/2024屆高考數(shù)學適應性練習卷（三）試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合B，進行交集運算.【詳解】且.故.故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)模的計算公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可【詳解】由題意得，所以，因為，所以，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知與為兩個不共線的單位向量，則（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線和向量數(shù)量積的定義，向量垂直，向量的模以及向量夾角公式判斷即可.【詳解】選項A：若，則，即，與與為兩個不共線的單位向量矛盾，故選項A說法錯誤；選項B：設與的夾角為，則，，所以，故選項B說法錯誤；選項C：若，則，所以，，即，所以，又，所以，故選項C說法錯誤；選項D：因為，，所以，化簡得，設與的夾角為，則，，所以，所以，即，所以，故選項D說法正確；故選：D4.已知直線與拋物線：的圖象相切，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用相切有求得，從而得解.【詳解】依題意，聯(lián)立，消去，得，則，因為，所以，故拋物線方程為，則其焦點坐標為.故選：C.5.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】應用對數(shù)運算性質及基本不等式判斷各式的大小關系.【詳解】由，而，則，所以，即，由，則，即，綜上，.故選：D6.設數(shù)列的前項之積為，滿足（），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進而可得的值．【詳解】因為，所以，即，所以，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以．故選：C．7.已知函數(shù)滿足，則下列結論一定正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用賦值法推得，從而得到的對稱性，再利用函數(shù)圖象平移的性質可判斷B，舉反例排除ACD，由此得解.【詳解】因為，令，可得，則；令，則，故的圖象關于點對稱，則的圖象關于點對稱，即是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，可得，則，當時，，此時不可能是奇函數(shù)，由于無法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；對于AD，取，滿足題意，但易知D錯誤；故選：B.8.已知函數(shù)在有且僅有兩個零點，且，則圖象的一條對稱軸是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的零點情況，求出的取值范圍，再利用給定等式分析判斷函數(shù)圖象的對稱軸即可得解.【詳解】由函數(shù)在有且僅有兩個零點，得，解得，則，又，而，當時，，，由，得，當時，，即函數(shù)在有3個零點，不符合題意，因此是函數(shù)圖象的一條對稱軸，即，解得，當時，，當時，，均不符合題意；當時，，得，則圖象的對稱軸為.故選：C【點睛】關鍵點睛：涉及三角函數(shù)在指定區(qū)間上的零點個數(shù)求參數(shù)范圍，利用五點法作圖思想分析周期情況是解題的關鍵.二、多項選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分，在每個給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題正確的是（）A.已知，若，則B.若散點圖的散點均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數(shù)C.數(shù)據(jù)的均值為4，標準差為1，則這組數(shù)據(jù)中沒有大于5的數(shù)D.數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為47【答案】ABD【解析】【分析】對于A：利用正態(tài)分布的對稱性判斷；對于B：根據(jù)相關的概念判斷；對于C：舉反例說明；對于D：直接求75百分位數(shù).【詳解】對于A：已知，若，則，A正確；對于B：若散點圖的散點均落在一條斜率非0的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數(shù)關系，則決定系數(shù)，B正確；對于C：不妨設，則，解得，此時，故找到一組數(shù)，數(shù)據(jù)中有大于5的數(shù)，C錯誤；對于D：，故這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為47，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（）A.一定為周期函數(shù)B.若，則在上總有零點C.可能為偶函數(shù)D.在區(qū)間上的圖象過3個定點【答案】ABD【解析】【分析】對于A：計算，化簡即可；對于B：求出，然后計算的正負即可；對于C：計算是否恒相等即可；對于D：令，求解即可.【詳解】對于A，，，A正確；對于B，，則，，因為，即，同號，所以，由零點存在定理知在上總有零點，故B正確；對于C，，，由得對恒成立，則與題意不符，故C錯誤；對于D，令，則，即，，故所有定點坐標為，，，，又因為，所以函數(shù)過定點，，，故D正確；故選：ABD．11.對于棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計），下列說法正確的是（）A.底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C.該正方體內能同時整體放入兩個底面半徑為，高為圓錐D.該正方體內能整體放入一個體積為的圓錐【答案】BCD【解析】【分析】對于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，求出底面圓的最小半徑即可判斷；對于B，原問題等價于求與平面所成角的正切值，利用等體積法求高，結合勾股定理、正切定義即可驗算；對于C，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，求出圓錐的最大高度即可判斷；對于D，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點，為圓錐底面圓的直徑時，圓錐的體積大于，由此即可判斷.【詳解】對于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，如圖，，因為，所以，所以，圓錐底面圓半徑最小為，A錯誤；對于B，如圖，以，，三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價于求與平面所成角的正切值，因為，所以，所以點到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為，B正確；對于C，如圖，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，分別以，的中點，為兩個圓錐的頂點，每個圓錐高的最大值為，C正確；對于D，如圖，的中點作垂線，分別交，于點，，則，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點，為圓錐底面圓的直徑時，該圓錐的體積為，D正確．事實上，以正方體的體對角線作為軸，為頂點的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點），設，當與為的四等分點）重合時，，因此，因為，所以，則，圓錐體積，在上恒成立，所以在上單調遞增，體積的最大值為,D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：判斷C選項的關鍵是以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，算出圓錐的最大高度，由此即可順利得解.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式的常數(shù)項為______．【答案】48【解析】【分析】根據(jù)題意結合二項式定理分析求解.【詳解】因為的展開式的通項公式為，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：48.13.在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為F，過點F且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線交于第一象限內的點A，過點F且平行于OA的直線交另一條漸近線于點B，若，則雙曲線C的離心率為____________.【答案】【解析】【分析】設雙曲線半焦距為，雙曲線的漸近線方程為，則，設直線的方程為，然后直線的方程和另一漸近線方程聯(lián)立，求出點，從而可求出直線的斜率，再由，可得兩直線的斜率乘積為，從而得，進而可求出雙曲線的離心率【詳解】解：設雙曲線半焦距為，雙曲線的漸近線方程為，則，設直線的方程為，由，得，所以，所以直線的斜率為，因為，所以，所以，所以雙曲線離心率為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與雙曲線的位置關系，考查求雙曲線的離心率的方法，解題的關鍵是靈活運用雙曲線的幾何性質，考查計算能力，屬于中檔題14.若函數(shù)（）有2個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】化簡函數(shù)，得到和在上單增，結合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，結合，進而得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】由函數(shù)，設，可得，單調遞增，且，，所以存在唯一的，使，即，令，即，設，可得，則在上單增，又由且時，，所以當時，存在唯一的，使，即，若時，可得，則，可得，所以，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.結論拓展：與和相關的常見同構模型①，構造函數(shù)或；②，構造函數(shù)或；③，構造函數(shù)或.四、解答題:本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱形木料中，為上底面上一點．（1）經(jīng)過點在上底面上畫一條直線與垂直，應該如何畫線，請說明理由；（2）若，，，為的中點，求點到平面的距離．【答案】（1）答案見解析（2）．【解析】【分析】（1）連結BD，在平面ABC上作,由為直三棱柱，證明平面，進而得到；（2）分別以所在直線為軸建立空向直角坐標系，寫出的坐標，設平面的法向量，求出到平面的距離.【小問1詳解】連結，在平面上作，因為為直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，因為，，，，平面，所以平面，因為平面，所以．【小問2詳解】因為，所以，，兩兩互相垂直，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空向直角坐標系，，，，，則，，．設平面的一個法向量為，因為，，所以，，則，取，則，設點到平面的距離為，則因此點到平面的距離為．16.聯(lián)合國將每年的4月20日定為“聯(lián)合國中文日”，以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，促進聯(lián)合國六種官方語言平等使用，為宣傳“聯(lián)合國中文日”，某大學面向在校留學生舉辦中文知識競賽，競賽分為“個人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個人賽規(guī)則：每位留學生需要從“拼音類”、“成語類”、“文化類”三類問題中隨機選1道試題作答，其中“拼音類”有4道，“成語類”有6道，“文化類”有8道，若答對將獲得一份獎品．②對抗賽規(guī)則：兩位留學生進行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時兩位參賽者同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得1分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，對抗賽共設3輪，累計得分為正者將獲得一份獎品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響．（1）留學生甲參加個人賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，留學生甲答對“拼音類”、“成語類”“文化類”的概率分別為，，，求留學生甲答對了所選試題的概率．（2）留學生乙和留學生內參加對抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題留學生乙和留學生丙答對的概率分別為，，求留學生乙獲得獎品的概率．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）設甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，結合條件概率和全概率公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用獨立事件的概率乘法公式和獨立重復試驗的概率公式求得相應的概率，結合互斥事件的概率加法，即可求解.【小問1詳解】解：設留學生甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，則，，，，所以.【小問2詳解】解：每一輪中留學生乙得1分的概率為，每一輪中留學生乙得0分的概率為，每一輪中留學生乙得的概率為，在3輪比賽后，留學生乙得3分的概率為，在3輪比賽后，留學生乙得2分的概率為，在3輪比賽后，留學生乙得1分的概率為，所以乙最終獲得獎品的概率為．17.在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關系式即可得解.（2）在中，確定三邊的長度關系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關系求.【小問1詳解】如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因為，所以，則①，由，則，因為，所以，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②得，．【小問2詳解】因為，所以，，在中，由余弦定理知同理在中，，因為，所以，則，由（1）知，，所以，中，由余弦定理知，所以．18.已知數(shù)列滿足，，且．（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，且數(shù)列的前項和為，證明：當時，．【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列.（2）先把數(shù)列進行適當?shù)姆趴s，再用分組求和的方法求滿足的關系，并證明.【小問1詳解】因為，，所以，，.易知，所以，因為．所以等比數(shù)列，首項，公比，所以．【小問2詳解】由（1）可得，先證明左邊：即證明，當時，，所以，所以，再證明右邊：，因為，所以，即，下面證明，即證，即證，設，，則，設，，因為，所以函數(shù)在上單調遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．【點睛】方法點睛：數(shù)列不等式證明方法主要有：（1）作差比較法：不等式兩邊作差與0比較大小.（2）放縮比較法：對表達式適當放縮，證出不等式.19.已知以下事實：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標軸是其兩條漸近線．（1）（?。┲苯訉懗龊瘮?shù)的圖象的實軸長；（ⅱ）將曲線繞原點順時針轉，得到曲線，直接寫出曲線的方程．（2）已知點是曲線的左頂點．圓：（）與直線：交于、兩點，直線、分別與雙曲線交于、兩點．試問：點A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（?。?；（ⅱ）．（2）存在，點A到直線距離的最大值為2，．【解析】【分析】（1）由題意結合雙曲線的性質，即可求得答案；（2）方法一：設，，，設：，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關系式，進而求出兩點的縱坐標，結合，即可求得參數(shù)之間的關系，代入，即可求得答案；方法二：設，，，，，利用，的方程求出，，的表達式，即可得的坐標，從而求出的方程，可推出過定點，即可求得答案；方法三：設，，，，，可得，設：，聯(lián)立雙曲線方程化簡得出，