第頁，共頁中牟銳瀚高中2024-2025學年下學第一次月考高一數學（考試時間：120分鐘，滿分150分）一．單項選擇題（共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】求出共軛復數，根據復數的幾何意義求出復數所對應點的坐標即可得出結果.【詳解】，，在復平面內對應的點為，在第一象限，故選：A.2.適合的實數，的值是（）A且 B.且C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】根據復數相等，得到方程組，求出，，得到答案.詳解】，若，則，故，，滿足要求，若，則，則，無解，綜上，且，C正確故選：C3.已知在中，點在邊上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量的線性運算即可.【詳解】在中，，又點在邊上，且，則，故選：A.4.在中，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件結合正弦定理列方程求，又，可得，由此可求.【詳解】由正弦定理可得，又，，，所以，所以，又，所以，所以，故選：A.5.已知，，下列各式中正確的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：虛數不可比較大小，?？梢员容^大小，，，考點：復數的模的計算6.已知兩點，，若，則點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，表示出，，根據平面向量線性運算的坐標表示得到方程組，解得即可.【詳解】設，則，，又，所以，即，解得，所以點的坐標是.故選：A7.在中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據條件，利用余弦定理，即可求解.【詳解】設所對的邊為，由余弦定理,又，，所以，即，解得，故選：C.8.在邊長為的正三角形中，的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以、為鄰邊作菱形，則，計算出菱形的對角線的長度即可得出答案.【詳解】以、為鄰邊作菱形，則，由圖形可知，的長度等于等邊的邊上的高的倍，即，因此，，故選：D.【點睛】本題考查差向量模的計算，解題的關鍵就是作出圖形，找出差向量，分析圖形的形狀，進而求出線段長度，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.9.在ABC中，已知D是AB邊上一點，若，則λ等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共線向量定理求解.【詳解】因為D是AB邊上的一點，所以A，B，D三點共線，所以，則，因為，所以，因為A，B，C不共線，所以，解得，故選：B二．多項選擇題（本題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）10.若復數，則（）A.的共軛復數為 B.C.復數的虛部為 D.復數在復平面內對應的點在y軸上【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，化簡復數為，結合復數概念，以及復數的幾何意義，逐項判斷，即可得到答案.【詳解】由復數，對于A中，復數z的共軛復數為，所以A正確；對于B中，復數的模為，所以B正確；對于C中，復數的虛部為，所以C不正確；對于D中，復數在復平面內對應的點的坐標為，落在y軸上，所以D正確.故選：ABD.11.下列計算正確的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量的三角形法則及數乘運算進行向量運算，即可得解.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.12.在中，若，，，則下列正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據兩角和與差的正弦公式求出，再由正弦定理求得，即可利用面積公式求解面積，結合選項逐一求解.【詳解】∵是三角形內角，∴，∴，由得，,故BD正確，AC錯誤，故選：BD三．填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知復數已知的實部與的虛部相等，則實數__________【答案】【解析】【分析】根據給定條件，直接列式計算即可.【詳解】復數的實部為1，復數的虛部為，則，解得.故答案為：.14.若向量與向量的夾角為則___________【答案】【解析】【分析】利用向量的數量積的定義求解即可.【詳解】因為，向量與向量的夾角為，所以.故答案為：.15.已知，且，求______【答案】【解析】【分析】根據共線向量的坐標運算列式求解即可.【詳解】因為，且，所以，解得.故答案為：16.在中，，則_________【答案】【解析】【分析】根據余弦定理求得，再由求解.【詳解】由余弦定理，得，即,整理得，解得或(舍去)，所以.故答案為：四．解答題（共5小題，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知平面內四個點的坐標，計算下列問題：（1）用坐標表示，；（2）用坐標表示.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐標表示求解即可；（2）由（1）的結論，利用向量的坐標運算求解即可.【小問1詳解】因為，所以，.【小問2詳解】，由（1）得，，所以.18.設復數（1）求（2）求（3）求【答案】（1）2（2）（3）1【解析】【分析】（1）利用復數的加法運算得到結果，（2）利用復數的除法得到結果（3）利用復數的模結合第二小問得到結果.【小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】19.在平面直角坐標系中，的頂點分別是平面內存在一點B使得四邊形ABCD是頂點逆時針標注的平行四邊形.（1）求B點坐標（2）猜測AC與BD的位置關系并證明【答案】（1）（2）與互相垂直，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，設，進而利用向量的坐標運算求解即可；（2）求得的坐標，進而計算與的數量積可得結論.【小問1詳解】因為四邊形ABCD是頂點逆時針標注的平行四邊形，所以，設，又因為，所以，所以，解得，所以B點坐標為；【小問2詳解】猜測AC與BD互相垂直，理由如下：由（1）可知，所以，所以，所以AC與BD互相垂直.20.（1）若，求和的值.（2）若，在（1）的條件下，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據條件，利用復數相等的條件，即可求解；（2）根據條件，利用復數的運算，即可求解.【詳解】（1）因為，則，解得，所以和的值.（2）由（1）知，又，則.21.在中，內角，，的對邊分別為，，，且；（1）求；（2）若的面積為，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正