第頁，共頁單縣一中2024級(jí)高一下學(xué)期第二次階段性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2.若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則的值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】由題，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，可得，又為整數(shù)，所以．故選：B．3.直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問題，考查空間想象與計(jì)算能力．延長B1A1到E，使A1E=A1B1，連結(jié)AE，EC1，則AE∥A1B，∠EAC1或其補(bǔ)角即為所求，由已知條件可得△AEC1為正三角形，∴∠EC1B為，故選C．4.已知在四邊形中，，，，則四邊形為（）A.梯形 B.正方形 C.平行四邊形 D.矩形【答案】A【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，，所?所以.所以且，所以四邊形為梯形..故選：A.5.已知是空間中兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，有下列命題：①若，則；②若，則；③若，且，，則；④若，且，，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【詳解】①若，則或異面，故①不正確；②若，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得，故②正確；③若，且，，則與可能相交，故③不正確；④若，且，，與相交則不正確；故選B.6.已知復(fù)數(shù)和，滿足，則（）A. B.3 C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長平方關(guān)系計(jì)算求和即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)和，滿足，則，所以，所以.故選：C.7.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，分別以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點(diǎn)在弧AC上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求向量數(shù)量積.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，點(diǎn)在第一象限，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則有，，,為弧上的點(diǎn)且，則，，.故選：A.8.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則的值為B.若，則的值為C.若，則與的夾角為銳角D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量共線和垂直的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)表示及向量夾角的坐標(biāo)表示一一判斷即可．【詳解】對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，與同向，此時(shí)與的夾角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，即，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，，，顯然，當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知中，其內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，下列命題正確的有（）A.若，則為等腰三角形B.若，，則外接圓半徑為4C.若，則為直角三角形D.若，是鈍角三角形【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)：有兩種情況.一是，；二是，，不能確定.B選項(xiàng)：根據(jù)（為外接圓半徑），將，代入求.

C選項(xiàng)：由，用正弦定理化邊為角，再因展開化簡，得，結(jié)合范圍得.

D選項(xiàng)：由，用正弦定理化角為邊得，再用余弦定理判斷為鈍角.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，即，則，此時(shí)為直角三角形.所以僅由不能得出一定等腰三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B，已知，，則由正弦定理，所以，即外接圓半徑為，選項(xiàng)正確.

對(duì)于C，已知，由正弦定理可得.因?yàn)?，所?則，根據(jù)兩角和的正弦公式展開可得：，即.因?yàn)?、是三角形?nèi)角，所以，所以，即，所以為等腰三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤.

已知，由正弦定理可得，，.將其代入可得.所以.因?yàn)椋?，即為鈍角，所以是鈍角三角形，選項(xiàng)正確.

故選：BD.11.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖甲），圖乙是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧，所在圓的半徑分別是和，且，則該圓臺(tái)的（）A.高為 B.體積為C.表面積為 D.內(nèi)切球的表面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，求得圓臺(tái)上下底面半徑、母線長，然后可求得圓臺(tái)的高、體積、表面積和內(nèi)切球的半徑，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；又圓臺(tái)的母線長，所以圓臺(tái)的高，A正確；圓臺(tái)的體積，B錯(cuò)誤；圓臺(tái)表面積，C正確；因?yàn)椋磮A臺(tái)的母線長等于上下底面半徑和，所以圓臺(tái)的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半徑為3，則圓柱的體積為__________．【答案】【解析】【分析】由條件球的半徑與圓柱底面圓半徑相同，故球的半徑為3，進(jìn)而得圓柱的高，代入體積公式求解．【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，球的半徑為．由條件有：，圓柱的高為，所以圓柱的體積為．故答案為：13.已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、、，若是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.【答案】【解析】【分析】求出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，由為鈍角可得出且與不共線，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，可得，，.因?yàn)槭氢g角，所以，且與不共線.由，得.由與不共線可得，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積來處理鈍角的問題，同時(shí)也要注意向量不能共線，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面五個(gè)命題：（1）沒有水的部分始終呈棱柱形（2）水面所在四邊形的面積為定值（3）當(dāng)容器傾斜如圖②所示時(shí)，為定值（4）當(dāng)容器傾斜如圖③所示時(shí)，為定值其中所有正確命題的序號(hào)是______________【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱柱的特征、體積公式逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于（1），由于固定，所以在傾斜的過程中，始終有，且平面平面，故沒有水的部分始終呈棱柱形（四棱柱或三棱柱、五棱柱），故（1）正確；對(duì)于（2），由于固定，易知，且平面，所以平面，又平面，所以,故為矩形，則，的長隨著傾斜度的變化而變化，故的面積是變化的，故（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3），當(dāng)容器傾斜如圖②所示時(shí)，四棱柱的體積保持不變，即，又均為定值，故為定值，故（3）正確；對(duì)于（4），當(dāng)容器傾斜如圖③所示時(shí)，三棱柱的體積保持不變，即，又是定值，則為定值，故（4）正確．故選：（1）（3）（4）四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，底面，，點(diǎn)在棱上，平面．（1）試確定點(diǎn)位置，并說明理由；（2）求四棱錐的表面積．【答案】（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接，然后由線面平行性質(zhì)可得答案；（2）分別計(jì)算各個(gè)面的表面積可得答案.【小問1詳解】點(diǎn)為的中點(diǎn)．理由如下：如圖，連接．設(shè)，則點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接．∵平面，平面，平面平面，∴．在中，∵O為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．【小問2詳解】⊥底面，又底面是邊長為1的正方形，∴，因?yàn)榈酌?，又平面，則，即直角三角形，又，則，則，又，則為直角三角形，則.綜上四棱錐的表面積為.16.如圖，平面，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由平行的傳遞性得到，即可求證；（2）連接，則由已知可證得平面，從而得為和平面所成的角，然后在Rt中求解.【小問1詳解】∵分別為的中點(diǎn)，∴．又∵，∴．又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，∴平面．【小問2詳解】連接.為的中點(diǎn)，且.平面平面，∴，∵，∴，∵，平面，平面，∵平面，由（1）有，又四邊形為平行四邊形，∴，∵，平面.平面為和平面所成的角.由得，在Rt中，，和平面所成角的正弦值為.17.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)不同向量，其中.（1）若，且，求；（2）若，且，求的最小值，并求出此時(shí)與夾角的余弦值.【答案】（1）或（2），此時(shí)【解析】【分析】（1）先設(shè),根據(jù)坐標(biāo)求模公式，即可求解.(2)根據(jù)題意，條件可化簡為，再根據(jù)基本不等式，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，且，所以設(shè)，所以，解得，所以或.【小問2詳解】由，得，所以，因?yàn)?，，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).所以.設(shè)與夾角為，則此時(shí).18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)E在棱上，底面，．（1）若，證明：；（2）若點(diǎn)D到平面的距離為，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理及勾股定理可得平面，即得；（2）設(shè)，利用等積法即得.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)F，因?yàn)榈酌?，底面，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以．【小?詳解】設(shè)，過E作于G，連接，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，所以，由，得