/數(shù)學試題本卷共分兩大部分共計4頁溫馨提示：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.試卷包括試題和答題卷兩部分.請務(wù)必在答題卷上答題，在試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后，請將試題卷和答題卷一并交回.第Ⅰ部分客觀題（共40分）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.）1.已知實數(shù)a，b，則下列選項中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】賦值判斷A，B，D，利用不等式性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A選項，，滿足，此時，不滿足，故A錯誤；對于B選項，，滿足，此時，不滿足，故B錯誤；對于C選項，，所以，故C正確；對于D選項，，滿足，此時，不滿足，故D錯誤，故選：C.2.若，，且，則的值為（）A.1 B. C. D.1或【答案】B【解析】【分析】等式兩邊同時平方，或，驗證即可.【詳解】由題意知，等式兩邊同時平方，得，即，解得或，當時，，所以與矛盾.所以.故選：B3.數(shù)的個位數(shù)字為（）A.1 B.3 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】先將轉(zhuǎn)化為，用二項式定理展開可知，的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，將化為，再將用二項式定理展開可知所以的個位數(shù)字與個位數(shù)字相同，即可求解.【詳解】因為而、、個位數(shù)均為，所以的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，而因為、個位數(shù)均為，所以的個位數(shù)字與個位數(shù)字相同，故的個位數(shù)字為.故選：C4.平面四邊形中，，，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，由題意可得，，結(jié)合，計算即可求解.【詳解】如圖，延長、，交于點，延長，交于點，由，得，，所以，，得，，所以.故選：D5.關(guān)于x、y的二元二次方程正整數(shù)解的組數(shù)為（）A.3組 B.4組 C.5組 D.6組【答案】B【解析】【分析】對變形為，根據(jù)x、y為正整數(shù)求解即可.【詳解】因為，所以，即，所以，因為x、y為正整數(shù)，所以和為30的約數(shù)，當，時，即，符合題意，當，時，即，不符合題意，當，時，即，符合題意，當，時，即，符合題意，當，時，即，不符合題意，當，時，即，不符合題意，當，時，即，符合題意，當，時，即，不符合題意，綜上，二元二次方程正整數(shù)解的組數(shù)為4組，故選：B.6.從0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字中，取三個不同的數(shù)組成一個十位數(shù)字大于個位數(shù)和百位數(shù)的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（）A.40 B.48 C.55 D.70【答案】C【解析】【分析】由題意分兩種情況討論：選出的數(shù)字中含有0與不含有0.分別求出對應(yīng)滿足題意的三位數(shù)，結(jié)合分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意知，分兩種情況討論：若選出的數(shù)字中含有0，則0必須在個位上，此時只需在其它6個數(shù)中選出2個，大的放在十位，小的放在百位，共有個三位數(shù)；若選出的數(shù)字中不含有0，此時只需在0以外得其它6個數(shù)中選出3個，最大的放在十位，其他兩個放在百位和個位，共有個三位數(shù)，綜上，滿足題意得三位數(shù)共有55個.故選：C7.已知實數(shù)a、b滿足，，且.則（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件化為，得，是方程的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系計算即可得結(jié)果.【詳解】因為，即，，所以有：，是方程的兩根，所以，，所以.故選：D8.在凸四邊形中，，，則的最大值為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】如圖，作外接圓圓O，當且僅當三點共線時，取到最大值，結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，，所以是直角三角形，，作的外接圓，為圓心，延長，取，則，所以點在以為直徑的圓上，故為等邊三角形，當且僅當三點共線時，取到最大值.此時，為的中點，所以，故，又，所以.故選：C第Ⅱ部分主觀題（共110分）二、填空題（共10小題，每小題5分，共計50分）9.若關(guān)于x的不等式組有且僅有四個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得不等式組的解集，結(jié)合題意，得到，即可求解.【詳解】由不等式組，解得，要使得不等式組的解集中有且僅有四個正整數(shù)解，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.10.計算：________.【答案】【解析】【分析】利用特殊角三角函數(shù)值、根式與指數(shù)冪的運算和絕對值求解即可.【詳解】，故答案：11.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：________.【答案】【解析】【分析】將原式分解成，即可求解.【詳解】原式.故答案為：12.已知函數(shù)和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一數(shù).則這兩函數(shù)圖象有交點的概率為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立兩函數(shù)，解得，結(jié)合、的取值，根據(jù)古典概型求概率公式即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件聯(lián)立，即，整理有：，因為兩函數(shù)圖象有交點，所以，即，當時，無解；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；綜上，滿足條件的、共對，又根據(jù)已知條件、的所有取值情況為種，所以兩函數(shù)圖象有交點的概率為.故答案為：13.已知，則________.【答案】【解析】【分析】借助賦值法，分別令、、計算即可得.【詳解】令，則有，令，則有，令，則有，故.故答案為：.14.已知，則________.【答案】##【解析】【分析】對變形為，配方成，得到，進而得到答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，故答案為：.15.已知關(guān)于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件分，兩種情況討論，結(jié)合題意方程有兩個不等實根，則，均為方程的根，根據(jù)題意兩種情況下的取值范圍取交集即可.【詳解】根據(jù)已知條件：當時，為，整理有，若，則方程無解，若，解得，若是方程的解，則且，，，，解得；當時，為，整理有，若，則方程無解，若，解得，若是方程的解，則，，，，解得或；因為關(guān)于的方程有兩個不等實根，所以以上兩個根都是方程的根，取交集則.故答案為：.16.如圖，邊長為3的正方形，分別是上兩點，且，連接交于點，若圖中陰影部分面積是正方形面積的，則的周長為________.【答案】##【解析】【分析】由題意，易證，設(shè)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得、、，進而由陰影部分的面積建立關(guān)于x得方程，得，表示出的周長為，求出即可求解.【詳解】由題意知，在和中，，所以，則，又，所以，故，即，所以，得，設(shè)，則，所以，得，所以，所以陰影部門的面積為，又，所以，整理得，得，所以的周長為，又，所以，故的周長為.故答案為：17.如圖，邊長為6的正方形ABCD中，E在邊AD上，且，M為CD的中點，P在線段BM上，則EP的最小值為________.【答案】【解析】【分析】依題意，當時，EP最小，利用，求解即可.【詳解】當時，EP最小，因為邊長為6的正方形ABCD中，E在邊AD上，且，M為CD的中點，所以，，所以，又因為，所以，所以EP的最小值為，故答案為：.18.如圖，中，，，，分別為邊上三點，在邊上，且和均為等邊三角形.則邊上高為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形相似得到，再根據(jù)銳角三角形中的正弦和余弦，求得，作出中上的高，利用的正弦，即可求得結(jié)果.【詳解】對，，因為，故，則；對，，因為，故，則；故，即，故，故；取中點為，連接，如下所示：因為為等邊三角形，故；在中，；在中，，解得；，解得；在中，，即，解得，故；過作，垂足為，在中，，即，解得.故邊上的高為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：處理本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)三角形相似得到，進而求得，從而利用銳角三角形的正弦和余弦解決問題.三、解答題（共5小題，每小題12分，共計60分.解答時請寫出必要的步驟或文字說明）19.已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）.（1）當，時，求的值；（2）當時，二次函數(shù)的最小值為，求a的值.【答案】（1）2（2）或【解析】【分析】把換成后代入所求算式后計算即可；先求出二次函數(shù)的對稱軸，再分對稱軸的值與給定區(qū)間的大小關(guān)系分別討論最值，求出符合條件的即可.【小問1詳解】即且，又.【小問2詳解】，對稱軸為，①當時，即故當時，符合②當時，即故當時，（舍去）③當時，即故當時，符合綜上：或.20.在平面直角坐標系中，直線交曲線于A、B兩點，交x軸于點C，過點A作軸于點D，且，連接BD.（1）若A點的坐標為，求線段AB的長；（2）若，且的面積為3，求k的值.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）將點代入曲線可得，由點坐標可求出點，進而得到直線的方程，聯(lián)立方程得到點坐標，線段長度即可求.（2）由題意，由直線的方程可依次得到點的坐標，聯(lián)立方程，借助韋達定理，可求點的坐標，由得到，由此求出k的值.【小問1詳解】因為點在曲線上，所以，，因為，所以，由得，，故，由得，所以線段AB的長為.【小問2詳解】當時，，所以，，，由得，所以，故，所以，，所以，故.21.解下列關(guān)于x、y、z方程組：.【答案】答案見解析【解析】【分析】由題意，結(jié)合平方和、立方和公式，解方程組即可求解.【詳解】由，得，∵，∴，∴，即，∴，解得或3或4，∴或或或或或.22.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，G為對角線AC、BD的交點，過點D作交AC于E，且，F(xiàn)在線段GD上，且，連接CF.（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題意可證明，結(jié)合平行線的性質(zhì)與相似三角形的判定定理即可得；（2）借助相似三角形的性質(zhì)與判定定理即可得.【小問1詳解】，，在和中，有，，，四邊形為平行四邊形，，，，，；【小問2詳解】，，，，即，，，.23.在平面直角坐標系中，直線l與拋物線交于、兩點，點在拋物線上，是軸上一動點.（1）求直線l和拋物線的解析式；（2）如圖1，為拋物線上位于直線l下方一動點，過作垂直于x軸交直線l于，當線段長度最大時，求的最大值；（3）如圖2，為拋物線的頂點，y軸上是否存在點M，使得？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用