2023-2024學(xué)年北京市昌平區(qū)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.(4分)己知集合4=*仇?0},B={x||x|Wl},則()

A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-8,1]

2.(4分)若p：VxG(-8,o),/-2x>0,貝廠〃為()

A.3x6(-8,o),/-2xW0B.3x6(-8,0),x2-2x>0

C.VxG(-8,o),x2-2xW0D.Vxe(-8,0),X2-2x<0

3.(4分)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

1

A.y=y/xB.y=sinxC.y=3D.y=--

/X

4.(4分)已知數(shù)列{如}的前九項(xiàng)和匕=n2一3n,則〃3+。4=()

A.1B.2C.4D.6

5.(4分)函數(shù)f(%)=-％)的最大值為()

11V2

A.-B.-C.—D.1

422

11

6.(4分)已知a,b為非零實(shí)數(shù)，貝IJ是“一<-"的()

ab

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.(4分)若點(diǎn)A(cosa,sina)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B(cos(a-》sin(a一物,則a的取值可以是()

7157r77r57

A.—B.—C.—D.—

3663

8.(4分)已知函數(shù)/(x)=logM-x+l,則不等式/(%)V0的解集是()

A.(1,2)B.(-8,1)u(2,+8)

C.(0,2)D.(0,1)U(2,+8)

9.(4分)把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來(lái)的溫度是空氣的溫度是6o℃,則他加后

液體A的溫度可由公式6=焉+(4-。0訶一°"求得.把溫度是62℃的液體A放在15c的空氣中冷

卻U液體A的溫度冷卻到51℃和27℃所用時(shí)間分別為九加九，也加〃，則￡2-九的值約為()(參考

數(shù)據(jù)歷3p1.10)

A.2.7B.3.7C.4.7D.5.7

10.(4分)已知集合人=｛(xi,X2,?xio)舊=1或0,1=1,2,10),對(duì)于集合A中的任意元素p

]

=(pi,P2,--010)和0=(磯，42,磯0),記M(p,(?)=2[(P1+Q1-\P1-Qll)+(P2+Q2-IP2-

Q2I)++(P10+Q10—IPio-Qiol)]-若集合814,Np,q￡B,均滿(mǎn)足A/(p,q)=0,則8中兀素個(gè)

數(shù)最多為()

A.10B.11C.1023D.1024

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中，角a以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以無(wú)軸正半軸為始邊，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2),

則cosa=.

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=/0。2(久+3)-2*,則/(-I)=.

13.(5分)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中對(duì)于同余問(wèn)題給出了較完整的解法，即“大衍求一術(shù)”，

也稱(chēng)“中國(guó)剩余定理，，.現(xiàn)有問(wèn)題：將正整數(shù)中，被2除余1且被3除余2的數(shù)，按由小到大的順序排

成一列，則此列數(shù)中第10項(xiàng)為.

丫3v>0

；"'若人外在R上是增函數(shù)，則。的一個(gè)取值為_(kāi)____________;

｛—X2+2a,x<a.

若/(x)在R上不具有單調(diào)性，則a的取值范圍是.

1

15.(5分)已知等差數(shù)列｛麗｝的前W項(xiàng)和為S”且S2023<52024<52022.數(shù)歹其一--｝的前"項(xiàng)和為

anan+l

給出下列四個(gè)結(jié)論：

@02023<0;

②4202202023〉4202402025;

③使Sn<0成立的n的最大值為4048；

④當(dāng)見(jiàn)=2023時(shí)，4取得最小值.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題(本大題共6小題，共85分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.(13分)已知函數(shù)/'(久)=V^sinxcosx+si/x.

(I)求/(x)的最小正周期；

3

(II)若/(X)在區(qū)間[o,河上的最大值為求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

17.(13分)已知等比數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列，其前a項(xiàng)和為S,碓=9,S3=39.

(I)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛斯-加｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列｛初｝的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和7k

18.(14分)已知函數(shù)/(x)=x3-x2,-x-1.

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若關(guān)于x的不等式，(x)-CWO在區(qū)間［-1,2］上恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

19.(15分)設(shè)函數(shù)/(%)=cosg-23%)cos0+cos2o)%s譏0(s>0,|租|<，)，其最小正周期為T(mén).

(I)若T=2m求0)的值；

(II)己知了(無(wú))在區(qū)間［金，卷］上單調(diào)遞減，/(*)=-1,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條

件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/(X)存在，求3,隼的值.

條件①：(普，0)為函數(shù)/(無(wú))圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；

條件②：函數(shù)/(無(wú))圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為力=各

條件③：《)=*

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

1

20.(15分)設(shè)函數(shù)/(%)=久(靖—2a%—

(I)若m=-1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(II)若/(%)在x=-l處取得極小值，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(III)若對(duì)任意的xeR,f(x)討(-1)恒成立，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

21.(15分)已知無(wú)窮數(shù)列｛斯｝,給出以下定義：

對(duì)于任意的在N*,都有所+帆+222斯+1,則稱(chēng)數(shù)列｛即｝為“N數(shù)列”;特別地，對(duì)于任意的W6N*,都有

an+an+2>2an+l,貝!)稱(chēng)數(shù)列｛珈｝為“嚴(yán)格T數(shù)列

(I)已知數(shù)列｛。"｝,｛加｝的前〃項(xiàng)和分別為A”,Bn,fian=2n-1,與=一2"-】，試判斷數(shù)列｛4｝,

數(shù)列｛當(dāng)｝是否為“T數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(II)證明：數(shù)列｛詞為“T數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的k,m,nGN*,當(dāng)k<m<n時(shí)，有(n

-m)ak+(m-k)即2(n-k)am”;

(III)已知數(shù)列｛加｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”，且對(duì)任意的“6N*,mCZ,M=-8,加28=-8.求數(shù)列｛為｝的

最小項(xiàng)的最大值.

2023-2024學(xué)年北京市昌平區(qū)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

題號(hào)12345678910

答案BADDBDCDBB

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.(4分)已知集合4={無(wú)仇<0},8={x||x|Wl},則AC3=()

A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-8,i]

【分析】求出集合8,利用交集定義求ACS.

【解答】解：集合A={無(wú)以WO},B={x||x|Wl}={x|-IWXWI},

則{{尤|-1WXW0}=[-1,0].

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.(4分)若p：VxE(-8,o),J?-2x>0,則-'p為()

A.(-8,o),x1-2xW0B.BxG(-0),x2-2尤>0

C.Vx￡(-8,o),x2-2x^0D.Vx￡(-8,o),/-2x<0

【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定即可求解.

【解答】解：因?yàn)閜：VxG(-8,o),x2-2x>0,

所以-'p為：3x6(-8,o),/-2xW0.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全稱(chēng)命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

3.(4分)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y-y/xB.y=sinxC.y—3D.y=--

【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得出結(jié)論.

【解答】解：由于y=F的定義域[0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不存在奇偶性，故排除A；

由于y=sinx是奇函數(shù)，在(0,+8)上不具有單調(diào)性，故排除8；

由于y=3是常函數(shù)，不具有單調(diào)性，排除C；

由于：是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.(4分)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和￡=/一3n,則<?3+。4=()

A.1B.2C.4D.6

【分析】由斯和S”的關(guān)系，求得即，可得所求和.

【解答】解：前"項(xiàng)和%="-3n,可得〃=1時(shí)，ai=Si=-2,

22

當(dāng)"N2時(shí)，an=Sn-Sn-i=n-3M-(w-1)+3(n-1)=2n-4,

上式對(duì)72=1也成立，

貝!J.3+44=6-4+8-4—6.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.(4分)函數(shù)/(X)=JxQ-x)的最大值為()

11V2

A.-B.—C.—D.1

422

【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解.

【解答】解：因?yàn)?(%)=-％)C2(x+1-x)=],當(dāng)且僅當(dāng)％=1-%,即x=2時(shí)取等號(hào),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題.

11

6.(4分)已知4,b為非零實(shí)數(shù)，貝!J"〃>/'是“一V1'的()

ab

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.

1111

【解答】解：當(dāng)。>0>/?時(shí)，一〉。〉工,所以由〃>/?得不出一〈二，

abab

1111b-a

右一〈一,則一—一=---V0,右ab<0,則b-〃>0,即a<b,

ababab

1l

所以由一V:得z不出a>b,

ab

11

所以是"一<-"的既不充分也不必要條件.

ab

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.（4分）若點(diǎn)A（cosa,sina）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B（cos（a—處sin（a—物,則a的取值可以是（）

【分析】由已知結(jié)合和差角公式及同角基本關(guān)系即可求解.

【解答】解：若點(diǎn)A（cosa,sina）關(guān)于次軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B（cos（a—》s譏（a-初,

7T71=^sa-^na,

貝(Jcosa=cos(a一號(hào))=^cosa+^ysina,sina=-sin(a—=sin(——a)CO

3

所以cosa=V3sina,即tana=孚

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.（4分）己知函數(shù)/（x）=log2x-x+1,則不等式/（無(wú)）<0的解集是（）

A.(1,2)B.(-8,1)u(2,+8)

C.(0,2)D.(0,1)U(2,+8)

【分析】分別作出y=log”的圖象與y=x-1的圖象，觀察圖象即可得解.

【解答】解：依題意，f（X）<0等價(jià)于log2X<X-1,

分別作出y=log”的圖象與y=x-1的圖象，

如圖可得不等式/（x）<0的解集是（0,1）U（2,+8）,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.

9.（4分）把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來(lái)的溫度是空氣的溫度是佻℃,則加初后

液體A的溫度0℃可由公式。=埸+(%-。0)?一0?3七求得,把溫度是62℃的液體A放在15℃的空氣中冷

卻I,液體A的溫度冷卻到51℃和27℃所用時(shí)間分別為力加〃，⑵n加，則/2-九的值約為()(參考

數(shù)據(jù)物3Pl.10)

A.2.7B.3.7C.4.7D.5.7

【分析】把81=62,0o=15,6=51代入9=M+(。1一。0)?一口丸中，求得力，把。1=62,00=15,0

=27代入6=。0+(。1一。0)?一°左中，求得⑦作差求解即可.

【解答】解：把01=62,00=15,8=51代入6=。0+(。1一。0)。一°丸中,得51=15+(62-15)/°汽

即^-。③二碧,所以-0.3/=/〃至，解得/=—學(xué)歷至,即九=—學(xué)歷任；

4/47347347

把01=62,00=15,0=27代入6=M+(%-。0元一0?3七中，得27=15+(62-15)/。汽

即春，所以-0.3%=/〃一，解得u—學(xué)歷一，即/2=—學(xué)一；

4/47347347

?.101236in1247in110in

所以t2-ti=—y-(bi——In—)=—蕓n(—X——)=—-歷一=—?dú)v3=亍xl.l=3.7.

34747347363333

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.(4分)已知集合A={(xi,xi,尤io)由=1或0,i=l,2,10),對(duì)于集合A中的任意元素p

、1

=(pi,P2,…，pio)和9=(qi,q2,…，m0),記M(p,q)=2[(Pi+Qi-IPi-Qil)+(P2+Q2-IP2-

[21)+…+(P10+q10—IPio—liol)],若集合BGA,Yp,qEB,均滿(mǎn)足M(p,q)=0,則8中兀素個(gè)

數(shù)最多為()

A.10B.11C.1023D.1024

【分析】分析可得當(dāng)Pi和qi同時(shí)為1時(shí)，(Pi+qD'Pi-qH=1,當(dāng)pi和qi至少有一個(gè)為0時(shí)，

⑺葉依)[P，二=0,要使M(p,g)=0,則2的所有元素的》(i=l,2,3,…，10)位置至多有

1個(gè)1,討論即可得到集合8的元素個(gè)數(shù)的最值.

【解答】解：依題意,對(duì)于A中元素p=(pi,P2,???,pio)和4=(qi,qi,夕10),

(Pi+Qi)-\Pi-Qi\

當(dāng)pi和qi同時(shí)為1時(shí),----------------------=14,

2

(歷+蛇)一口一如

當(dāng)pi和名至少有一個(gè)為0時(shí),

2

要使得A的一個(gè)子集5中任兩個(gè)不同元素p、鄉(xiāng)均滿(mǎn)足A/(p,q)=0,

設(shè)集合B中的元素記為(％1,X2,…，xio),

則5的所有元素的斯?(1=1,2,3,…，10)位置至多有1個(gè)1,

若Xi（i=l,2,3.???,10）位置為1,其它位置為0的元素有10個(gè)，

若方（i=l,2,3,10）全為0的有1個(gè)，

綜上B中元素最多有10+1=11個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于難題.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，角a以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以無(wú)軸正半軸為始邊，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）,

貝!Jcosa=一廖.

【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義即可得.

【解答】解：角a以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以尤軸正半軸為始邊，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）,則cosa==—得.

故答案為：一洛.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角三角函數(shù)定義，屬于基礎(chǔ)題.

1

12.（5分）已知函數(shù)/（久）=/0。2（久+3）-2工，貝1".

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求值.

【解答】解：/（-1）=/0出（-1+3）-2（7,=1-1=1.

,,……,1

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

13.（5分）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中對(duì)于同余問(wèn)題給出了較完整的解法，即“大衍求一術(shù)”，

也稱(chēng)“中國(guó)剩余定理”.現(xiàn)有問(wèn)題：將正整數(shù)中，被2除余1且被3除余2的數(shù)，按由小到大的順序排

成一列，則此列數(shù)中第10項(xiàng)為59.

【分析】被2除余1且被3除余2的數(shù)構(gòu)成公差為6的等差數(shù)列，由此即可得.

【解答】解：依題意，設(shè)a滿(mǎn)足被2除余1且被3除余2,

則a加上2和3的最小公倍數(shù)6的整數(shù)倍后也能滿(mǎn)足被2除余1且被3除余2.

設(shè)被2除余1且被3除余2的數(shù)由小到大排列而成的數(shù)列為｛圓｝,

由于被2除余1且被3除余2的最小正整數(shù)為5,

則｛詞是首項(xiàng)為5,公差為6的等差數(shù)列，所以aio=5+（10-1）X6=59.

故答案為：59.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

笫3丫fi

；一'若f(x)在R上是增函數(shù)，則a的一個(gè)取值為0(不

｛—X2+2a,x<a.

唯一)；若/(x)在R上不具有單調(diào)性，則a的取值范圍是(-8,-2)U(0,+8).

【分析】根據(jù)塞函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出了(無(wú))在R上是增函數(shù)時(shí)a的范圍，即可得第一空答案，

再用補(bǔ)集思想即可得第二空答案.

【解答】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，f(x)=/,

易知函數(shù)在［。，+°°)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<a時(shí)，f(x)=-x2+2a,

當(dāng)a>0時(shí)，

則函數(shù)在(-8,0］和m，+8)上單調(diào)遞增；在(0,a)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。=0時(shí)，則函數(shù)y=/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，要使函數(shù)/(無(wú))在R上是增函數(shù)，

則必需有一層+24忘/,

解得-2Wa<0,

綜上，當(dāng)/(x)在R上是增函數(shù)時(shí)，a&［-2,0］；

所以第一空的答案為［-2,0］中的任何一個(gè)數(shù)即可；

由以上分析可知，當(dāng)aC(-8,-2)U(0,+8)時(shí)，

函數(shù)/(x)在R上不具有單調(diào)性.

故答案為：0(不唯一')；(-8,-2)U(0,+°°).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了募函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.

1

15.(5分)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”且S2023<52024<52022.數(shù)歹式一--｝的前〃項(xiàng)和為

anan+l

給出下列四個(gè)結(jié)論：

@4/2023<0;

②a2022a2023>0202442025;

③使5?<0成立的n的最大值為4048；

④當(dāng)〃=2023時(shí)，6取得最小值.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.

【分析】由&023<&024<&022,可得ai<a2<a3<...<a2023<0<a2024<a2025<...,結(jié)合等差數(shù)列的性

質(zhì)和求和公式、數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，對(duì)四個(gè)結(jié)論判斷，可得正確結(jié)論.

【解答】解：對(duì)于①：S2024-52023=。2024>0,S2024-52022=?2024+?2023<0,

?2023<0且|。2023|>|。2024|,

由等差數(shù)列性質(zhì)可知，ai<0,公差d>0,故①正確；

對(duì)于②：由等差數(shù)列性質(zhì)和一次函數(shù)特征，412022<02023<0<42024<42025,

且|〃2023|>|。2024|,|〃2022|>|420251,即4202242023>4202442025,故②正確；

對(duì)于③：54047=4047("廣"4()47)=4047〃2024>0,54046=2023(41+Q4046)=2023(Q2023+42024)<0,

：.Sn<0成立的而數(shù)=4046,故③錯(cuò)誤：

111111111111

對(duì)于④：設(shè)bn=-------=7(——一-----)，可得Tn=7(——-——+——-——+...+-----------)=7

由d>0,3V...<。2023<0<。2024<〃2025〈...，可得〃=2023時(shí)，取得最小值，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

三、解答題(本大題共6小題，共85分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.(13分)已知函數(shù)/(%)=y/Ssinxcosx+sin2x.

(I)求/(x)的最小正周期；

3

(II)若/(x)在區(qū)間［o,加上的最大值為鼻，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【分析】(/)先利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求解；

(〃)結(jié)合正弦函數(shù)的最值的取得條件可求.

【解答】解：(I)因?yàn)?(%)=VSsinxcosx+sin2x

TT

=sin⑵飛)+

所以了(無(wú))的最小正周期

(II)由x€［0,可得2x—6日一亨一6

3

若y(x)在區(qū)間［0,河上的最大值為鼻,

則sin(2x-1)在［0,詞上的最大值為1,

所以2機(jī)一號(hào)2*,解得機(jī)2號(hào)

71

則實(shí)數(shù)相的取值范圍為g，+°°).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期公式及最值的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.(13分)已知等比數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”,及=9,53=39.

(I)求數(shù)列｛.｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛珈-加｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式及前“項(xiàng)和力,.

【分析】(I)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，可得所求；

(II)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得劭-為，進(jìn)而得到加；再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比

數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【解答】解：(I)等比數(shù)列｛板｝為遞增數(shù)列，設(shè)公比為q,其前〃項(xiàng)和為S”，碓=9,S3=39,

可得aiq=9,ai+ai4+ai/=39,

1

解得。1=4=3,或m=27,q=可(舍去)，

n

則an=3；

(II)若數(shù)列｛麗-加｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，

則劭-瓦=1+3(〃-1)=3〃-2,

可得加=3"-(3〃-2),

l+12

前〃項(xiàng)和刀尸(3+9+...+3")-(1+4+...+3?-2)=1(1+3?-2)=3-3-3n+n^

1~DLL

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列的分組求和，考查方程思想和

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.(14分)已知函數(shù)無(wú))=x3-x1-x-1.

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若關(guān)于X的不等式/(x)-CWO在區(qū)間［-1,2］上恒成立，求實(shí)數(shù)C的取值范圍.

【分析】(I)求導(dǎo)，直接利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可；

(II)由(I)的結(jié)論可得/(x)在［-1,2］上的單調(diào)性，求出函數(shù)無(wú))在［-1,2］上的最大值，即

可求解。的取值范圍.

【解答】解：(I)因?yàn)橛?X)=/-%2-X-1)所以f(X)=3尤2-lx-1,

令f(x)=0,BP3J?-2x-1=0,解得久=—4或x=l,

1i

且當(dāng)xG(―8，—亍口(］,+8)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)xE(―w，1)時(shí)，f(x)<0,

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一》和(1,+8),遞減區(qū)間為(4,1);

(II)由(I)有/(x)在［―1,—3和(1,2］上單調(diào)遞增，在(一/，1)上單調(diào)遞減，

17?

且/(一引=-27.f(2)=1,

所以/(無(wú))在［-1,2］上的最大值為/(2)=1,

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式/(x)-cWO在區(qū)間［-1,2］上恒成立，

即/(X)〈C在區(qū)間［-1,2］上恒成立，即/(X)max^C,所以

所以c的取值范圍為口，+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

19.(15分)設(shè)函數(shù)/(x)=cosg-2o)x)cos9+cos2o)xs譏(a)>0,\cp\<^),其最小正周期為T(mén).

(I)若T—2-n,求3的值；

(II)己知了(尤)在區(qū)間［金，卷］上單調(diào)遞減，/(雪)=-1,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條

件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/(%)存在，求3,(P的值.

條件①：(普，0)為函數(shù)/(無(wú))圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；

條件②：函數(shù)/(無(wú))圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為尢=各

條件③：f(T)=

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

【分析】(I)化簡(jiǎn)可得/(x)=sin(2o)x+(p),再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，即可得解；

(II)若選條件①：根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性和周期性，推出矛盾結(jié)果，可知/(x)不存在；若

選條件②：由函數(shù)的單調(diào)性與周期性可求得3=1,再利用/(碧)=-1,求解即可；若選條件③：由了

(D=/(0)=simp,求得隼=去再結(jié)合/(需)=—1及正弦函數(shù)的單調(diào)性與周期性，求出3的值即

可.

【解答】解：(I)/(%)=cos(^—2(JL)X)COS(P+cos2a)xsin(p=sin2a)xcosq)+cos2(ji)xsin(p=sin(2a)x+(p),

27r人，i

右T=2n,則—=2m解得(n=亍

2a)2

(II)由(I)知，函數(shù)/(x)的最小值為-1,

若選條件①：

因?yàn)?(無(wú))在區(qū)間比，笥上單調(diào)遞減，

~,T77r7Tn

所以一>—-一=一，即

212122

又/(碧)=—1,且(整，0)為函數(shù)/(%)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,

所以工—居—=3即7=等與7辦相矛盾,

故函數(shù)/(x)不存在.

若選條件②:

因?yàn)?(x)在區(qū)間段，笥上單調(diào)遞減，/(碧)=-1,且函數(shù)/(無(wú))圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=金,

~、7TInT

所以運(yùn)一石?即i

又T=57?所以3=1,

所以/(x)=sin(2x+cp),

,7TT,7n7n?77r

由f(豆)=-1,知f(—)=sin(2*—+(p)=-1,即sin(—+(p)=-1,

77L*2^rr^rr

所以—+5=虧+2憶7，即cp=亍+2E:,蛇Z,

6z3

又取V*,所以5=泉

綜上，3=1,(p=

若選條件③：

因?yàn)?(T)=f(0)=sin(p,且/(T)=字，

所以sin(p=享，即(p=^+2內(nèi)I,依Z或4=?+2加，左CZ

又1中1〈方所以＜P=泉

所以/(x)=sin(2o)x+^),

?7TT,77r77rTC77r77-

由/(T7)=—1，知/(一)—sin(2o)?一+—)=-1,即sin(—o)+亍)=-1,

八12，J1212363

_7TCTT21T

所以-^-0)+W=彳+2加，蛇Z,即o)二萬(wàn)—Fl,依Z,

因?yàn)?(x)在區(qū)間［各笥上單調(diào)遞減,

~T77i7in

所以一>---=-即T》TT,

212122

2TT

又7=乎，所以0<3Wl,

ZC0

取k=0,則a)=l,

綜上,3=1,(p=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的圖象與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

1

20.(15分)設(shè)函數(shù)/(x)=久(短—2mx—m).

(I)若m=-1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(II)若/(X)在x=-l處取得極小值，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(III)若對(duì)任意的XCR,尤)^/(-1)恒成立，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

【分析】(I)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；

(II)先求出/(X),再對(duì)初分情況討論，結(jié)合/(尤)的正負(fù)得到了(X)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷了(X)

的極值；

(IID利用(II)中結(jié)論直接求解.

【解答】解：(I)若機(jī)=-L/(x)=xeK+^x2+x,

則，(x)=(x+1)e^+x+l—(x+1)(e*+l),

所以/(0)=0,f(0)=2,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x；

(II)函數(shù)/'(久)=xex—ymx2—mx,xGR,

則/(x)=(x+1)(，-加)，

①若加WO,/-m>0,

當(dāng)衽(-8,-1)時(shí)，x+l<0,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(-1,+8)時(shí)，x+l>0,f'(無(wú))>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以/(無(wú))在x=-1處取得極小值，

②若加>0,令f(X)=0,得天=-1或了=歷"2,

1

若lnm<-1,即0OnV/

當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與/(%)的變化如下表：

X(-8,Inm)Inm(Inm,-1)-1(-h+8)

f(X)+0-0+

/（X）遞增極大值遞減極小值遞增

所以了（%）在（-8,Inm）,（-1,+8）上單調(diào)遞增，在Qlnm,-1）上單調(diào)遞減，

所以/（%）在x=-1處取得極小值，

1

右1rlmN-1,即zn>

當(dāng)xE（-8,-i）時(shí)，x+i<0,/-m<e1-

所以/（x）>0,/（x）單調(diào)遞增，

所以％=-1不是f（x）的極小值點(diǎn)，

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（-8,1）;

（III）（-8,0].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題.

21.（15分）已知無(wú)窮數(shù)列｛斯｝,給出以下定義：

對(duì)于任意的〃6N*,都有劭+斯+222如+1,則稱(chēng)數(shù)列｛斯｝為“T數(shù)列”;特別地,對(duì)于任意的“CN*,都有

an+an+2>2an+l,則稱(chēng)數(shù)列｛斯｝為“嚴(yán)格T數(shù)列

711

（I）已知數(shù)列｛麗｝,｛加｝的前〃項(xiàng)和分別為A”,Bn,且斯=2〃-1,bn=-2-,試判斷數(shù)列｛4｝,

數(shù)列｛B”｝是否為“T數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（II）證明：數(shù)列｛詞為“T數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的k,m,71GN*,當(dāng)k<m<n時(shí)，有（咒

-m）ak+Gn-k）珈2（w-k）麗”；

（III）已知數(shù)列｛加｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”，且對(duì)任意的讓N*,加6Z,加=-8,bi28=-8,求數(shù)列｛為｝的

最小項(xiàng)的最大值.

【分析】（1）根據(jù)等差等比的求和公式可得4n=創(chuàng)萼3=聲，1^=一胃=1一2%即可利用

定義以及作差法求解.

（2）利用累加法，結(jié)合放縮法可得Cln~Clm^（〃-機(jī)）（。加+1-。勿），Clm-ClkW（徵-左）（dmdm-1）>即

可求證必要性，取機(jī)=女+1,〃=k+2即可求證充分性.

（3）根據(jù)定義可得｛Cn｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且CnEZ,進(jìn)而得加28-加=C127+C126+…+C1=O,即可根據(jù)｛員｝

單調(diào)性得最小值為源，結(jié)合放縮法和等差求和公式可得，即可求解.

【解答】解：（1）由于an=2n-1為等差數(shù)列，所以4n=（1+271）九=九2,.=—2^】為等比數(shù)歹U，

222

任意的wEN”，