2024-2025學年下學期高中數學北師大高一同步經典題精練之

復數的概念及其幾何意義

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?常德校級期末）已知i為虛數單位，則復數z=|i|+（1-z）2的虛部是（）

A.-zB.-1C.-2zD.-2

2.（2024秋?遵義期末）己知i為虛數單位，則|l-i|=（）

魚l1

A.—B.V2C.1D.-

22

3.（2024秋?洛陽期末）若復數z在復平面上對應點的坐標為（百，1）,2為z的共朝復數，則|z-2|=（）

A.0B.2C.2V3D.4

4.（2025?張家口模擬）復數z滿足（z+2）i=l-iQ.為虛數單位），則z的共朝復數的模長是（）

A.-3B.1C.2D.V10

5.（2025?安陽二模）已知|z|=5,z+2=8,則z在復平面內的坐標是（）

A.（4,3）B.（4,-3）

C.（4,3）或（4,-3）D.（4,3）或（-4,3）

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?雷州市校級期末）已知復數z在復平面對應的點為A,且=-=2+f3,則下列說

Z+1

法正確的是（）

A.z=iB.\z\=

1Q1

C.z的虛部為一D.X（—2/—2）

（多選）7.（2024秋?迎江區(qū)校級期末）已知復數zi,Z2在復平面內對應的點分別為Zi,Z2,。為坐標原

點，貝IJ（）

A.若z=zi+z2,則，=痣+豆

—>―?

B.若Zl,Z2均不為0,則憶逐2|=|OZ「OZ2|

C.若2=為，貝”Z1Z2|=|Z1Z|

-?-*-?->

D.^\OZ1+OZ2\=\OZ1-OZ2\,則z「z2=0

（多選）8.（2024秋?內蒙古期末）已知復數z滿足z=l+2i,其中i為虛數單位,則下列結論正確的是（）

112

A.|z|=|z|B.—=——+-z

z33

C.z3的虛部為-2D.z2-2z+5=0

（多選）9.（2024秋?聊城期末）已知復數2=黑+1,則（）

A.2=—2—32

B.|z|=5

C.zi=3-2i

D.z在復平面內對應的點位于第一象限

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?連云港期末）在復平面內，復數z=l-萬的模為.

11.（2025?新余校級模擬）請寫出一個非。復數z滿足z2=|z|：.

12.（2024秋?上海校級期末）若復數z滿足|z+2i|=l（其中z?為虛數單位），則團的最小值為

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?浦東新區(qū)校級期中）已知復數z=3+:應其中“zeR.

（1）設zi=（l+3z）z,若zi是純虛數，求實數機的值；

（2）設機=-1,分別記復數z,z?在復平面上對應的點為A、B,求OA與的夾角大小.

14.（2024春?固始縣校級期末）已知（是虛數單位,復數z=（TH2-5m+6）+（zn2-2m）i,mER.

（1）當復數z為實數時，求相的值；

（2）當復數z為純虛數時，求機的值；

15.（2024春?共和縣校級期中）在復平面內，復數z=/-a-2+（a2-3o-4）i（其中aeR）.

（1）若復數z為實數，求。的值；

（2）若復數z為純虛數，求a的值.

2024-2025學年下學期高中數學北師大版（2019）高一同步經典題精練之

復數的概念及其幾何意義

參考答案與試題解析

題號12345

答案DBBDC

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?常德校級期末）已知i為虛數單位，則復數z=|i|+（1-z）2的虛部是（）

A.-zB.-1C.-2zD.-2

【考點】復數的模.

【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】D

【分析】利用乘方運算和模長計算可得z=l-2z,可知虛部為-2.

【解答】解:根據題意可得z=|i|+（1-r）2=1+12-2Z+Z>2=1-2i,

易知z=l-2i的虛部是-2.

故選：D.

【點評】本題主要考查乘方運算和模長計算，屬于基礎題.

2.（2024秋?遵義期末）已知i為虛數單位，則|17|=（）

V2r-1

A.—B.V2C.1D.-

22

【考點】復數的模.

【專題】對應思想；分析法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】B

【分析】利用復數的模求解即可.

【解答】解：|1-；|=V1+1=V2.

故選：B.

【點評】本題考查復數模的求法，是基礎題.

3.（2024秋?洛陽期末）若復數z在復平面上對應點的坐標為（百，1）,2為z的共朝復數，則|z-2|=（）

A.0B.2C.2V3D.4

【考點】共軌復數；復數的模.

【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】B

【分析】由已知求得z,進一步得到2,再由復數模的計算公式求解.

【解答】解：???復數z在復平面上對應點的坐標為（遮，1）,

z=V3+i,則2=V3—i,可得z—z—2i.

\z—z\=2.

故選：B.

【點評】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數模的求法，是基礎題.

4.（2025?張家口模擬）復數z滿足（z+2）i=l-iM為虛數單位），則z的共朝復數的模長是（）

A.-3B.1C.2D.V10

【考點】共軻復數；復數的運算.

【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】D

【分析】利用復數乘除運算化簡，求出z和2,再根據復數模的公式求出2的模.

【解答】解：由（z+2）i=1-i,得zi+2i=l-3

._l-3t_（l-30i_.

..Z——j—==-J—

Az=-3+i,貝司=V（-3）2+1=V10.

故選：D.

【點評】本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

5.（2025?安陽二模）已知|z|=5,z+z=8,則z在復平面內的坐標是（）

A.（4,3）B.（4,-3）

C.（4,3）或（4,-3）D.（4,3）或（-4,3）

【考點】復數對應復平面中的點；共軌復數.

【專題】對應思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】C

【分析】設2=°+次（a,bER）,根據已知求出a、b可得z,再根據復數z的幾何意義可得答案.

【解答】解：設2=〃+瓦（a,b&R）,由|z|=5,z+z=8,

得-a?+爐=5,a+bi+a-bi—8,解得a=4,b—3,或a=4,b--3,

則z=4+3i,或z=4-3i,則z在復平面內的坐標是（4,3）或（4,-3）.

故選：C.

【點評】本題考查復數模的求法，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?雷州市校級期末）已知復數z在復平面對應的點為A,且」-=2+i3,則下列說

Z+1

法正確的是（）

A.z=B.|z|=，2

121

C.z的虛部為—々iD.>1（—2—2）

【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；共輾復數；復數的模.

【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】BD

【分析】利用復數的四則運算化簡復數z,利用共軌復數的定義判斷人利用復數的模長公式判斷3;

利用復數的概念判斷C；利用復數的幾何意義判斷D.

【解答］解：由W=2+，3=2-3得z=-若=->建，揶=3+i

r

故z=—+故A錯誤；

|Z|=』一芬+（_扔=孚,故2正確;

z的虛部為-故C錯誤；

由復數的幾何意義可得4（-5，-1）,故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.

（多選）7.（2024秋?迎江區(qū)校級期末）已知復數zi,Z2在復平面內對應的點分別為Zi,Z2,。為坐標原

點，貝I（）

A.z=zi+z2,則2=五+至

—>—>

B.若zi,Z2均不為0,則Iz/I=|OZ「OZ2|

C.若2=a,則|ziz2|=|ziz|

TT—>一

D.^IOZ1+OZ2]=\OZr=OZ2|,貝IJz「z2=0

【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；共軌復數.

【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，向量的坐標運算，以及向量模公式，即可求解.

【解答】解：設zi=〃+bi(〃，Z?GR),Z2=C+力(C,dER),則五=a—bi,=c—di,

對于A,z=zi+z2=(a+c)+(Z?+d)i,痣+五=(a+c)—(b+d)i,

則弓=Zi+Z2=(a+c)-(b+d)i,即，=五+手，所以A選項正確；

對于ziz2=(ac-bd)+(bc+ad)i,

—>—>—>

OZ]=(a,b),0Z2=(c,d),則OZ】?0Z2=ac+bd,

—>—>

則憶逐2|=|OZ「OZ2|不一定恒成立，所以3選項不正確;

22

對于C,\zrz2\-\z±z\=(Z1Z2)(葩)一(Z1Z)(布)

=(Z1Z2)(Z1Z2)一(Z1Z2)(AZ2)=

即|Z1Z2『一％Z|2=0,即|Z1Z2|=|Z1Z|,所以。選項正確；

—?—?—>—>

對于。，^\ozr+oz2\=\ozr-oz2\,

—>—>

即。Z「OZ2=0,Z1?Z2不一定為0,所以。選項不正確.

故選：AC.

【點評】本題主要考查復數的四則運算，向量的坐標運算，以及向量模公式，屬于基礎題.

(多選)8.(2024秋?內蒙古期末)已知復數z滿足z=l+2i,其中i為虛數單位,則下列結論正確的是()

_112

A.|z|=|z|B.-=

z33

C.z3的虛部為-2D.z2-2z+5=0

【考點】復數的實部與虛部；復數的模.

【專題】對應思想；分析法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】ACD

【分析】利用復數的運算逐項判斷即可.

【解答】解：由z—i+2i,得|z|=71+2?=V5,z—1—2i,|z|—Jl+(-2)2=V5,故A正確；

11l-2i12

z=T^I=(1+20(1-20=5-5^故B錯誤；

z3=(1+20(1+2=2=(l+2z)(-3+4力=-11-2i,則z3的虛部為-2,故C正確；

z2-2z+5=(l+2z)2-2(l+2z)+5=0,故D正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查復數的基本概念，考查復數模的求法，是基礎題.

（多選）9.（2024秋?聊城期末）已知復數z=^+l,則（）

A.z=-2-3i

B.\z\=5

C.zz=3-2i

D.z在復平面內對應的點位于第一象限

【考點】復數對應復平面中的點；共輾復數；復數的模.

【專題】對應思想；分析法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】BD

【分析】由復數的運算判斷A,C,由復數模的運算判斷C,由復數的幾何意義判斷D

【解答】解：因為2=搭+1=341—i）+l=4+3i,

所以2=4-3i,故A錯誤；|z|=5,故8正確；

zi=-3+4i,故C錯誤；z在復平面內對應的點為（4,3）,位于第一象限，故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念及復數模的求法，是基礎題.

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?連云港期末）在復平面內，復數z=l-2i的模為_有_.

【考點】復數的模.

【專題】轉化思想；轉化法；直線與圓；運算求解.

【答案】V5.

【分析】根據復數的模長公式即可求解.

【解答】解：z=l-2"

故|z|=V1+4=V5.

故答案為：V5.

【點評】本題主要考查復數的模，屬于基礎題.

11.（2025?新余校級模擬）請寫出一個非0復數z滿足z2=|z|：，+手i（答案不唯一）.

【考點】復數的模.

【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】:+當二

22

【分析】先設復數，再根據共輾復數及復數的乘法運算得出7^7形=1,即可得出復數.

【解答】解：設z=4+bi（〃，bER,a,不同時為0）,

則=a2+b2,\z\=Va2+h2,

由于zWO,所以，「2+。2=1,滿足此等式即可.

故答案為：-+（答案不唯一）?

22

【點評】本題主要考查共輾復數的定義，以及復數模公式，屬于基礎題.

12.（2024秋?上海校級期末）若復數z滿足|z+2i|=l（其中i為虛數單位），則Izl的最小值為1

【考點】復數的模.

【專題】數形結合.

【答案】見試題解答內容

【分析】由題意畫出復數z對應點的軌跡，數形結合可得答案.

【解答】解：由|z+2i|=l,得|z-（-20|=1,

復數z對應的點在以（0,-2）為圓心，以1為半徑的圓周上，如圖，

...當z=-i時其模最小，此時|z|=l.

故答案為1.

【點評】本題考查了復數模的幾何意義，考查了數形結合的解題思想方法，是基礎題.

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?浦東新區(qū)校級期中）已知復數z=3+加其中皿R.

（1）設zi=（l+3z）z,若zi是純虛數，求實數機的值；

（2）設機=-1,分別記復數z,z2在復平面上對應的點為A、B,求0A與。8的夾角大小.

【考點】復數對應復平面中的點；純虛數.

【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】(1)1;

(2)arccos

【分析】(1)由已知可得zi,根據zi是純虛數即可求解；

(2)當切=-1時求解z,z2,可得復平面上對應的點A、B的坐標，利用向量夾角公式即可求解.

【解答】解：(1)-：z=3+mi,

.".zi=(l+3z)z=(1+30(3+mi)=(3-3m)+(m+9)i,

由zi是純虛數，解得片L

(2)當m=-1時，z=3-i,則2=(3-z)2=8-6i,

可得A(3,-1),B(8,-6),

—>—>

：.0A=(3,-1),08=(8,-6),

0A-0B_3x8+(-l)X(—6)_3同

則COS<0>10B>=

\0A\\0B\VioxVToo10

.,.小與后的夾角為arccos綜即CM與OB的夾角為arccos筆^

【點評】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查運算求解能力，是基礎題.

14.(2024春?固始縣校級期末)已知i是虛數單位，復數z=(zn2-5/77+6)+(w2-2m)i,mER.

(1)當復數z為實數時，求相的值;

(2)當復數z為純虛數時，求機的值；

【考點】純虛數；虛數單位i、復數.

【專題】轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】(1)根=0或m=2；(2)m=3.

【分析】(1)由復數的概念列出方程即可求；

(2)由復數z為純虛數得到機的關系式即可求.

【解答】解：(1)???復數Z為實數，，加2-2機=0,???根=0或機=2；

(2)?.?復數z為純虛數，代-現+[=°,"=3.

【點評】本題考查復數的概念和計算能力，屬于基礎題.

15.(2024春?共和縣校級期中)在復平面內，復數z=/-q-2+(a2-3a-4)i(其中aeR).

(1)若復數z為實數，求。的值;

（2）若復數z為純虛數，求a的值.

【考點】純虛數；虛數單位i、復數.

【專題】方程思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解.

【答案】（1）。=4或a=-1；

（2）a—2.

【分析】（1）復數z為實數，貝ij/-3a-4=0,求解即可；

（2）復數z為純虛數，則｛11:二隱。，求解即可.

【解答】解：（1）復數z為實數，貝I/_3a-4=0,即a=4或a=-l；

（2）若復數z為純虛數，貝解得a=2.

【點評】本題考查了復數的概念，屬基礎題.

考點卡片

1.虛數單位i、復數

【知識點的認識】

，是數學中的虛數單位，P=-1,所以i是-1的平方根.我們把0+萬的數叫做復數，把。=0且6W0的

數叫做純虛數，aWO,且6=0叫做實數.復數的模為&12+爐.形如0+歷beR）的數叫復數，其中

a,6分別是它的實部和虛部.

2.復數的實部與虛部

【知識點的認識】

i是數學中的虛數單位，祥=-1,所以i是-1的平方根.我們把a+bi的數叫做復數，把。=0且bWO的

數叫做純虛數，且b=0叫做實數.復數的模為Va2+爐.形如a+bi（a,bER）的數叫復數，其中

a,6分別是它的實部和虛部.

【解題方法點撥】

-分解復數：通過給定的復數表達式，提取實部和虛部.

-應用：在復數運算中，分開處理實部和虛部，簡化計算過程.

【命題方向】

-實部與虛部的提取：考查如何從復數表達式中提取實部和虛部.

-實部虛部的運算：如何利用實部和虛部進行復數運算和解決問題.

若復數z=a2-3+2出的實部與虛部互為相反數，則實數a=.

解:若復數z=d-3+2出的實部與虛部互為相反數，

貝！J/-3+2a=0,解得：々=-3或°=1,

故答案為：-3或1.

3.純虛數

【知識點的認識】

形如a+瓦（a,bGR）的數叫做復數，a,6分別叫做它的實部和虛部，當。=0,6W0時，叫做純虛數.

純虛數也可以理解為非零實數與虛數單位i相乘得到的結果.

【解題方法點撥】

復數與復平面上的點是一一對飲的，這為形與數之間的相互轉化提供了一條重要思路.要完整理解復數為

純虛數的等價條件，復數z=a+瓦(a,beR)為純虛數的充要條件是a=0,bWO.

實數集和虛數集的并集是全體復數集.虛數中包含純虛數，即由純虛數構成的集合可以看成是虛數集的一

個真子集.

【命題方向】

純虛數在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現.試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點，

考察學生的基本運算能力.常見的命題角度有：(1)復數的概念；(2)復數的模；(3)復數相等的四則運

算；(4)復數在復平面內對應的點.

4.復數的代數表示法及其幾何意義

【知識點的認識】

1、復數的代數表示法

建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面.在復平面內，無軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單

位是1,y軸的單位是i,實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點(0,0),對應復數0.即復數z=a+bi-復

―>

平面內的點z(a,b)一平面向量OZ.

2、除了復數與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：

(1)\z\=\z-0|=a(a>0)表示復數z對應的點到原點的距離為a；

(2)|z-zo|表示復數z對應的點與復數z0對應的點之間的距離.

3、復數中的解題策略：

(1)證明復數是實數的策略：

①z=a+b^eR=b=O(a,bGR)；②z€Ro2=z.

(2)證明復數是純虛數的策略：

①z=a+b^為純虛數Qa=0,6W0(a,beR)；

②bWO時，z—2=2萬為純虛數；③z是純虛數=z+2=0且zWO.

5.復數對應復平面中的點

【知識點的認識】

1、復數的代數表示法

建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面.在復平面內，無軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位

是1,y軸的單位是i,實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點