第第頁第一章特殊的平行四邊形時間:60分鐘滿分:100分一、選擇題(本題共8小題,每小題4分,共32分)1.若矩形一條對角線與一邊的夾角為40°,則兩條對角線相交所成的銳角是 ()A.20° B.40° C.80° D.100°2.為了解居民的日常生活所需,社區(qū)成立了服務(wù)站,如圖所示的是某社區(qū)轄區(qū)內(nèi)的A,B,C三個小區(qū)位置示意圖,其中AB=1000m,BC=600m,AC=800m,如果要求服務(wù)站到三個小區(qū)的距離相等,那么服務(wù)站設(shè)立的位置應(yīng)在 ()A.AB的中點(diǎn)處 B.BC的中點(diǎn)處C.AC的中點(diǎn)處 D.∠C的平分線與AB的交點(diǎn)處3.下列關(guān)于?ABCD的敘述,正確的是()A.若AB⊥BC,則?ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,則?ABCD是正方形C.若AC=BD,則?ABCD是矩形 D.若AB=AD,則?ABCD是正方形4.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E為AB的中點(diǎn).若菱形ABCD的周長為32,則OE的長為()A.2 B.4 C.6 D.85.如圖,正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E,F分別是對角線AC上的兩點(diǎn),EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分別為G,I,H,J,則圖中陰影部分的面積等于()A.1 B.12 C.13 D6.如圖,在矩形ABCD中,M為AD邊的中點(diǎn),P為BC邊上一點(diǎn),PE⊥MC,PF⊥MB,當(dāng)BC=2AB時,四邊形PEMF是()A.平行四邊形 B.菱形C.矩形 D.以上都不對7.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,∠ACB=15°,過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E,若菱形ABCD的面積為4,則菱形的邊長為()A.22 B.2 C.42 D.48.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)(不與A、B重合),對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)P分別作AC,BD的垂線,分別交AC,BD于點(diǎn)E,F,交AD,BC于點(diǎn)M,N,下列結(jié)論:①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2.其中正確的是()A.①②③ B.①② C.②③ D.③二、填空題(本題共4小題,每小題4分,共16分)9.已知菱形的周長為20cm,兩鄰角的比為2∶1,則較短的對角線長為cm.

10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)B(3,5),若鎖定OA,向左推矩形OABC,使點(diǎn)B落在y軸的點(diǎn)B'的位置,則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.

11.如圖,E,F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn),AC=8,AE=CF=2,則四邊形BEDF的周長是.

12.平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A(10,0),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn),當(dāng)△POD是腰長為5的等腰三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

三、解答題(本大題共6小題,共52分)13.(6分)如圖,等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E,F在矩形ABCD的邊BC,CD上,且∠CEF=45°.求證:矩形ABCD是正方形.14.(8分)定義:對角線互相垂直且相等的四邊形叫作垂等四邊形.(1)下面四邊形是垂等四邊形的是.(填序號)

①平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形.(2)圖形判定:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,過點(diǎn)D作BD垂線交BC的延長線于點(diǎn)E,且∠DBC=45°,證明:四邊形ABCD是垂等四邊形.15.(8分)如圖,在矩形ABCD中,過對角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F.(1)求證:△DOE≌△BOF.(2)若AB=6,AD=8,連接BE,DF,求四邊形BFDE的周長.16.(8分)如圖,將矩形ABCD沿對角線AC翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,FC交AD于點(diǎn)E.(1)求證:△AFE≌△CDE.(2)若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積.17.(10分)如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB>90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,E是AB上一點(diǎn),且BE=BC,CF∥ED交BD于點(diǎn)F,連接EF,ED.(1)求證:四邊形CDEF是菱形.(2)當(dāng)∠ACB=度時,四邊形CDEF是正方形,請給予證明.

18.(12分)在?ABCD中,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,交CD的延長線于點(diǎn)F,分別過點(diǎn)E,F作EG∥DF,GF∥AD.(1)如圖1,求證:四邊形EDFG是菱形.(2)如圖2,連接AG,DG,DG與EF相交于點(diǎn)O,若∠AGD=90°,求證:AD=2AB.(3)如圖3,連接DG交EF于點(diǎn)O,連接OC,若∠ABC=90°,AB=6,BC=10,求OC的長.

參考答案一、選擇題12345678CACBBCAA1.C【解析】根據(jù)矩形對角線互相平分且相等結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可求得兩條對角線相交所成的銳角等于40°+40°=80°.2.A【解析】∵AB=1000m,BC=600m,AC=800m,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∴斜邊AB上的中點(diǎn)到三角形的三個頂點(diǎn)距離相等.3.C【解析】∵AC=BD,根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形,可知選項(xiàng)C正確.4.B【解析】∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA.又∵菱形ABCD的周長為32,∴AB=8.∵AC⊥BD,E為AB的中點(diǎn),∴OE=12AB=45.B【解析】由正方形的軸對稱性可知,陰影部分的面積為正方形面積的一半,即12×12=16.C【解析】∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=DC.∵AM=DM,∴△ABM≌△DCM,∴AM=DM.∵BC=2AB,∴AB=AM=DM=DC,∴∠AMB=∠DMC=45°,∴∠BMC=90°.又PF⊥MB,PE⊥MC,∴∠PEM=∠PFM=90°=∠EMF.∴四邊形PEMF是矩形.7.A【解析】∵四邊形ABCD是菱形,AD∥BC,∠ACB=15°,∴∠BCD=2∠ACB=30°,∴∠CDE=∠BCD=30°.∵CE⊥AD,∴在Rt△DCE中,CD=2CE.∵菱形ABCD的面積為4,即AD·CE=4,∴2CE·CE=4,∴CE=2,∴AD=2CE=22.8.A【解析】①∵正方形ABCD,∴∠APE=∠AME=45°,∵PM⊥AE,∴∠AEP=∠AEM=90°,∵AE=AE,∴△APE≌△AME(ASA),故①正確;②過點(diǎn)N作NQ⊥AC于點(diǎn)Q,則四邊形PNQE是矩形,∴PN=EQ.∵正方形ABCD,∴∠PAE=∠MAE=45°.∵PM⊥AE,∴∠PEA=90°,∴∠PAE=∠APE,∴AE=PE,同理得NQ=CQ.∵△APE≌△AME,∴PE=ME,∴PE=ME=NQ=CQ.∴PM=AE+CQ.∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立,故②正確;③∵正方形ABCD,∴AC⊥BD,∴∠EOF是直角.∵過點(diǎn)P分別作AC,BD的垂線,分別交AC,BD于點(diǎn)E、F,∴∠PEO和∠PFO是直角,∴四邊形PFOE是矩形,∴PF=OE.在Rt△PEO中,有PE2+OE2=PO2,∴PE2+PF2=PO2,即PE2+PF2=PO2成立,故③正確.二、填空題91011125(-3,4)85(4,3)、(1,3)、(9,3)9.5【解析】由菱形性質(zhì)可知邊長為5cm,兩鄰角分別為120°和60°,則較短的對角線長與一組鄰邊組成等邊三角形,∴較短的對角線長為5cm.10.(-3,4)【解析】由題意,易得AB'=AB=5,OA=3,∴OB'=4.∴點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(-3,4).11.85【解析】如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為正方形,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC.∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四邊形BEDF為平行四邊形,且BD⊥EF,∴四邊形BEDF為菱形,∴DE=DF=BE=BF.∵AC=BD=8,OE=OF=8?42=2,由勾股定理得DE=OD2+OE2=42+22=25,∴四邊形BEDF的周長=12.(4,3)、(1,3)、(9,3)【解析】過P作PM⊥OA于點(diǎn)M.(1)當(dāng)OP=OD=5時,∵OP=5,CO=3,∴CP=OP2-CO2=(2)當(dāng)OD=PD=5時,∵PD=DO=5,PM=3,∴MD=PD2-PM2=25?9=∴點(diǎn)P(1,3)或(9,3).綜上,滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)、(1,3)、(9,3).三、解答題13.證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°.(2分)∵△AEF是等邊三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.(3分)∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,∴△ABE≌△ADF,∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.(6分)14.解:(1)④(2分)(2)∵AC⊥BD,ED⊥BD,∴AC∥DE.又∵AD∥BC,∴四邊形ADEC是平行四邊形,∴AC=DE.(4分)又∵∠DBC=45°,∴△BDE是等腰直角三角形,∴BD=DE,∴BD=AC,又∵BD⊥AC,∴四邊形ABCD是垂等四邊形.(8分)15.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,DO=BO,∴∠EDO=∠FBO.又∵EF⊥BD,∴∠EOD=∠FOB=90°.在△DOE和△BOF中,∵∠EDO=∠FBO,DO=BO,∠EOD=∠FOB,∴△DOE≌△BOF(ASA).(3分)(2)由(1)可得,ED∥BF,ED=BF,∴四邊形BFDE是平行四邊形.又∵EF⊥BD,∴四邊形BFDE是菱形.根據(jù)AB=6,AD=8,設(shè)AE=x,可得BE=ED=8-x.在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理可得BE2=AB2+AE2.即(8-x)2=x2+62,解得x=74∴BE=8-74=25∴四邊形BFDE的周長=254×4=25.16.解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠D=90°.由折疊,得AB=AF,∠B=∠F.∴AF=CD,∠F=∠D.又∵∠AEF=∠DEC,∴△AFE≌△CDE.(AAS)(4分)(2)由(1)知△AFE≌△CDE,∴AE=CE.設(shè)AE=x,則CE=x,DE=8-x.在△CDE中,由勾股定理得CD2+DE2=CE2,∴42+(8-x)2=x2.解得x=5,即AE=5.∴S陰影=12AE·CD=12×5×4=1017.解:(1)證明:連接EC,交BD于點(diǎn)O.∵BE=BC,BD平分∠ABC,∴EO=CO,BD⊥CE,即BD垂直平分EC.∴EF=FC,DE=CD.∵CF∥DE,∴∠DFC=∠FDE.(2分)∵CO=EO,∠FOC=∠FOE,∴△FOC≌△DOE(AAS),∴DE=CF,∴EF=FC=CD=DE,∴四邊形CDEF是菱形.(5分)(2)當(dāng)∠ACB=120°時,四邊形CDEF是正方形.(7分)證明:∵BC=AC,∠ACB=120°,∴∠ABC=∠BAC=30°.又BD平分∠ABC,∴∠DBC=15°.∵BD⊥CE,∴∠BOC=90°.∴∠BCO=75°,∴∠DCO=45°.∴∠CDO=45°,∴∠DCO=∠CDO.∴OC=OD.(9分)由(1)知四邊形CDEF是菱形,∴OC=OE,OD=OF.∴CE=DF.∴四邊形CDEF是正方形.(10分)18.解:(1)證明:∵EG∥DF,GF∥AD,∴四邊形EDFG是平行四邊形.∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CFB.∵AD∥BC,∴∠CBF=∠DEF.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠DEF=∠CFB,∴DE=DF.∴四邊形EDFG是菱形.(3分)(2)證明:由(1)知四邊形EDFG是菱形,∴∠BOD=90°,GF∥AD.∵∠AGD=90°,∴A