)“點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于或等于a”構(gòu)成的區(qū)域是以A為球心，a為半徑的球的eq\f(1,8)，故P＝eq\f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq\f(π,6)．4．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為()A．eq\f(7,8)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)答案B解析方程有實(shí)根，則Δ＝4a2－4(－b2＋π)＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，如右圖．所求概率P＝eq\f(2π·2π－π·\r(π)2,2π·2π)＝eq\f(3,4)．5．一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,27)D．eq\f(3,8)答案C解析由題意知蜜蜂“平安飛行”的范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心且棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)．這個(gè)小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故蜜蜂“平安飛行”的概率為P＝eq\f(1,27)．故選C．二、填空題6．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cosx的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為________．答案eq\f(1,3)解析∵當(dāng)x∈－eq\f(π,2)，－eq\f(π,3)∪eq\f(π,3)，eq\f(π,2)時(shí)，cosx∈0，eq\f(1,2)，∴P＝2×eq\f(\f(π,6),π)＝eq\f(1,3)．7．已知函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1，若a是從區(qū)間[0，2]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]上任取的一個(gè)數(shù)，則此函數(shù)在[1，＋∞)上遞增的概率為________．答案eq\f(3,4)解析若f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則有a>0且eq\f(b,2a)≤1，如圖：所求概率P＝eq\f(2×2－\f(1,2)×2×1,2×2)＝eq\f(3,4)．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,0≤y≤2))所表示的平面區(qū)域是W，從區(qū)域W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x，y)，則|OM|≤2的概率是________．答案eq\f(2π＋3\r(3),12)解析如圖所示，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,0≤y≤2))所表示的平面區(qū)域W是圖中正方形ABCD，則正方形ABCD的面積是2×2＝4．從區(qū)域W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x，y)，使|OM|≤2，則點(diǎn)M落在圖中陰影部分．在Rt△AOM中，MA＝eq\r(3)，∠AOM＝eq\f(π,3)，所以陰影部分的面積是2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×\r(3)＋\f(1,2)×\f(π,6)×22))＝eq\r(3)＋eq\f(2π,3)，故所求的概率是eq\f(\r(3)＋\f(2π,3),4)＝eq\f(2π＋3\r(3),12)．三、解答題9．(1)在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于直徑的弦，其長(zhǎng)度超過eq\r(3)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，問其長(zhǎng)度超過eq\r(3)的概率是多少？(3)在半徑為1的圓周上任取兩點(diǎn)，連成一條弦，其長(zhǎng)度超過eq\r(3)的概率是多少？解(1)設(shè)事務(wù)A＝{弦長(zhǎng)超過eq\r(3)}，弦長(zhǎng)只與它跟圓心的距離有關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于eq\f(1,2)時(shí)才能滿意條件．由幾何概型概率公式知P(A)＝eq\f(1,2)．(2)設(shè)事務(wù)B＝{弦長(zhǎng)超過eq\r(3)}，弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)弦中點(diǎn)在半徑為eq\f(1,2)的同心圓內(nèi)時(shí)才能滿意條件．由幾何概型概率公式知P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)＝eq\f(1,4)．(3)設(shè)事務(wù)C＝{弦長(zhǎng)超過eq\r(3)}，如圖，固定一點(diǎn)A于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作圓的內(nèi)接正三角形ABC，易知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為eq\r(3)，明顯只有當(dāng)弦的另一端點(diǎn)D落在eq\x\to(BC)上時(shí)，才有|AD|＞|AB|＝eq\r(3)，由幾何概型概率公式知P(C)＝eq\f(1,3)．10．甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円箷r(shí)間內(nèi)隨機(jī)到達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必需等待的概率．解設(shè)甲到達(dá)的時(shí)刻為x，乙到達(dá)的時(shí)刻為y，則全部的基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域Ω＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\