2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華僑中學(xué)等三校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合A=｛劍一3W1<1｝，1=｛訓(xùn)劍<2｝,則4nB=（）

A.｛劍一2WW1｝B.｛引0W力<1｝C.｛劍一3W/W2｝D.｛劍1</<2｝

2.下列結(jié)論正確的是（）

A.若Q〉b，則QC〉beB.若Q〉b，則

ab

c.若加2〉兒2,則Q〉bD.若a〉b，則。2〉肥

3.設(shè)函數(shù)/⑵=[匯；]，則/（痔））=（）

I4JLy,eb14：

A.逛B.C.y/2D.-1

22V/

4.下列函數(shù)最小值為4的是（）

A.?；=x+1B.〃=/+!C.y=\x+4：\D.g=（i+4日

5.函數(shù)/（工）=/叫的圖象大致為（）

+1

6.若關(guān)于x的不等式（加+2）/—（加+2）/+2〉0的解集為五，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.[—2,6）B.（6,+oo）C.（—2,6]D,[—2,6]

7.已知a>0,b>0,且a+2b=2,若3t2—/+3恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是（）

ab

2244

A.[一牙1]B.C.[---,1]D.[-1,-]

OOuO

8.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.他和阿基米德、牛頓并列為

世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)立e_R，用陽表示不超過的最大整數(shù)，則稱?/=團(tuán)

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為高斯函數(shù).例如，[—2,6]=—3,[1,2]=1,已知函數(shù)/(c)=;rf(，20),則函數(shù)沙=[/(/)]的值域為

TC?Z/~|Z

()

17

A.{引0<沙<3}B.{y\-C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列命題正確的是()

A.已知集合”={0,1},則滿足條件"UN=刊的集合N的個數(shù)為3

B.已知集合4={0,2a+l,a2+3a+l},若—leA,則實數(shù)a=—2

C.命題“五eA,的否定是“V/eA,或/⑶>2"

D.設(shè)a,b&R,貝|J"a#o”是“a屏0”的必要不充分條件

10.己知/(/)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，/(2)=/一2，^+b+1.則下列說法正確的是()

A.b=—1

B.當(dāng)/<0時，/(x)=—X2—2\/^x

C.若/(￡)在[位,旬(0<m<n)上單調(diào)遞減,則/⑺在[-%一河上有最大值一??+2y/n

D.若g(a;)=/(2)+2,g^-m)=-5,則g(m)=7

11.已知集合A={例〃2,…，aj是由〉3)個正整數(shù)組成的集合，如果任意去掉其中一個元素

出(1=1,2,…，㈤之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所

有元素之和相等，就稱集合/為“可分集合”.()

A.{1,2,3,4}不是“可分集合”

B.{1,3,5,7,9,11,13}是“可分集合”

C.四個元素的集合4={旬〃2,(13,&4}可能是“可分集合”

D.五個元素的集合4={旬,。2,。3,04,(15}不是"可分集合"

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數(shù)"=正I的定義域是.

X

13.已知函數(shù)沙=(a2—a+l)/+2為幕函數(shù)，且其圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a=.

14.設(shè)/(乃是定義域為(一oo,0)U(0,+oo),滿足/(/)+/(—c)=0,若對任意的①1,政e(-00,0),都有

不等式為“22)一灰/(為)<0成立，且/(—2)=0,則不等式/(工)<0解集是.

Xi-X2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.（本小題13分）

已知全集U=R>集合A={rc|x2-4a;+30},B={a;|2<a:<4},C={劍2a<i<a+2}且C非空

集合.

（1）分別求4nB,AU（C（/B）；

（2）若2e。是a；eB的充分不必要條件，求。的取值范圍.

16.（本小題15分）

4

已知函數(shù)/Q）

X

（1）判斷f⑸的奇偶性并加以證明；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明：/（立）在區(qū)間（0,+oo）上單調(diào)遞增；

（3）解不等式：f（x-5）<3.

17.（本小題15分）

師大附中考入北大的學(xué)生李聰畢業(yè)后幫助某地打造“生態(tài)果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水

果樹，增加產(chǎn)量，提高收入，調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：此珍稀水果樹的單株產(chǎn)量卬（單位：千克）與投入的成本302（

3x2+—,0rr2,

§已知這種水果的市場售價為10元/千克，且供

oZiX

----+力，2<力（5.

{力+1

不應(yīng)求.水果樹單株獲得的利潤為/（，）（單位：元）.

（1）求/（2）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)投入成本為多少時，該水果樹單株獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

18.（本小題17分）

已知二次函數(shù)f⑺=x2-2ax+5.

⑴若/⑶<0的解集為（1,6）,求a+6的值；

（2）若函數(shù)“乃的定義域和值域均為［1,a］（a〉1）,求實數(shù)a的值;

⑶若函數(shù)在區(qū)間（—00,2］上單調(diào)遞減，且對任意的3,?e總有|/（叼）—/（班）|<3成立,

求實數(shù)。的取值范圍.

19.（本小題17分）

已知函數(shù)/儂），對于任意的x,y&R,都有/（，+"）=/⑶+/（9），當(dāng)c〉0時，/⑶<0,且/⑴=—；.

⑴求/（0），/（3）的值;

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(2)求函數(shù)/(2)在區(qū)間［一6,8］上的值域；

⑶設(shè)函數(shù)次為=/(/—*—2/(陽)，若方程9僅)=0有4個不同的解,求機(jī)的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:己知集合&={引-3W/W1},B={訓(xùn)同<2}={可―2</<2},

則4nB={1—24,41},

故選：A.

2為絕對值不等式的解集，根據(jù)絕對值的意義解出，再求交集即可.

本題考查絕對值不等式的解法和集合的交集，較簡單.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】

解：對于/選項，若a〉b，c=0時，ac=bc<故/選項錯誤；

對于3選項，當(dāng)a〉0,b<0時，->故2選項錯誤；

a0

對于C選項，?.?砒2〉兒2,即（a-匕）。2>0且02>0，

：.a-b>0,即a〉b,故。選項正確；

22

對于。選項，當(dāng)a=l,b=—2時，a<fc>故。選項錯誤.

故答案選C.

3.【答案】A

【解析】解：設(shè)函數(shù)/（/）=（嚴(yán)'。；，；1,，

I2（力一1）,力21

則痔）=2（》）=：

所以〃痔））=/（；）=占彳，.

故選：A.

根據(jù)分段函數(shù)解析式直接代入求值即可得答案.

本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

第5頁，共14頁

【解析】解：對于4當(dāng)二>0時，y^-^2\X--=4>當(dāng)且僅當(dāng)c=2時，取等號.

=xx\x

4

當(dāng)工<0時，函數(shù)沙=z+-的值為負(fù)數(shù)，因此函數(shù)不可能有最小值為4,故/項不正確；

x

對于3,由于小〉o,可得+22213=4，當(dāng)且僅當(dāng)立=±2時，取等號，故8項正確；

對于C,當(dāng)立=一4時，函數(shù)g=|2+4］的最小值為0,故。項不正確；

對于。，當(dāng)/=—4時，函數(shù)沙=(2+4)2的最小值為0,故。項不正確.

故選：B.

根據(jù)基本不等式以及取等號的條件，判斷出“、3兩項的正誤；根據(jù)絕對值的性質(zhì)，判斷出。項的正誤；根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出。項的正誤，即可得到本題的答案.

本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)與絕對值的性質(zhì)等知識，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：/(-乃=/>=毋\=/(,),則/(2)是偶函數(shù)，排除8,D,

當(dāng)工〉0時,/(/)〉0,排除C,

故選：A.

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用當(dāng)，>0時，/(x)>0進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和對稱性，利用排除法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)

題.

6.【答案】A

【解析】解：m+2=0時，m=-2,不等式(6+2)/-(m+2)/+2〉0化為2>0,解集為R；

(m+2>0

機(jī)+2?0時，應(yīng)滿足</°,明,仆，解得一2<m<6；

IA=(m+2)2-4x2x((m+2)<0

綜上，實數(shù)機(jī)的取值范圍是{刈-2(機(jī)<6},即為［—2,6).

故選：A.

討論m+2=0和機(jī)+2#0時，分別求出不等式的解集為R時實數(shù)m的取值范圍即可.

本題考查了不等式恒成立的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：因為。+?=2+空盤=。+:+224,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=(時，等號成立，

ababab3

因為3/—力(色+，恒成立，所以3/—1W4,即網(wǎng)一4)(力+1)(0,

ab

第6頁，共14頁

44

解得—即實數(shù)，的取值范圍是［—1,/

OO

故選：D.

利用基本不等式求出9+3的最小值，從而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的不等式，求解即可.

ab

本題主要考查不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，考查基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：因為/（乃=中=二+2=5+中（'2°）'

當(dāng)時，軟+222,則蘭^e（0,3］,所以:+二

17

即/⑸e百/所以片［/（嘲的值域為{0J2,3}.

故選：D.

16

變換得到/（乃=9+二\儂》0）,確定/（2）的值域，計算得到答案.

本題考查了求函數(shù)的值域應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：因為集合“={0」},當(dāng)MUN=M時，NCM,此時N=0,{1},{0}.{0,1}共4個,

/錯誤；

集合A={0,2a+1,a2+3a+1},若一1GA,則2a+1=—1或a2+3a+1=—1,

所以a=—1或a=—2,

當(dāng)a=—1時，4={0,-1,-1}與集合元素互異性矛盾，

故a=—2,B正確；

BxeR,1</（乃<2的否定是veR，/Q）W1或/（，）〉2,c正確;

當(dāng)a#0時，也可能為0,即充分性不成立，當(dāng)質(zhì)壬0時，a#0,即必要性成立，

所以a#0”是“ab#0”的必要不充分條件，。正確.

故選：BCD.

結(jié)合集合的并集運算檢驗選項N,結(jié)合元素與集合關(guān)系檢驗選項8,結(jié)合存在量詞命題的否定檢驗選項C,

結(jié)合充分必要條件檢驗選項D即可求解.

本題主要考查了集合的基本運算，元素與集合關(guān)系，存在量詞命題的否定，充分必要條件的判斷，屬于基

礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

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【解析】解：對于/選項，因為/(，)是定義在R上的奇函數(shù)，/(0)=0,

當(dāng)時，/(re)=x2-+b+l,

所以/(O)=b+l=0,解得b=—1,所以/選項正確.

對于3選項，當(dāng)/<0時，一立>0,

因為/(，)是奇函數(shù),所以/3)=-/(—0,

當(dāng)/?0時，f(x)=x2-1\/x，則/(—2)=(—X)2-2-/-^—x2—2y/^x，

所以當(dāng)a?<0時，/(c)=—/(—2)=—(/—2，^)=—/+2，^,所以2選項錯誤.

對于C選項，因為/(2)在［/n,n|(0<wi<n)上單調(diào)遞減，

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，/Q)在［-a-刈上單調(diào)遞減，/(/)在［-%-加上有最大值/(一切，

當(dāng)時，f(x)=x2-2y/x,當(dāng),<0時，/(①)=-/+2，^,

所以/(-n)=—f(n)=-(/-2Vn)=-n2+2訴，所以C選項正確.

對于。選項，因為g(2)=〃c)+2,g｛-m)=/(-m)+2=-5,

因為/(2)是奇函數(shù),所以/(—加)=-f(m),

則—/(加)+2=—5,可得〃加)=7,

所以g(機(jī))=/(6)+2=7+2=9,所以。選項錯誤.

故選：AC.

對于《選項，利用奇函數(shù)/(0)=0來確定6的值；對于3選項，根據(jù)奇函數(shù)定義求出z<0時〃①)的表達(dá)

式；對于C選項，利用奇函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)；對于。選項，結(jié)合gQ)與/(/)的關(guān)系以及奇函數(shù)性質(zhì)求解.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4去掉3后，｛1,2,4｝不滿足定義，｛1,2,3,4｝不是“可分集合”，/正確;

對于B,集合｛1,3,5,7,9,11,13｝所有元素之和為49,

當(dāng)去掉元素1時,剩下的元素之和為48,集合｛3,5,7,9｝與｛11,13｝的元素和相等,符合題意;

當(dāng)去掉元素3時,剩下的元素之和為46,集合｛1,9,13｝與｛5,7.11｝的元素和相等,符合題意;

當(dāng)去掉元素5時,剩下的元素之和為44,集合｛1,3,7,11｝與｛9,13｝的元素和相等,符合題意;

當(dāng)去掉元素7時,剩下的元素之和為42,集合｛1,9,11｝與｛3,5,13｝的元素和相等,符合題意;

當(dāng)去掉元素9時,剩下的元素之和為40,集合｛1,3,5,11｝與｛7,13｝的元素和相等,符合題意;

當(dāng)去掉元素11時，剩下的元素之和為38,集合｛3,7,9｝與｛1,5,13｝的元素和相等,符合題意;

當(dāng)去掉元素13時，剩下的元素之和為36,集合口,3,5,9｝與｛7,11｝的元素和相等,符合題意;

第8頁，共14頁

因此集合｛1,3,5,7,9,11,13｝是“可分集合”，8正確；

對于C,不妨設(shè)<&2<&3<（Z4,去掉即，則。2+。3=。4,去掉&2,則&1+。3=。4,

于是。1=。2,與。1<&2矛盾，

因此4=｛向,。2,。3,。4｝一定不是“可分集合”，。錯誤；

對于。，不妨設(shè)0<向<。2<。3<&4<05，

若去掉元素例，將集合｛a2,a3,a4,05｝分成兩個交集為空集的子集，

且兩個子集元素之和相等，則有。2+。5=&3+。4，或者。5=。2+。3+。4②，

若去掉元素02,將集合｛（21,a3,a4,。5｝分成兩個交集為空集的子集，

且兩個子集元素之和相等，則有?+。5=。3+③，或者q5=ai+a3+a4@,

由①③或②④得旬=。2,矛盾；

由①④或②③得電+&2=0,矛盾，

因此集合4=｛%。2"3,&4,05｝不是“可分集合”，。正確.

故選：ABD.

根據(jù)給定條件，利用“可分集合”的定義逐項分析判斷即得.

本題主要考查了集合中的新定義問題，考查了元素與集合的關(guān)系，屬于中檔題.

12.【答案】［—1,0）U（0,+00）

【解析】解：要使函數(shù)有意義，須1

I力刈

解得力》一1且I#0

二函數(shù)沙=①王工的定義域是［—1,0）U（0,+00）.

X

故答案為［—1,0）U（0,+00）.

根據(jù)影響定義域的因素知，分母不為零，且被開方式非負(fù)，即1,解此不等式組即可求得函數(shù)的

定義域.

此題是個基礎(chǔ)題.考查函數(shù)定義域及其求法，注意影響函數(shù)定義域的因素有：分母不等于零，偶次方根的

被開方式非負(fù)，對數(shù)的真數(shù)大于零等.

13.【答案】1

【解析】解：因為函數(shù)沙=（a?—&+1）/+2為幕函數(shù)，

所以a2—a+l=l,

解得a=0或a=1>

當(dāng)a=0時，沙=/為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于/軸對稱而非原點對稱，故a=0不符合題意，

第9頁，共14頁

當(dāng)a=l時，沙=/是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點對稱，故a=1滿足題意.

故答案為：1.

由幕函數(shù)的定義求出參數(shù)a,然后檢驗函數(shù)是否是奇函數(shù)即可得解.

本題主要考查了事函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(―2,0)U(2,+8)

【解析】解：/(2)是定義域為(—oo,0)U(0,+oo),關(guān)于原點對稱，

又/⑶+/(—*=0,所以/(乃是奇函數(shù)，

因為也㈣二應(yīng)@<o3,/2e(—oo,0),

XI-①2

設(shè)立1<X2,則Xi-X2<0,

所以—6/(①1)〉0，

所以庭2〉以也，

X2X1

令次為=/，則gQ)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

X

又0(—為=止@=二/1@=2=江乃，

—X—XX

所以g(c)在(—oo,0)U(0,+oo)上為偶函數(shù)，

所以g@)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

。⑵=g(—2)=：)=0,

一/

所以當(dāng)7e(—00,-2)時，g⑺=3<0,則/⑵〉0,

X

當(dāng)26(—2,0)時，gQ)=@>0,則/儂)<0,

X

當(dāng)，e(0,2)時,g⑸=但〉0,則/(乃>0,

X

當(dāng)/e(2,+oo)時，。儂)=@<0,則/(工)<0,

X

所以/(勸<0解集是/C(―2,0)u(2,+oo).

故答案為：(—2,0)U(2,+8).

由已知/(2)是奇函數(shù)，由<0,設(shè)21<22,可得庭2>莊D,令。(為=9,則9磔)

Xi—X2X2XiX

在(—8,0)上單調(diào)遞增，可得9(2)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，又g(2)=g(—2)=±3=0,即可解得不等式

一2

/⑶<0解集.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

第10頁，共14頁

15.【答案】解：⑴A={x\x2—4①+3W0}={劍1W力〈3},

又5={劍2</<4},所以={引出《2或224},

故AG5={x\2</<3},AU=[x\x&3或力24}；

(2)因為/ec是/eg的充分不必要條件，故。是5的真子集，C非空，

2Q<a+2

故(2<2a，故1<Q<2.

4>a+2

【解析】(1)求出集合N后可得4C3,AU(CuB).

(2)根據(jù)條件關(guān)系可得集合的包含關(guān)系，從而可得參數(shù)的取值范圍.

本題主要考查了集合的交集，并集及補(bǔ)集運算，還考查了充分必要條件與集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

16.【答案】解：(1)/3)為奇函數(shù)，證明如下:

函數(shù)的定義域為{x\x\/Q},

44

又/(—2)=-x----=-x+-=-/(x),

—XX

所以/(/)為奇函數(shù)；

(2)證明：設(shè)0<61<力2，

則/(^1)-“劣2)=的一W-(/2—2)=優(yōu)1一72+(W-W)=3—12+4(———),

力1/2力2力162

因為61一22<0，力1/2>0,

所以/(力1)一/(12)=X1-X2-{-4(———)<0,即/(為)</(“2)，

力1比2

所以/(/)在區(qū)間(0,+00)上單調(diào)遞增；

4

(3)由題意可得，/(力-5)=/一5------<3,

x—5

所以原不等式等價于@—5)2—3Q—5)—4<0,

x—5

即(x-5)(/-4)(y-9)<0,解得，<4或5<x<9,

所以不等式的解集為{工忸<4或5<re<9}.

【解析】(1)結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；

(2)設(shè)0<的<x2,然后利用作差法比較〃的)與/(物)的大小即可判斷；

(3)先對已知不等式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合高次不等式的求法即可求解.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的判斷，還考查了高次不等式的求解，屬于中檔題.

第H頁，共14頁

30/2—30力———,0W/(2

17.【答案】解：(1)由題意可知:/㈤=案卬⑺一3Cte=<O

3201

----—20rc,2</W5

力+1

oQdU

301—30力~\———,0〈力W2

o

(2)由(1)可知:/())=

3207…c

------20a;,2</<5

若0WZ(2,則/(c)=30/—30/+磬，可知其圖象開口向上，對稱軸為/=：,

此時/(2)的最大值為〃2)=繆；

O

320r16/布一

若2<a?<5,則/(a；)=——--20/=340-20［(?+1)+——-］4340-20x2x(x+1)-----=180,

X|1X|1yX|1

當(dāng)且僅當(dāng)力+1=工7,即7=3時，等號成立，

此時/(2)的最大值為/(3)=180；

又因為180>券，可知/(乃的最大值為負(fù)3)=180,

所以當(dāng)投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是180元.

【解析】⑴由題意可知：/(2)=10WQ)-3(te,結(jié)合題意代入運算即可；

(2)分0(2W2和2<2W5,結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式求最大值.

本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：⑴不等式/⑶<0,即/_2*+5<0，

由不等式的解集為(Lb),所以［:

I1X0—0

解得a=3,b=5,所以a+b=8；

⑵因為函數(shù)/(2)=/—2M+5是二次函數(shù)，圖象開口向上，對稱軸為工=a>l,

所以/Q)在定義域［1,a］上單調(diào)遞減，

所以最大值為/(MmM=AD=6—2a=a,最小值為/(吸向=/(a)=5—(?=1,解得a=2；

(3)因為函數(shù)/(a;)=x2-2ax+5的對稱軸為/=a,單調(diào)減區(qū)間為(-oo,a］,

若/(立)在區(qū)間(一處2］上單調(diào)遞減，則a22,所以+—a|=l,

所以對任意的3,22C總有|/(叫)一/(灰)|<3成立，只需|/(a)-/⑴|(3即可，

即|(a2-2a2+5)-(1-2a+5)|=|a2-2a+l|=(a-l)23.

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解得-通Wa-14通，即l-\/^Wa<l+g，

又因為a22,所以實數(shù)a的取值范圍是｛a|2WaWl+四｝.

【解析】(1)由不等式/Q)<0的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a、b,再計算a+b；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判