第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元測(cè)試參考答案與試題解析一、單選題1．（2020·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校）在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個(gè)三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】試題解析：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC為銳角三角形．故選A．2．（2019·福建三明市·九年級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是()A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝【答案】C【解析】∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB=，∴sinB=，cosB=，tanB=，故選C.3．（2020·濟(jì)南歷下區(qū)明德中學(xué)九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的周長(zhǎng)為，，垂足為，，則下列結(jié)論正確的有（）①；②；③菱形的面積為；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：菱形的周長(zhǎng)為，，，①正確），，，②正確），菱形的面積③正確），，，④不正確），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2019·遼寧撫順市·九年級(jí)月考）在△ABC中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，則△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為零，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為零，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得∠A、∠B的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案．【詳解】解：由（2cosA-）2+|1-tanB|=0，得

2cosA=，1-tanB=0．

解得∠A=45°，∠B=45°，

則△ABC一定是等腰直角三角形，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5．（2020·山東棗莊市·九年級(jí)期末）若α為銳角，且，則α等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得出α的值．【詳解】解：∵∴α-10°=60°，

即α=70°．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．6．（2019·全國(guó)九年級(jí)單元測(cè)試）已知∠A為銳角，且tanA＝，則∠A的取值范圍是（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】C【解析】【分析】通過(guò)tan30°、tan45°、tan60°這些特殊角度的正切值來(lái)判斷隨角度變化正切值的變化規(guī)律，再通過(guò)具體數(shù)值確定其大致范圍.【詳解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，則可知正切值隨角增大而增大，由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°．故選擇C．【點(diǎn)睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判斷正切函數(shù)隨角度變化的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.7．的值是()A．1－ B．－1 C．－1 D．1－【答案】A【解析】試題解析：.故本題應(yīng)選A.點(diǎn)睛：.8．（2019·全國(guó)九年級(jí)單元測(cè)試）tan2A．233 B．233【答案】D【解析】【分析】由于tan30°=33【詳解】解：∵tan30°=33原式=（1-tan30°）【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、完全平方公式．以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，本題的關(guān)鍵有兩步：第一步判斷tan30°-1的正負(fù)；第二步熟練運(yùn)用a29．（2019·福建三明市·九年級(jí)月考）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則sin∠ABC等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題解析：設(shè)正方形網(wǎng)格每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則BC邊上的高為2，則，.故本題應(yīng)選C.10．（2020·福建莆田市·九年級(jí)一模）小明沿著坡角為30°的山坡向上走，他走了1000m，則他升高了（）A． B．500m C． D．1000m【答案】B【解析】【分析】根據(jù)坡角的概念，直角三角形中30°所對(duì)直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)他升高了xm，∵山坡的坡角為30°，∴x=×1000=500（m），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用：坡度坡角問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題,掌握坡角的概念是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2020·四川攀枝花市·九年級(jí)期末）△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則sinA+cosA＝_____．【答案】【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，，∴可設(shè)BC=4k，AC=3k，∴由勾股定理可得AB=5k，∴sinA=，cosA=，∴sinA+cosA=.故答案為.12．（2020·全國(guó)九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程師乘坐熱氣球從B地出發(fā)，垂直上升100m到達(dá)A處，在A處觀測(cè)C地的俯角為30°，則B、C兩地之間的距離為_(kāi)_________m.【答案】100【分析】利用題意得到∠C=30°，AB=100，然后根據(jù)30°的正切可計(jì)算出BC．【詳解】根據(jù)題意得∠C=30°，AB=100，∵tanC=，∴BC====100（m）．故答案為100．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形．13．（2020·阜康市第三中學(xué)九年級(jí)其他模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，若BC＝6，AC＝8，則tan∠ACD的值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠ACD，然后利用銳角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟記性質(zhì)并求出∠A=∠ACD是解題的關(guān)鍵．14．（2020·江蘇淮安市·淮安六中八年級(jí)期中）有兩棵樹(shù)，一棵高米，另一棵高米，兩樹(shù)相距米，一只鳥從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一個(gè)樹(shù)的樹(shù)梢，則小鳥至少飛行_________________米【答案】【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為，小樹(shù)高為，過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，連接，，，，在中，．故小鳥至少飛行．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際得出直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力．15．如圖，在建筑平臺(tái)CD的頂部C處，測(cè)得大樹(shù)AB的頂部A的仰角為45°，測(cè)得大樹(shù)AB的底部B的俯角為30°，已知平臺(tái)CD的高度為5m，則大樹(shù)的高度為_(kāi)______m(結(jié)果保留根號(hào))．【答案】5＋5【分析】作CE⊥AB于點(diǎn)E，則△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的長(zhǎng)，然后在Rt△ACE中利用三角函數(shù)求得AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)，即為大樹(shù)的高度．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△BCE中，BE＝CD＝5m，CE＝＝5（m），在Rt△ACE中，AE＝CE·tan45°＝5（m），AB＝BE＋AE＝5＋5（m）．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題的應(yīng)用，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．16．（2019·全國(guó)九年級(jí)單元測(cè)試）小明乘滑草車沿坡比為1：2.4的斜坡下滑130米，則他下降的高度為_(kāi)_______

米．【答案】50【分析】根據(jù)斜坡的坡比為1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，設(shè)BC=x，AC=2.4x，根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)題意可知AB=130米，求出x的值，繼而可求得BC的值．【詳解】解：如圖所示：∵坡比為1：2.4，∴BC：AC=1：2.4，設(shè)BC=x，AC=2.4x，則AB===2.6x，∵AB=130米，∴x=50，則BC=x=50（米）．故答案為50．【點(diǎn)睛】此題主要考查了坡度的定義和勾股定理，根據(jù)勾股定理把AB用x表示出來(lái)并求出是解題的關(guān)鍵.三、解答題17．計(jì)算：(1)(－1)2－2cos30°＋＋(－2017)0；(2)＋4sin60°.【答案】(1)2；(2)0.【解析】試題分析：(1)先求出式子每一項(xiàng)的值，然后相加即可.(2)先計(jì)算每一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，然后代入式子求值即可.試題解析：(1)原式＝1－2×＋＋1＝1－＋＋1＝2；(2)原式＝＋4×＝－2＋2＝0.18．（2019·福建三明市·九年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.(1)求BD和AD的長(zhǎng)；(2)求tanC的值．【答案】(1)BD＝3，AD＝3；(2)tanC＝.【解析】（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°．在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，∴BD＝AB·sin30°＝3，∴．（2），在Rt△BDC中，．19．（2020·遼寧盤錦市·）如圖，埃航MS804客機(jī)失事后，國(guó)家主席親自發(fā)電進(jìn)行慰問(wèn)，埃及政府出動(dòng)了多艘艦船和飛機(jī)進(jìn)行搜救，其中一艘潛艇在海面下500米的A點(diǎn)處測(cè)得俯角為45°的前下方海底有黑匣子信號(hào)發(fā)出，繼續(xù)沿原方向直線航行2000米后到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得俯角為60°的前下方海底有黑匣子信號(hào)發(fā)出，求海底黑匣子C點(diǎn)距離海面的深度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】3500+1000米【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，交海面于點(diǎn)E，設(shè)BD=x，利用銳角三角函數(shù)的定義用x表示出BD及CD的長(zhǎng)，由CE=CD+DE即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)C作CD⊥AB于D，交海面于點(diǎn)E，設(shè)BD=x，∵∠CBD=60°，∴tan∠CBD=∴CD=x．∵AB=2000，∴AD=x+2000，∵∠CAD=45°∴tan∠CAD==1，∴x=x+2000，解得x=1000+1000，∴CD=（1000+1000）=3000+1000，∴CE=CD+DE=3000+1000+500=3500+1000．答：黑匣子C點(diǎn)距離海面的深度為3500+1000米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，AB是長(zhǎng)為，傾斜角為37°的自動(dòng)扶梯，平臺(tái)BD與大樓CE垂直，且與扶梯AB的長(zhǎng)度相等，在B處測(cè)得大樓頂部C的仰角為65°，求大樓CE的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】大樓CE的高度約為．【分析】如圖（見(jiàn)解析），先在中，利用正弦三角函數(shù)可求出BF的長(zhǎng)，再在中，利用正切三角函數(shù)可求出CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，作于點(diǎn)F，則由題意得：，在中，則在中，則則答：大樓CE的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．21．如圖，某大樓的頂部樹(shù)有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為60°．沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比）（1）求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH；（2）求廣告牌CD的高度．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）【答案】（1）點(diǎn)B距水平面AE的高度BH為5米.（2）宣傳牌CD高約2.7米.【分析】（1）過(guò)B作DE的垂線，設(shè)垂足為G．分別在Rt△ABH中，通過(guò)解直角三角形求出BH、AH.（2）在△ADE解直角三角形求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出EH即BG的長(zhǎng)，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，則CG=BG，由此