2024-2025學(xué)年廣東省廣州市天河外國語學(xué)校高一（下）3月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若｛瓦，可｝是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（）

A.｛可一瓦，逐一耳｝B.｛2可一石，瓦＞一：/｝

C.｛2葭—3否,6宙—4可｝D.｛否+可聞+3砧

2.如圖所示，已知AD,BE分別為△ABC的邊BC,AC上的中線，AD=a，BE=

b，則反5=（）

42T

T+b

AR.3-a3-

2T4T

a+b

c3-3-

24

Tb

3-a-3-

2、4T

D.-|a+p

3.平面向量2萬滿足I初=，1石=—23|=YTL貝囁在另上投影向量為（）

A.（1,73）B.（苧，苧）D.哼,今

4.冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化

風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊筆畫都有

固定的角度，比如在彎折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150。等特殊角度下,為了判斷“冬”的

彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點繪制了△ABD,測得2B=5,BD=6,AC=4,AD=

3,若點C恰好在邊8。上，請幫忙計算sinzac。的值（）

B5

9-

5.在△ABC中角/、B、C所對邊a、b、c滿足a=c-2acosB,c=5,3a=2b,貝仿=()

A.4B.5C.6D.6或三

6.已知3為單位向量，向量2滿足方京=2,\a-Ae\=1,則同的最大值為（）

A.1B.2C.<5D.4

7.我們定義：”之義族”為向量江與向量石的“外積”，若向量旨與向量前勺夾角為0,它的長度規(guī)定|Nx

b\^\a\-\b\sind,現(xiàn)已知：在△ABC中，若|屈+前|=1,|方+方|=2,則|屈x而|的最大值為

（）

A-BD

-3!1

8.已知凸四邊形力BCD內(nèi)接于圓。，4ABD=24CBD,第=管，則穿的最大值為（）

c472

A邛B?容D與

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下面給出的關(guān)系式中，正確的是（）

A.0-a=0B.a-b=b-a

C.(a-b)-c=a-(b-c)D.a2=|a|2

10.正方形ABC。的邊長為2,E是8c中點，如圖，點P是以力B為直徑的半圓上任

意點，AP=XAD+iiAE，貝1k）

A.4最大值為2

B.〃最大值為1

C.AP■標(biāo)最大值是2

D.AP-荏最大值是6+2

11.已知△HBC三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若（、序c—2as譏B）s譏C=，文bsinB—asMA）,

則下列選項正確的是（）

—

A.cosZcosC的取值范圍是（不彳）

B.若。是AC邊上的一點，且詼=2瓦?,BD=2,則△ABC的面積的最大值為當(dāng)

C.若三角形2BC是銳角三角形，貝哈的取值范圍是?,2）

D.若。是△ABC的外心，OB=m^A+n0C,則根+九6[—2,1）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1

12.已知點4（3,2）,B（-l,-1）,若點PG—會在線段AB的中垂線上，貝以=

13.已知是。坐標(biāo)原點，A(1,-3),B(4,-},C(2a-l,a+2),若點C滿足瓦?=cos2。?Ul+?甌

則a的值為.

14.已知點P為△力BC內(nèi)一點，PC=2,PB=3,AC=4,AB=5,則阮?巨？=

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量8=(3,2),b=(x,—1).

(1)當(dāng)0+2取1(22一均，且x>0時，求口一??；

(2)當(dāng)5=(-8,-1),方〃@+3),求向量江與月的夾角a.

16.(本小題15分)

已知，m=(yT3sina)x,cosa)x'),元=(COSQV,—cosa>x)(3>0,xeR),/(x)=m-n--,且/'(久)的圖象上

相鄰兩條對稱軸之間的距離為最

(1)求函數(shù)/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若銳角ATIBC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且6=，可，/(B)=0,求AABC面積的取值范

圍.

17.(本小題15分)

在梯形4BCD中，AB=2DC,AE=^B,\~BC\=3,P為梯形ABC。所在平面上一點，且滿足4麗=同+

PB,DA-~CB=\DA\-\DP\,Q為邊力D上的一個動點.

(1)求證：2麗=而；

(2)|而|的最小值.

18.(本小題17分)

在斜△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若as譏2C+ccosZ=b,且cosB=機(jī)

(1)求sin4；

(2)若點M為AC中點，且BM=1,求△ABC的面積.

19.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于非零向量五=(久口為)，b=(x2,y2),定義這兩個向量的“相離度”為

。一%

d(a,b)=1%22yli容易知道五I平行的充要條件為我方花)=o.

(1)已知五=(1,2),b=(4,-2),求d何方);

(2)①已知匕族的夾角為仇和口胃的夾角為。2,證明：d(afb)=d0,辦的充分必要條件是s譏%=sind2；

②在△ABC中，AB=2,AC=4,角力的平分線2D與BC交于點D,且AD=$若方+而+而=6,求

d(PX,PB).

參考答案

1.D

2.5

3.C

4.4

5.C

6.C

1.D

8.D

9.ABD

IQ.BCD

ll.BCD

12.，

4

13.-13

14.2

15.解:(1)v(a+2b)1(2a-b)o(a+26)-(2a-K)=0,

a+2b=(3+2x,0),2a-b=(6-%,5),(3+2x)(6-x)+0x5=0,解得x=6或一區(qū)舍去),

a-b=(-3,3),

：.\a-b\=J(-3)2+32=372；

(2)?,-&+?=(x-8,-2),a//(b+c),

???3x(-2)-2(%-8)=0,解得x=5,3=(5,-1),

a-B3x5+2x(-l)13A<2

?"°g麗=逅蘆丁'

aG[0,7r],

7T

???a=

4

16.解：(1)已知記=(V~^si7i3%,cos3%),n=(cosa)x,—cosoox^a)>0,xER),/(%)=m-n-

貝療(%)=yJ~3sin(joxcos(jox—cos2tox—1=^sm2a)x—|cos2cox—1=sin(2cox一卷)一1,

由/(%)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為3

有T=芋=7T,

2a）

得3=If

所以/(%)=sin(2x-^)-1,

令—~+2kji<2%—gg+2k.TT(kGZ),

262

解得一+MrW%W(+k?i(k6Z),

所以函數(shù)f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一名+k*+k7](keZ).

(2)已知/(B)=sin(2B-1=0,

由86(01),

得

由正弦定理=-T-T,=-T-T=普=2,

sinAsinesinB衛(wèi)

2

得a=2sinA,c=2sinC,

貝USAABC=^cccsinB—yTSsinAsinC—>J~3sinAsm(---X)=^sinAcosA+苧sir^Z

3..>/-3).y/~3y/~3..it、、y/~3

=-sino2A--cos2A+—=—sm(,2A--)+—,

又△ABC是銳角三角形，

(0<A<^

則c2-4n,

I0<y-X<-

加曙),24一盜管片),

貝Usin(2AY)e

所以SMBC=?sin（24_看）+.e（等苧

即4ABC面積的取值范圍是（苧,孚］.

Z4

17.

(1)證明：會在瞬ABCO中，AB=2nC,AE=3,P為梯形ABCO所在三面上一點，且滿足

4DP=PA+PB.DACB^\DA\-\DP\,

3PA,PB.

-.AE=EB.

：.PA+PB=2PE.

由N+謁+=

得4涼=PA+PB=2PE.

即2涼=PE.

(2)^:-.-AB=2DC,AE=EB,

：.DC=EB.

則四邊形DEBC為平行四邊形，

則DE//CB,

則(BZCB)=NADE,DE=CB=3.

由五?.蘇=|曲?|蘇I，

得cosNADE-|FX|?|癌|=\DA\■|PP|,

cosNADE=-f

sinZ.ADE=-(百產(chǎn)=j，

由2加=》，

-->1--)

得|DP|=q|BC|,

*5

即OP=^BC=1,

所以|PQImin=DP?sinZADE=1x—

?5j?5.

18.

辮：(1)因為QSin2C+ccos4=b,

由可得：sinAsin2C+sinCcosA=sinB=sinAcosC4-cosAsinCf

所以2sin4sinCeosC=sinAcosC,

因為cosC#0,sinA0,

所以sinC=],而Cw(0,7r),

所以C=即或1，

oo

當(dāng)。=警時，因為cosB=：<cos：,

676

所以B>/此時B+C>-不符合條件;

所以。=1，因為8sB=:，

07

所以sinB=今色,

、13

所以sin4=sinBcosC+sinCcosB=—

14

(2)因為點M為47中點，且BAf=1,

因為2麗？=BC+BA,所以向A^BC2+BA+2BC-BA=BC2+次+2|BC|.|E4|cosB,

即4=a2+c2+2acx—,

7

ac

由IE年理可得:4.

葭S

sinm

c

即

可13

上-Q=Tc

1

13-

U2

w

所13c

13-++2X一

=(7c27XCXy,解得C2

所以S/3=2"sinB=彳x

19.

解：（1）因為言=（1,2）,了=（4,一2）,

由向量的相離度定義，dCa,~b）=以鱉子

則d(羽)=.1“(-…q_=10

S+22X”+(—2)2&X2巡

(2)①1正明：因為COS?(言，小+濯(￡7)

(工產(chǎn)2+%的產(chǎn)|(工做一工2%)2

(工；+V?)?(考+1/2)(??+!/?)*(為+或)

工；名+蠟點+短城+為力]

(d+Vi)-(xl+vl)

且以言,了)》0,sin〈M,N>€[0,司，

則4/2(言,了)=1—cos2(^,b)—sin2G1),

所以d(H,b)=sin(亡b).

若d(M,b)=d(M,7)，N)=sin(2,7)，即sin4=sin%

所以d(NN)=d(M,7)的充分必要條件是sin4=sin/；

②因為角力的平分線4。與BC交于點O.

則黑=妾=:，即C0=2B0,

02-/AC2

[筋+害

o?S

---->24---->21----y24---->---->

可得AO=gAB+守4。+gAB-AC.

即竽