PAGEPAGE1第4講萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用主干學(xué)問(wèn)體系核心再現(xiàn)及學(xué)科素養(yǎng)學(xué)問(wèn)規(guī)律(1)一條黃金代換：GM＝gR2.(2)兩條基本思路．①天體旁邊：Geq\f(Mm,R2)＝mg.②環(huán)繞衛(wèi)星：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2.(3)兩類衛(wèi)星．①近地衛(wèi)星：Geq\f(Mm,R2)＝mg＝meq\f(v2,R).②同步衛(wèi)星：Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(T＝24h)．(4)雙星：eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2r1＋r2＝L思想方法(1)物理思想：估算的思想、物理模型的思想．(2)物理方法：放大法、假設(shè)法、近似法.1．(2024·全國(guó)Ⅰ卷，20)(多選)2024年，人類第一次干脆探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波．依據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈．將兩顆中子星都看作是質(zhì)量勻稱分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)學(xué)問(wèn)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星()A．質(zhì)量之積 B．質(zhì)量之和C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速度BC[兩顆中子星運(yùn)動(dòng)到某位置的示意圖如圖所示每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，角速度已知，中子星運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力得eq\f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①eq\f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得eq\f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq\f(ω2l3,G)，質(zhì)量之和可以估算．由線速度與角速度的關(guān)系v＝ωr得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．質(zhì)量之積和各自自轉(zhuǎn)的角速度無(wú)法求解．]2．(2024·全國(guó)Ⅱ卷，16)2024年2月，我國(guó)500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)覺(jué)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19ms.假設(shè)星體為質(zhì)量勻稱分布的球體，已知萬(wàn)有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為()A．5×109kg/m2 B．5×10C．5×1015kg/m3 D．5×10C[脈沖星自轉(zhuǎn)，邊緣物體m恰對(duì)球體無(wú)壓力時(shí)萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力，則有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq\f(4,3)πr3整理得密度ρ＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32)kg/m3≈5.2×1015kg/m3．(2024·全國(guó)Ⅲ卷，15)為了探測(cè)引力波，“天琴安排”預(yù)料放射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為()A．2∶1 B．4∶1C．8∶1 D．16∶1C[由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)知，eq\f(T2,r3)＝eq\f(4π2,GM)，則兩衛(wèi)星eq\f(T\o\al(2,P),T\o\al(2,Q))＝eq\f(r\o\al(3,P),r\o\al(3,Q)).因?yàn)閞P∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.]4．(2024·天津卷，6)(多選)2018年2月2日，我國(guó)勝利將電磁監(jiān)測(cè)試驗(yàn)衛(wèi)星“張衡一號(hào)”放射升空，標(biāo)記我國(guó)成為世界上少數(shù)擁有在軌運(yùn)行高精度地球物理場(chǎng)探測(cè)衛(wèi)星的國(guó)家之一．通過(guò)觀測(cè)可以得到衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度．若將衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，依據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計(jì)算出衛(wèi)星的()A．密度 B．向心力的大小C．離地高度 D．線速度的大小CD[設(shè)人造地球衛(wèi)星的周期為T(mén)，地球質(zhì)量和半徑分別為M、R，衛(wèi)星的軌道半徑為r，則在地球表面：Geq\f(Mm,R2)＝mg，GM＝gR2①對(duì)衛(wèi)星：依據(jù)萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r②聯(lián)立①②式可求軌道半徑r，而r＝R＋h，故可求得衛(wèi)星離地高度．由v＝rω＝req\f(2π,T)，從而可求得衛(wèi)星的線速度．衛(wèi)星的質(zhì)量未知，故衛(wèi)星的密度不能求出，萬(wàn)有引力即向心力Fn＝Geq\f(Mm,r2)也不能求出．故選項(xiàng)C、D正確．]5．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ，17)利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上隨意兩點(diǎn)之間保持無(wú)線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來(lái)實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為()A．1h B．4hC．8h D．16hB[地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也應(yīng)隨之變小，由開(kāi)普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知衛(wèi)星離地球的高度應(yīng)變小，要實(shí)現(xiàn)三顆衛(wèi)星覆蓋全球的目的，則衛(wèi)星周期最小時(shí)，由數(shù)學(xué)幾何關(guān)系可作出他們間的位置關(guān)系如圖所示．衛(wèi)星的軌道半徑為r＝eq\f(R,sin30°)＝2R由eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))得eq\f(6.6R3,242)＝eq\f(2R3,T\o\al(2,2)).解得T2≈4h．][考情分析]■命題特點(diǎn)與趨勢(shì)1．近幾年有關(guān)萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用的題目在高考中通常以選擇題的形式出現(xiàn)，極個(gè)別狀況下會(huì)出現(xiàn)在計(jì)算題中，難度一般中等；在考查內(nèi)容上一般考查對(duì)描述天體運(yùn)動(dòng)參量間的關(guān)系、天體質(zhì)量(密度)的估算、萬(wàn)有引力定律等基本概念和基本規(guī)律的理解與應(yīng)用，有時(shí)還會(huì)涉及能量學(xué)問(wèn)，同時(shí)還會(huì)考查運(yùn)用限制變量法進(jìn)行定性推斷或定量計(jì)算的實(shí)力．2．從命題趨勢(shì)上看，分析人造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律，仍是考試中的熱點(diǎn)，以近幾年中國(guó)及世界空間技術(shù)和宇宙探究為背景的題目備受青睞，會(huì)形成新情景的物理題．■解題要領(lǐng)1．正確理解萬(wàn)有引力及萬(wàn)有引力定律，駕馭天體質(zhì)量和密度的估算方法，熟識(shí)一些天體的運(yùn)行常識(shí)．2．結(jié)合牛頓其次定律、向心力公式和萬(wàn)有引力定律分析計(jì)算衛(wèi)星運(yùn)行及衛(wèi)星變軌問(wèn)題．高頻考點(diǎn)一萬(wàn)有引力定律及天體質(zhì)量和密度的求解[備考策略]1．利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．通過(guò)視察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r.(1)由萬(wàn)有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；(2)若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；(3)若天體的衛(wèi)星在天體表面旁邊環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見(jiàn)，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．[題組突破]1－1.理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布勻稱的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬(wàn)有引力為零．現(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布勻稱的實(shí)心球體，O為球心，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸Ox，如圖所示，一個(gè)質(zhì)量肯定的小物體(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動(dòng))在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則選項(xiàng)所示的四個(gè)F隨x變更的關(guān)系圖中正確的是()A[選A.因?yàn)橘|(zhì)量分布勻稱的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬(wàn)有引力為零，則在距離球心x處(x≤R)物體所受的引力為F＝eq\f(GM1m,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πx3ρ·m,x2)＝eq\f(4,3)Gπρmx∝x，故F－x圖線是過(guò)原點(diǎn)的直線；當(dāng)x>R時(shí)，F(xiàn)＝eq\f(GMm,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πR3ρ·m,x2)＝eq\f(4GπρmR3,3x2)∝eq\f(1,x2)，故選項(xiàng)A正確．]1－2.(2024·湖北省麻城一中高考沖刺模擬)宇宙中有兩顆相距很遠(yuǎn)的行星A和B，它們的半徑分別為RA和RB.兩顆行星四周衛(wèi)星的軌道半徑的三次方(r3)與運(yùn)行周期的平方(T2)的關(guān)系如圖所示；T0為兩顆行星近地衛(wèi)星的周期，則()A．行星A的質(zhì)量小于行星B的質(zhì)量B．行星A的密度小于行星B的密度C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D．若兩衛(wèi)星軌道半徑相等，行星A的衛(wèi)星向心加速度大于行星B的衛(wèi)星向心加速度D[A.依據(jù)萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力，有：eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mR4π2,T2)，解得T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，對(duì)于環(huán)繞行星A表面運(yùn)行的衛(wèi)星，有：T0＝eq\r(\f(4π2R\o\al(3,A),GMA))，對(duì)于環(huán)繞行星B表面運(yùn)行的衛(wèi)星，有T0＝eq\r(\f(4π2R\o\al(3,B),GMB))，聯(lián)立解得eq\f(R\o\al(3,A),MA)＝eq\f(R\o\al(3,B),MB)，由圖知RA>RB，所以MA>MB，故A錯(cuò)誤；B.A行星質(zhì)量為：MA＝ρA·eq\f(4,3)πReq\o\al(3,A)，B行星的質(zhì)量為：MB＝ρB·eq\f(4,3)πReq\o\al(3,B)，代入解得eq\f(R\o\al(3,A),ρA·\f(4,3)πR\o\al(3,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),ρB·\f(4,3)πR\o\al(3,B))，解得ρA＝ρB，故B錯(cuò)誤；C、行星的近地衛(wèi)星的線速度即第一宇宙速度，依據(jù)萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力，有：eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(G·ρ\f(4,3)πR3,R))＝Req\r(\f(4,3)πGρ)∝R，因?yàn)镽A>RB，所以vA>vB，故C錯(cuò)誤；D、依據(jù)eq\f(GMm,r2)＝ma知，a＝eq\f(GM,r2)，由于MA>MB，行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相等，則行星A的衛(wèi)星的向心加速度大于行星B的衛(wèi)星的向心加速度，故D正確；故選D.]1－3.(2024·山東省濰坊市昌樂(lè)縣二中高三下學(xué)期質(zhì)檢)已知某星球的第一宇宙速度與地球相同，其表面的重力加速度為地球表面重力加速度的一半，則該星球的平均密度與地球平均密度的比值為()A．1∶16 B．16∶1C．4∶1 D．1∶4D[依據(jù)mg＝meq\f(v2,R)得，第一宇宙速度v＝eq\r(gR)，因?yàn)樾乔蚝偷厍虻牡谝挥钪嫠俣认嗤?，表面的重力加速度為地球表面重力加速度的一半，則星球的半徑是地球半徑的2倍，依據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg知，M＝eq\f(gR2,G)，知星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的2倍，依據(jù)ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)知，星球的平均密度與地球平均密度的比值為1∶4，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤．故選D.]高頻考點(diǎn)二天體和衛(wèi)星的運(yùn)行[備考策略]1．熟記衛(wèi)星的繞行速度v、角速度ω、周期T與軌道半徑r的關(guān)系(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，則r越大，v越?。?2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，則r越大，ω越?。?3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，則r越大，T越大．2．第一宇宙速度是指放射人造地球衛(wèi)星的最小放射速度，也是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度．其求解方法是：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R).3．同步衛(wèi)星的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同，是24h，同步衛(wèi)星只能定點(diǎn)于赤道上空，其離地高度是肯定的，速度大小是確定的．[命題視角]考向1衛(wèi)星的a、v、ω、T與半徑r的關(guān)系例1(多選)衛(wèi)星A、B的運(yùn)行方向相同，其中B為近地衛(wèi)星，某時(shí)刻，兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同始終線上)，已知地球半徑為R，衛(wèi)星A離地心O的距離是衛(wèi)星B離地心的距離的4倍，地球表面重力加速度為g，則()A．衛(wèi)星A、B的運(yùn)行周期的比值為eq\f(TA,TB)＝eq\f(4,1)B．衛(wèi)星A、B的運(yùn)行線速度大小的比值為eq\f(vA,vB)＝eq\f(1,2)C．衛(wèi)星A、B的運(yùn)行加速度的比值為eq\f(aA,aB)＝eq\f(1,4)D．衛(wèi)星A、B至少經(jīng)過(guò)時(shí)間t＝eq\f(16π,7)eq\r(\f(R,g))，兩者再次相距最近BD[由地球?qū)πl(wèi)星的引力供應(yīng)向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))∝eq\r(r3)，而rA＝4rB，所以衛(wèi)星A、B的運(yùn)行周期的比值為eq\f(TA,TB)＝eq\f(8,1)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；同理，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))∝eq\f(1,\r(r))，所以衛(wèi)星A、B的運(yùn)行線速度大小的比值為eq\f(vA,vB)＝eq\f(1,2)，B項(xiàng)正確；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2)，所以衛(wèi)星A、B的運(yùn)行加速度的比值為eq\f(aA,aB)＝eq\f(1,16)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))及地球表面引力等于重力大小Geq\f(Mm,R2)＝mg知T＝2πeq\r(\f(r3,gR2))，由于B為近地衛(wèi)星，所以TB＝2πeq\r(\f(R,g))，當(dāng)衛(wèi)星A、B再次相距最近時(shí)，衛(wèi)星B比衛(wèi)星A多運(yùn)行了一周，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,TB)－\f(2π,TA)))t＝2π，聯(lián)立可得t＝eq\f(16π,7)eq\r(\f(R,g))，D項(xiàng)正確．]考向2同步衛(wèi)星的理解例2(2024·高考物理全真模擬二)已知一質(zhì)量為m的物體靜止在北極與赤道對(duì)地面的壓力差為ΔN，假設(shè)地球是質(zhì)量勻稱的球體，半徑為R，則地球的自轉(zhuǎn)周期為(設(shè)地球表面的重力加速度為g)()A．地球的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)＝2πeq\r(\f(mR,ΔN))B．地球的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)＝πeq\r(\f(mR,ΔN))AC[在北極FN1＝Geq\f(Mm,R2)，在赤道Geq\f(Mm,R2)－FN2＝mReq\f(4π2,T2)，依據(jù)題意，有FN1－FN2＝ΔN，聯(lián)立計(jì)算得出：T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN))，所以A正確的，B錯(cuò)誤；萬(wàn)有引力供應(yīng)同步衛(wèi)星的向心力，則：Geq\f(Mm′,r2)＝m′eq\f(4π2r,T2)，聯(lián)立可得：r3＝eq\f(GMmR,ΔN)，又地球表面的重力加速度為g，則：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得：r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(mg,ΔN)))R，C正確，D錯(cuò)誤；故選A、C.][歸納反思]解答衛(wèi)星問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1．若衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)：依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma分析，可得：v＝eq\r(\f(GM,r))∝eq\r(\f(1,r))、ω＝eq\r(\f(GM,r3))∝eq\r(\f(1,r3))、T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))∝eq\r(r3)、a＝eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2)，即“高軌低速周期長(zhǎng)，低軌高速周期短”．2．若衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)：依據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律分析求解．可依據(jù)開(kāi)普勒其次定律分析衛(wèi)星的速率變更規(guī)律，依據(jù)開(kāi)普勒第三定律分析計(jì)算衛(wèi)星的周期．3．留意事項(xiàng)：留意同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的區(qū)分與聯(lián)系，留意黃金代換公式GM＝gR2的敏捷應(yīng)用．[題組突破]2－1.(2024·山東省青島市高三統(tǒng)一質(zhì)檢)2018年1月19日，以周總理命名的“淮安號(hào)”恩來(lái)星在甘肅酒泉衛(wèi)星放射中心，搭乘長(zhǎng)征－11號(hào)火箭順當(dāng)放射升空．“淮安號(hào)”恩來(lái)星在距離地面高度為535km的極地軌道上運(yùn)行．已知地球同步衛(wèi)星軌道高度約36000km，地球半徑約6400km.下列說(shuō)法正確的是()A．“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行速度小于7.9km/sB．“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行角速度小于地球自轉(zhuǎn)角速度C．經(jīng)估算，“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行周期約為1.6hD．經(jīng)估算，“淮安號(hào)”恩來(lái)星的加速度約為地球表面重力加速度的三分之二AC[A.據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得：v＝eq\r(\f(GM,r))，則“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度7.9km/s.故A項(xiàng)正確．B：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mrω2，解得：ω＝eq\r(\f(GM,r3))，則“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，即“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行角速度大于地球自轉(zhuǎn)角速度．故B錯(cuò)誤．C：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，解得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行周期與地球同步衛(wèi)星的周期關(guān)系為eq\f(T,T同)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋h1,R＋h同)))3)，解得“淮安號(hào)”恩來(lái)星的運(yùn)行周期約為1.6h．故C項(xiàng)正確．D：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma和Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得“淮安號(hào)”恩來(lái)星的加速度約為地球表面重力加速度的0.85倍．故D項(xiàng)錯(cuò)誤．]2－2.(2024·武漢市高三畢業(yè)班調(diào)研)如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉(zhuǎn)移軌道．已知地球的半徑R＝6400km，該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為(圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的高度)()A．3h B．8hC．15h D．20hA[依據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4200km，可知軌道半徑約為R1＝10600km，同步軌道GEO衛(wèi)星距離地面高度為36000km，可知軌道半徑約為R2＝42400km，為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即R2＝4R1.地球同步衛(wèi)星的周期為T(mén)2＝24h，運(yùn)用開(kāi)普勒第三定律，eq\f(R\o\al(3,1),R\o\al(3,2))＝eq\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2))，解得T1＝3h，選項(xiàng)A正確．]高頻考點(diǎn)三衛(wèi)星的變軌[備考策略]1．熟記變軌現(xiàn)象2．駕馭衛(wèi)星變軌過(guò)程中的能量變更衛(wèi)星在同一軌道上穩(wěn)定運(yùn)行過(guò)程中機(jī)械能守恒；在變軌過(guò)程中，點(diǎn)火加速，做離心運(yùn)動(dòng)，軌道上升，機(jī)械能增加，點(diǎn)火減速，做近心運(yùn)動(dòng)，軌道降低，機(jī)械能削減．3．衛(wèi)星繞過(guò)不同軌道上的同一點(diǎn)(切點(diǎn))時(shí)，其加速度大小關(guān)系可用F＝eq\f(GMm,r2)＝ma比較得出．[命題視角]考向1變軌過(guò)程中各參數(shù)的變更例3(2024·山東省濰坊市高三一模)如圖所示，“嫦娥三號(hào)”從M點(diǎn)進(jìn)入環(huán)月圓軌道Ⅰ，運(yùn)行4天后再?gòu)腗點(diǎn)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，N為橢圓軌道Ⅱ的近月點(diǎn)(可視為緊貼月球表面)，則“嫦娥三號(hào)”()A．在兩軌道上運(yùn)行的周期相同B．在兩軌道上運(yùn)行的機(jī)械能相同C．在N點(diǎn)的速度大于月球的第一宇宙速度D．在N到M的過(guò)程機(jī)械能不斷增加C[A.依據(jù)開(kāi)普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可得半長(zhǎng)軸a越大，運(yùn)動(dòng)周期越大，明顯軌道Ⅰ的半長(zhǎng)軸(半徑)大于軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸，故沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)的周期小于沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)的周期，故A錯(cuò)誤；B.由于飛船經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)點(diǎn)火減速，使飛船由環(huán)月圓軌道Ⅰ從M點(diǎn)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，外力做負(fù)功，機(jī)械能減小，所以軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于軌道Ⅱ上的機(jī)械能，故B錯(cuò)誤；C.第一宇宙速度是放射衛(wèi)星的最小速度，是繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度也可以稱為近月N點(diǎn)的環(huán)繞速度，“嫦娥三號(hào)”在N點(diǎn)做橢圓軌道Ⅱ的離心運(yùn)動(dòng)，故速度應(yīng)大于在N點(diǎn)上圓周運(yùn)動(dòng)的速度，即在N點(diǎn)的速度大于月球的第一宇宙速度，故C正確；D.沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能和勢(shì)能交替轉(zhuǎn)化，不會(huì)有別的力做功變更其機(jī)械能，機(jī)械能守恒，故D錯(cuò)誤；故選C.]考向2衛(wèi)星的追及相遇問(wèn)題例4(2024·內(nèi)蒙古包頭市高三模擬)2016年10月17日7時(shí)30分神舟十一號(hào)飛船放射升空，勝利入軌后，經(jīng)過(guò)5次遠(yuǎn)距離導(dǎo)引限制之后，飛船到達(dá)天宮二號(hào)后下方52公里左右的位置(如圖所示)，兩個(gè)航天器建立空空通信，轉(zhuǎn)入到自主限制段.10月19日凌晨，神舟十一號(hào)飛船與天宮二號(hào)自動(dòng)交會(huì)對(duì)接勝利，起先在太空中的連體飛行．與前幾次交會(huì)對(duì)接任務(wù)不同，此次交會(huì)對(duì)接軌道和返回軌道高度比之前增加了50公里，距地面高度為393公里．下列說(shuō)法正確的是()A．神舟十一號(hào)飛船從圖示狀態(tài)下要與天宮二號(hào)對(duì)接，須向后噴氣B．在圖示狀態(tài)時(shí)，天宮二號(hào)的向心加速度大于神舟十一號(hào)的向心加速度C．在圖示狀態(tài)時(shí)，天宮二號(hào)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期小于神舟十一號(hào)的周期D．天宮二號(hào)和神舟十一號(hào)組合體繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大于7.9km/sA[依據(jù)天宮二號(hào)和神舟十一號(hào)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)所須要的向心力是由地球?qū)λ鼈兊娜f(wàn)有引力供應(yīng)的，則有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝meq\f(v2,r)＝ma，即v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，a＝Geq\f(M,r2)，由此可知：r越大，v越小，T越大，a越小，故B、C、D錯(cuò)誤；神舟十一號(hào)飛船從圖示狀態(tài)下要與天宮二號(hào)對(duì)接，需加速做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入高軌道，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)接，A正確；故選A.][歸納反思]1．衛(wèi)星變軌的兩種常見(jiàn)狀況eq\x(\a\al(較低圓,軌道))eq\o(,\s\up14(近地點(diǎn)向后噴氣),\s\do15(近地點(diǎn)向前噴氣))eq\x(\a\al(橢圓,軌道))eq\o(,\s\up14(遠(yuǎn)地點(diǎn)向后噴氣),\s\do15(遠(yuǎn)地點(diǎn)向前噴氣))eq\x(\a\al(較高圓,軌道))2．航天器變軌問(wèn)題的三點(diǎn)留意事項(xiàng)(1)航天器變軌時(shí)半徑的變更，依據(jù)萬(wàn)有引力和所需向心力的大小關(guān)系推斷；穩(wěn)定在新軌道上的運(yùn)行速度變更由v＝eq\r(\f(GM,r))推斷．(2)航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大．(3)航天器經(jīng)過(guò)不同軌道相切的同一點(diǎn)時(shí)加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度．[題組突破]3－1.(2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)高三第一次模擬考試)中國(guó)探月工程嫦娥四號(hào)任務(wù)安排于2024年執(zhí)行兩次放射：上半年放射嫦娥四號(hào)中繼星，下半年放射嫦娥四號(hào)探測(cè)器，她將實(shí)現(xiàn)人類首次月球背面軟著陸和巡察勘察，如圖所示，設(shè)月球半徑為R，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為T(mén)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B時(shí)，再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是()A．月球的質(zhì)量可表示為eq\f(256π2R3,GT2)B．在軌道Ⅲ上B點(diǎn)速率大于在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的速率C．“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器沿橢圓軌道從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能保持不變D．“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器從遠(yuǎn)月點(diǎn)A向近月點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，加速度變小C[在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，故有Geq\f(Mm,3R2)＝meq\f(4π2,T2)(3R)，解得M＝eq\f(108π2R3,GT2)，A錯(cuò)誤；在軌道Ⅱ的B點(diǎn)須要減速做近心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入軌道Ⅲ做圓周運(yùn)動(dòng)，所以在軌道Ⅲ上B點(diǎn)速率小于在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的速率，B錯(cuò)誤；探測(cè)器沿橢圓軌道從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中只受到地球引力作用，飛船的機(jī)械能保持不變，C正確；依據(jù)公式Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，所以軌道半徑越大，向心加速度越小，故從遠(yuǎn)月點(diǎn)到近月點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，軌道變小，加速度變大，D錯(cuò)誤．]3－2.我國(guó)原安排在2024年底放射“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器，實(shí)現(xiàn)月球軟著陸以及采樣返回，這意味著我國(guó)探月工程“繞、落、回”三步走的最終一步即將完成．“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器在月球表面著陸的過(guò)程可以簡(jiǎn)化如下，探測(cè)器從圓軌道1上A點(diǎn)減速后變軌到橢圓軌道2.之后又在軌道2上的B點(diǎn)變軌到近月圓軌道3.已知探測(cè)器在1軌道上周期為T(mén)1，O為月球球心，C為軌道3上的一點(diǎn)，AC與AO最大夾角為θ，則下列說(shuō)法正確的是()A．探測(cè)器要從軌道2變軌到軌道3須要在B點(diǎn)點(diǎn)火加速B．探測(cè)器在軌道1的速度小于在軌道2經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度C．探測(cè)器在軌道2上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度最小，加速度最大D．探測(cè)器在軌道3上運(yùn)行的周期為eq\r(sin3θ)T1BD[探測(cè)器要從軌道2變軌到軌道3須要在B點(diǎn)減速，A錯(cuò)誤；探測(cè)器在軌道1的速度小于在軌道3的速度，探測(cè)器在軌道2經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度大于在軌道3的速度，故探測(cè)器在軌道1的速度小于在軌道2經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度，B正確；探測(cè)器在軌道2上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度最小，A點(diǎn)是軌道2上距離月球最遠(yuǎn)的點(diǎn)，故由萬(wàn)有引力產(chǎn)生的加速度最小，C錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第三定律eq\f(T\o\al(2,1),r\o\al(3,1))＝eq\f(T\o\al(2,3),r\o\al(3,3))，其中eq\f(r3,r1)＝sinθ，解得T3＝eq\r(sin3θ)T1，D正確．]高頻考點(diǎn)四雙星和多星問(wèn)題[備考策略]牢記雙星系統(tǒng)模型以下特點(diǎn)1．各自須要的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互供應(yīng)，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2.2．兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.3．兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L.[題組突破]4－1.(2024·湖北省荊州中學(xué)高三全真模擬考試(一))2018年12月7日是我國(guó)放射“悟空”探測(cè)衛(wèi)星三周年的日子，該衛(wèi)星的放射為人類對(duì)暗物質(zhì)的探討做出了重大貢獻(xiàn)．假設(shè)兩顆質(zhì)量相等的星球繞其球心連線中心轉(zhuǎn)動(dòng)，理論計(jì)算的周期與實(shí)際觀測(cè)的周期有出入，且eq\f(T理論,T觀測(cè))＝eq\f(\r(n),1)(n>1)，科學(xué)家推想，在以兩星球球心連線為直徑的球體空間中勻稱分布著暗物質(zhì)，設(shè)兩星球球心連線長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量均為m，據(jù)此推想，暗物質(zhì)的質(zhì)量為()A．(n－1)mB．nmC.eq\f(n－2,8)mD.eq\f(n－1,4)mD[雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，理論上，由相互間的萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力得：Geq\f(m2,L2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,理論))·eq\f(L,2)解得：T理論＝πLeq\r(\f(2L,Gm)).依據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期且eq\f(T理論,T觀測(cè))＝eq\f(\r(n),1)(n>1)，這種差異是由雙星內(nèi)勻稱分布的暗物質(zhì)引起的，勻稱分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m′，位于中點(diǎn)O處的質(zhì)點(diǎn)的作用相同．則有：Geq\f(m2,L2)＋eq\f(Gmm′,\f(L,2)2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,觀測(cè)))·eq\f(L,2)解得：T觀測(cè)＝πLeq\r(\f(2L,Gm＋4m′))聯(lián)立解得：m′＝eq\f(n－1,4)m.故選D.]4－2.2017年10月16日，南京紫金山天文臺(tái)對(duì)外發(fā)布一項(xiàng)重大發(fā)覺(jué)，我國(guó)南極巡天望遠(yuǎn)鏡追蹤探測(cè)到首例引力波事務(wù)光學(xué)信號(hào)．關(guān)于引力波，早在1916年愛(ài)因斯坦基于廣義相對(duì)論預(yù)言了其存在.1974年拉塞爾豪爾斯和約瑟夫泰勒發(fā)覺(jué)赫爾斯—泰勒脈沖雙星，這雙星系統(tǒng)在相互公轉(zhuǎn)時(shí)，由于不斷放射引力波而失去能量，因此漸漸相互靠近，這現(xiàn)象為引力波的存在供應(yīng)了首個(gè)間接證據(jù)．科學(xué)家們揣測(cè)該雙星系統(tǒng)中體積較小的星球能“吸食”另一顆體積較大的星球表面的物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，則關(guān)于赫爾斯—泰勒脈沖雙星周期T隨雙星之間的距離L變更的關(guān)系圖象正確的是()B[雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬(wàn)有引力供應(yīng)，eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R1＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R2，由幾何關(guān)系得：R1＋R2＝L，解得：eq\f(1,T2)＝eq\f(Gm1＋m2,4π2)·eq\f(1,L3)，已知此雙星系統(tǒng)中體積較小的星球能“吸食”另一顆體積較大的星體表面的物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，每個(gè)星球的質(zhì)量變更，但質(zhì)量之和不變，所以eq\f(1,T2)∝eq\f(1,L3)，故B正確，ACD錯(cuò)誤．]4－3.(2024·湖南省常德市高三模擬考試)(多選)2016年2月1日15時(shí)29分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星放射中心勝利放射了第五顆新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星．該衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為m，軌道半徑約為地球半徑R的4倍．重力加是三顆星位于同始終線上，兩顆星圍繞中心星做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，如圖乙所示．設(shè)兩種系統(tǒng)中三個(gè)星體的質(zhì)量均為m，且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖甲、圖乙中標(biāo)出，引力常量為G，則()A．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為eq\r(\f(Gm,L))B．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4πeq\r(\f(L3,5Gm))C．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為2eq\r(\f(L3,3Gm))D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小為eq\f(\r(3)Gm,L2)BD[在直線三星系統(tǒng)中，星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由其他兩星對(duì)它的萬(wàn)有引力的合力供應(yīng)，依據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓其次定律，有Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,2L2)＝meq\f(v2,L)，解得v＝eq\f(1,2)eq\r(\f(5Gm,L))，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由周期T＝eq\f(2πr,v)知，直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)＝4πeq\r(\f(L3,5Gm))，B項(xiàng)正確；同理，對(duì)三角形三星系統(tǒng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的星體，有2Geq\f(m2,L2)cos30°＝mω2·eq\f(L,2cos30°)，解得ω＝eq\r(\f(3Gm,L3))，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由2Geq\f(m2,L2)cos30°＝ma，得a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，D項(xiàng)正確．]課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(四)一、選擇題(1～8題為單項(xiàng)選擇題，9～14題為多項(xiàng)選擇題)1．(2024·威海市高考模擬考試)2017年9月29日，世界首條量子保密通訊干線“京滬干線”與“墨子號(hào)”科學(xué)試驗(yàn)衛(wèi)星進(jìn)行天地鏈路，我國(guó)科學(xué)家勝利實(shí)現(xiàn)了洲際量子保密通訊．設(shè)“墨子號(hào)”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，該弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，已知引力常量為G.下列說(shuō)法正確的是()A．“墨子號(hào)”的運(yùn)行周期為eq\f(π,θ)tB．“墨子號(hào)”的離地高度為eq\f(L,θ)C．“墨子號(hào)”的運(yùn)行速度大于7.9km/sD．利用題中信息可計(jì)算出地球的質(zhì)量為eq\f(L3,Gθt2)D[“墨子號(hào)”的運(yùn)行周期為T(mén)＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(θ,t))＝eq\f(2πt,θ)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；“墨子號(hào)”的離地高度為h＝r－R＝eq\f(L,θ)－R，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；任何衛(wèi)星的速度均小于第一宇宙速度，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，其中ω＝eq\f(θ,t)，r＝eq\f(L,θ)，解得M＝eq\f(L3,Gθt2)，選項(xiàng)D正確；故選D.]2．若太陽(yáng)系內(nèi)每個(gè)行星貼近其表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期用T表示，該行星的平均密度是ρ，到太陽(yáng)的距離是R，已知引力常量G.則下列說(shuō)法正確的是()A．可以求出該行星的質(zhì)量B．可以求出太陽(yáng)的質(zhì)量C．ρT2是定值D.eq\f(T2,R3)是定值C[因?yàn)椴恢佬行堑陌霃?，所以無(wú)法求出行星的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤．T不是行星的公轉(zhuǎn)周期，所以不能求出太陽(yáng)的質(zhì)量，故BD錯(cuò)誤．對(duì)于衛(wèi)星，由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，其中M＝ρV＝eq\f(4,3)πρr3，整理可得ρT2＝eq\f(3π,G)是一個(gè)定值，故C正確．]3．(2024·石家莊高三考前模擬)如圖所示，地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球處在運(yùn)動(dòng)軌道b位置時(shí)，地球和太陽(yáng)連線所在的直線上的a與e位置、c與d位置均關(guān)于太陽(yáng)對(duì)稱．當(dāng)一無(wú)動(dòng)力的探測(cè)器處在a或c位置時(shí)，它僅在太陽(yáng)和地球引力的共同作用下，與地球一起以相同的角速度繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．該探測(cè)器在a位置受到的太陽(yáng)、地球引力的合力等于在c位置受到的太陽(yáng)、地球引力的合力B．該探測(cè)器在a位置受到的太陽(yáng)、地球引力的合力大于在c位置受到的太陽(yáng)、地球引力的合力C．若地球和該探測(cè)器分別在b、d位置，它們也能以相同的角速度繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)D．若地球和該探測(cè)器分別在b、e位置，它們也能以相同的角速度繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)B[依據(jù)題述，探測(cè)器處在a位置和c位置時(shí)，它僅在太陽(yáng)和地球引力的共同作用下，與地球一起以相同的角速度ω繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)該探測(cè)器的質(zhì)量為m，在a位置受到的太陽(yáng)和地球引力的合力為Fa，在c位置受到的太陽(yáng)和地球引力的合力為Fc，依據(jù)牛頓其次定律，可知Fa＝mω2ra，F(xiàn)c＝mω2rc，由于ra>rc，所以Fa>Fc，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；若地球和探測(cè)器分別在b、d位置，探測(cè)器在d位置所受到的太陽(yáng)和地球引力的合力與在c位置時(shí)不同，所以不能以相同的角速度繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若地球和探測(cè)器分別在b、e位置，探測(cè)器在e位置所受到的太陽(yáng)和地球引力的合力與在a位置時(shí)不同，所以不能以相同的角速度繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]4．2017年6月15日，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星放射中心用長(zhǎng)征四號(hào)乙運(yùn)載火箭勝利放射首顆X射線調(diào)制望遠(yuǎn)鏡衛(wèi)星“慧眼”．“慧眼”的勝利放射將顯著提升我國(guó)大型科學(xué)衛(wèi)星研制水平，填補(bǔ)我國(guó)X射線探測(cè)衛(wèi)星的空白，實(shí)現(xiàn)我國(guó)在空間高能天體物理領(lǐng)域由地面觀測(cè)向天地聯(lián)合觀測(cè)的超越．“慧眼”探討的對(duì)象主要是黑洞、中子星和射線暴等致密天體和爆發(fā)覺(jué)象．在利用“慧眼”觀測(cè)漂亮的銀河系時(shí)，若發(fā)覺(jué)某雙黑洞間的距離為L(zhǎng)，只在彼此之間的萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，引力常量為G，則雙黑洞總質(zhì)量為()A.eq\f(4π2L3,GT2)B.eq\f(4π2L3,3GT2)C.eq\f(GL3,4π2T2)D.eq\f(4π2T3,GL2)A[雙黑洞靠相互間的萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力，有：Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1eq\f(4π2,T2)Geq\f(m1m2,L2)＝m2r2eq\f(4π2,T2)，解得：m2＝eq\f(4π2r1L2,GT2)，m1＝eq\f(4π2r2L2,GT2)，則雙黑洞總質(zhì)量為：m總＝m2＋m1＝eq\f(4π2L3,GT2)，故選：A.]5．(2024·福建廈門(mén)市畢業(yè)班調(diào)研)位于貴州的“中國(guó)天眼”是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)．通過(guò)FAST測(cè)得水星與太陽(yáng)的視角為θ(水星、太陽(yáng)分別與視察者的連線所夾的角)，如圖所示．若最大視角的正弦值為k，地球和水星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則水星的公轉(zhuǎn)周期為()A.eq\r(3,k2)年B.eq\r(\f(1,k3))年C.eq\r(k3)年D.eq\r(\f(k,\r(1－k2))3)年C[由題意可知，當(dāng)視察者和水星的連線與水星的軌道相切時(shí)，水星與太陽(yáng)的視角最大，由三角函數(shù)可得sinθ＝eq\f(r水,r地)＝k，又由萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力有Geq\f(Mm水,r\o\al(2,水))＝m水eq\f(4π2,T\o\al(2,水))r水，eq\f(GMm地,r\o\al(2,地))＝m地eq\f(4π2,T\o\al(2,地))r地，聯(lián)立以上可解得T水＝eq\r(k3)年，C正確．]6．(2024·安徽省合肥一中高三二模)天文學(xué)家通過(guò)觀測(cè)雙星軌道參數(shù)的變更來(lái)間接驗(yàn)證引力波的存在，證明了GW150914是兩個(gè)黑洞并合的事務(wù)．該事務(wù)中甲、乙兩個(gè)黑洞的質(zhì)量分別為太陽(yáng)質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個(gè)黑洞，繞它們連線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，且這兩個(gè)黑洞的間距緩慢減小．若該黑洞系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各自質(zhì)量不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個(gè)黑洞的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．甲、乙兩個(gè)黑洞運(yùn)行的線速度v大小之比為36∶29B．甲、乙兩個(gè)黑洞運(yùn)行的角速度ω大小之比為36∶29C．隨著甲、乙兩個(gè)黑洞的間距緩慢減小，它們運(yùn)行的周期T也在減小D．甲、乙兩個(gè)黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小始終相等C[對(duì)兩個(gè)黑洞，它們的角速度ω相等，由萬(wàn)有引力Geq\f(m甲m乙,L2)＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙和v＝rω可以推斷出線速度eq\f(v甲,v乙)＝eq\f(29,36)，AB錯(cuò)誤．又r1＋r2＝L，結(jié)合萬(wàn)有引力公式可以得出Geq\f(m1＋m2,L3)＝ω2，兩個(gè)黑洞的間距緩慢減小，則角速度ω在增加，由T＝eq\f(2π,ω)知T減小，而它們的向心加速度a＝eq\f(Gm,L2)，質(zhì)量不等，相對(duì)應(yīng)的向心加速度大小不相等，C正確，D錯(cuò)誤．]7．(2024·重慶市江津區(qū)高三下5月預(yù)料模擬)北斗導(dǎo)航已經(jīng)用于多種手機(jī)，如圖所示，導(dǎo)航系統(tǒng)的一顆衛(wèi)星原來(lái)在較低的橢圓軌道Ⅱ上飛行，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)轉(zhuǎn)移到圓軌道Ⅰ上．若圓軌道Ⅰ離地球表面的高度h1，橢圓軌道Ⅱ近地點(diǎn)離地球表面的高度為h2.地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，則下列說(shuō)法不正確的是()A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能B．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率v＝eq\r(\f(gR2,R＋h1))C．若衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期是T1，則衛(wèi)星在軌道Ⅱ的時(shí)間T2＝T1eq\r(\f(h1＋h2＋2R3,8R＋h13))D．若“天宮一號(hào)”沿軌道Ⅱ運(yùn)行經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度為vA，則“天宮一號(hào)”運(yùn)行到B點(diǎn)的速度vB＝eq\r(\f(R＋h1,R＋h2))vAD[衛(wèi)星從軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅰ要在A點(diǎn)加速，則衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能選項(xiàng)A正確；衛(wèi)星在軌道Ⅰ上：Geq\f(Mm,R＋h1)＝meq\f(v2,R＋h1)，又GM＝gR2，解得v＝eq\r(\f(gR2,R＋h1))，選項(xiàng)B正確；依據(jù)開(kāi)普勒第三定律可得：eq\f(R＋h13,T\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2R＋h1＋h2,2)))3,T\o\al(2,2))，解得T2＝T1eq\r(\f(h1＋h2＋2R3,8R＋h13))，選項(xiàng)C正確；依據(jù)開(kāi)普勒第三定律得：vA(h1＋R)＝vB(h2＋R)，解得vB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h1＋R,h2＋R)))vA，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；此題選項(xiàng)不正確的選項(xiàng)，故選D.]8．(2024·山東省湖北重點(diǎn)學(xué)校協(xié)作體沖刺模擬)“嫦娥之父”歐陽(yáng)自遠(yuǎn)透露：我國(guó)安排于2024年登陸火星．假如某志愿者登上火星后將一小球從高為h的地方由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，測(cè)得經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落在火星表面，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星自轉(zhuǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．火星的第一宇宙速度為eq\r(\f(2hR,t))B．火星的質(zhì)量為eq\f(2h2R,Gt2)C．火星的平均密度為eq\f(3h,2πRGt2)D．環(huán)繞火星表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期為teq\r(\f(2R,h))C[由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，h＝eq\f(1,2)gt2，解得火星表面的重力加速度大小為g＝eq\f(2h,t2)，火星的第一宇宙速度v1＝eq\r(gR)＝eq\f(\r(2hR),t)，A錯(cuò)誤；在火星表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得火星的質(zhì)量為M＝eq\f(2hR2,Gt2)，B錯(cuò)誤；火星的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4πR3,3))＝eq\f(3h,2πRGt2)，C正確；設(shè)環(huán)繞火星表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期為T(mén)，則T＝eq\f(2πR,v1)＝πteq\r(\f(2R,h))，D錯(cuò)誤．]9．(2024·河北衡水中學(xué)信息卷)近期天文學(xué)界有許多新發(fā)覺(jué)，若某一新發(fā)覺(jué)的星體質(zhì)量為m、半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，引力常量為G.下列說(shuō)法正確的是()A．假如該星體的自轉(zhuǎn)周期T<2πeq\r(\f(R3,Gm))，會(huì)解體B．假如該星體的自轉(zhuǎn)周期T>2πeq\r(\f(R3,Gm))，會(huì)解體C．該星體表面的引力加速度為eq\f(Gm,R)D．假如有衛(wèi)星靠近該星體表面飛行，其速度大小為eq\r(\f(Gm,R))AD[假如在該星體表面有一物質(zhì)，質(zhì)量為m′，當(dāng)它受到的萬(wàn)有引力大于跟隨星體自轉(zhuǎn)所須要的同心力時(shí)呈穩(wěn)定狀態(tài)，即Geq\f(mm′,R2)>m′Req\f(4π2,T2)，化簡(jiǎn)得T>2πeq\r(\f(R3,GM))，即T>2πeq\r(\f(R3,Gm))時(shí)，星體不會(huì)解體，而該星體的自轉(zhuǎn)周期T<2πeq\r(\f(R3,Gm))時(shí)，會(huì)解體，A正確；B錯(cuò)誤；在該星體表面，有Geq\f(mm′,R2)＝m′g，所以g＝eq\f(Gm,R2)，C錯(cuò)誤；假如有衛(wèi)星靠近該星體表面飛行，有Geq\f(mm″,R2)＝m″e(cuò)q\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，D正確．]10．(2024·廣東南寧市高三調(diào)研)如圖為某著陸器經(jīng)過(guò)多次變軌后登陸火星的軌跡圖，著陸器先在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，然后改在圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)，最終在橢圓周軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)是軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交點(diǎn)，軌道上的P、S、Q三點(diǎn)與火星中心在同始終線上，P、Q兩點(diǎn)分別是橢圓軌道的遠(yuǎn)火星點(diǎn)和近火星點(diǎn)．且PQ＝2QS＝2L，著陸器在軌道Ⅰ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度為v1，在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度為v2，在軌道Ⅲ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度為v3A．著陸器在P點(diǎn)由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ須要點(diǎn)火加速B．著陸器在軌道Ⅱ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)的時(shí)間與著陸器在軌道Ⅲ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間之比是eq\f(3\r(3),8)C．著陸器在軌道Ⅲ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度可表示為eq\f(2v\o\al(2,2),3L)D．著陸器在軌道Ⅱ上S點(diǎn)與在軌道Ⅲ上P點(diǎn)的加速度大小相等CD[著陸器在P點(diǎn)由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ時(shí)，是向低軌道運(yùn)動(dòng)，所以應(yīng)當(dāng)減速才可以，故A錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第三定律知道，著陸器在軌道Ⅱ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)的時(shí)間和著陸器在軌道Ⅲ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間都是各自周期的一半，依據(jù)開(kāi)普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可得eq\f(T2,T3)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(L＋2L,2),\f(2L,2))))3)＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，著陸器在軌道Ⅱ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)的時(shí)間是著陸器在軌道Ⅲ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間之比是eq\f(3\r(3),2\r(2))，故B錯(cuò)誤；著陸器在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度，就是向心加速度，所以a＝eq\f(v\o\al(2,2),\f(L＋2L,2))＝eq\f(2v\o\al(2,2),3L)，著陸器在軌道Ⅲ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度與著陸器在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度相同，故C正確；由于著陸器在軌道Ⅱ上S點(diǎn)與在軌道Ⅲ上P點(diǎn)到火星的球心之間的距離是相等的，所以加速度大小相等，故D正確．]11．(2024·山東省濟(jì)南市高三一模)2017年11月5日，又有兩顆北斗導(dǎo)航系統(tǒng)組網(wǎng)衛(wèi)星通過(guò)“一箭雙星”放射升空，并勝利進(jìn)入預(yù)定軌道，兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)均看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．假如兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量均為M，其中的1號(hào)衛(wèi)星軌道距離地面高度為h,2號(hào)衛(wèi)星軌道距離地面高度為h′，且h′>h，把地球看做質(zhì)量分布勻稱的球體，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是()A．1號(hào)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度Req\r(\f(g,R＋h))B．1號(hào)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T＝2π(R＋h)eq\r(\f(R＋h,GM))C．1號(hào)衛(wèi)星和2號(hào)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小之比為eq\f(h′2,h2)D．穩(wěn)定在軌運(yùn)行時(shí)1號(hào)衛(wèi)星的機(jī)械能小于2號(hào)衛(wèi)星的機(jī)械能AD[A項(xiàng)：依據(jù)公式Geq\f(Mm,R＋h2)＝Meq\f(v2,R＋h)和m0g＝Geq\f(mm0,R2)，解得v＝Req\r(\f(g,R＋h))，故A正確；B項(xiàng)：依據(jù)公式Geq\f(Mm,R＋h2)＝Meq\f(4π2,T2)(R＋h)和m0g＝Geq\f(mm0,R2)，解得：T＝eq\f(2πR＋h\r(R＋h),R\r(g))，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：F1＝Geq\f(mM,R＋h2)，F(xiàn)2＝Geq\f(mM,R＋h′2)，所以eq\f(F1,F2)＝eq\f(R＋h′2,R＋h2)，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：由于h<h′，衛(wèi)星從低軌道向高軌道要點(diǎn)火加速，化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，所以穩(wěn)定在軌運(yùn)行時(shí)1號(hào)衛(wèi)星的機(jī)械能小于2號(hào)衛(wèi)星的機(jī)械能，故D正確．]12．(2024·山東省煙臺(tái)市高三下學(xué)期診斷測(cè)試)嫦娥工程分為三期，簡(jiǎn)稱“繞、落、回”三步走．我國(guó)放射的“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星是嫦娥工程其次階段的登月探測(cè)器，該衛(wèi)星先在距月球表面高度為h的軌道上繞月球做周期為T(mén)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)變軌后勝利落月．已知月球的半徑為R，引力常量為G，忽視月球自轉(zhuǎn)及地球?qū)πl(wèi)星的影響．則以下說(shuō)法正確的是