微分與積分原理概括歡迎來到微分與積分原理概括課程！本課程將帶領(lǐng)大家系統(tǒng)地了解微積分的基本概念、核心原理以及實際應(yīng)用，從歷史淵源到現(xiàn)代應(yīng)用，全面展示這一數(shù)學(xué)分支的魅力與重要性。微積分作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它不僅是一套精巧的數(shù)學(xué)工具，更是理解自然界變化規(guī)律的關(guān)鍵鑰匙。無論是物理學(xué)中的運動規(guī)律，還是經(jīng)濟學(xué)中的最優(yōu)化問題，微積分都扮演著不可替代的角色。課件目錄微積分概要了解微積分的歷史背景、基本思想及其在現(xiàn)代科學(xué)中的重要地位微分基礎(chǔ)掌握導(dǎo)數(shù)概念、求導(dǎo)法則以及微分在實際問題中的應(yīng)用積分基礎(chǔ)學(xué)習(xí)定積分與不定積分的概念、計算方法及其幾何意義應(yīng)用案例探索微積分在物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域的具體應(yīng)用經(jīng)典練習(xí)微積分的歷史與意義牛頓的貢獻17世紀(jì)，艾薩克·牛頓開創(chuàng)了"流數(shù)法"，主要用于解決物理運動問題。他將微積分應(yīng)用于萬有引力定律的推導(dǎo)，奠定了經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)。牛頓更注重微積分的物理意義，他的"流數(shù)法"強調(diào)變量隨時間的變化率，這一思想對后世物理學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。萊布尼茨的貢獻與牛頓幾乎同時，戈特弗里德·萊布尼茨獨立發(fā)展了微積分，并創(chuàng)造了我們現(xiàn)在使用的符號體系，如導(dǎo)數(shù)符號"d/dx"和積分符號"∫"。微積分與現(xiàn)實生活曲線變化與面積計算在建筑設(shè)計中，曲線輪廓的面積計算依賴積分；橋梁設(shè)計師需要計算不規(guī)則形狀的材料用量，這些都依賴微積分提供精確解答。物理學(xué)應(yīng)用從行星運動到電磁場理論，微積分是理解和描述自然規(guī)律的數(shù)學(xué)語言。物體的加速度是速度的導(dǎo)數(shù)，而位移則是速度的積分。經(jīng)濟學(xué)分析邊際成本、邊際收益等概念本質(zhì)上是成本函數(shù)和收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。企業(yè)利用這些概念進行利潤最大化決策，這正是微分應(yīng)用的體現(xiàn)。信息技術(shù)微分與積分的關(guān)系微分操作研究函數(shù)的變化率，尋找函數(shù)在各點的導(dǎo)數(shù)1原函數(shù)微分的逆運算過程，恢復(fù)原始函數(shù)積分操作累加函數(shù)在各點的值，計算曲線下面積微積分基本定理連接微分與積分的橋梁，揭示二者的內(nèi)在統(tǒng)一微分與積分是一對反向操作，如同加法與減法。這種反過程思想體現(xiàn)了微積分的精妙之處：微分告訴我們函數(shù)在各點的變化率，而積分則通過這些變化率信息重建原函數(shù)。極限概念介紹極限的直觀理解當(dāng)自變量無限接近某值時，函數(shù)值的趨勢ε-δ定義對任意ε>0，存在δ>0，使得0<|x-a|<δ時，|f(x)-L|<ε極限計算方法代入法、因式分解、有理化、等價無窮小替換極限概念是微積分的基礎(chǔ)，它解決了如何精確描述"無限接近"這一模糊概念的問題。在數(shù)列極限中，我們關(guān)注當(dāng)n趨向無窮時，數(shù)列的收斂值；在函數(shù)極限中，則研究當(dāng)自變量趨近某值時，函數(shù)值的行為。無窮小與無窮大無窮小量的定義如果函數(shù)f(x)在x→x?時的極限為0，則稱f(x)為當(dāng)x→x?時的無窮小量。無窮小量不是固定的小數(shù)，而是一個極限過程。無窮小量的比較若lim[f(x)/g(x)]=0，則f(x)是比g(x)高階的無窮?。蝗魳O限為非零常數(shù)，則稱為同階無窮小；若極限為1，則稱為等價無窮小。常見等價無窮小當(dāng)x→0時，sinx～x，tanx～x，ln(1+x)～x，e^x-1～x等。這些等價關(guān)系在極限計算中非常有用。實際應(yīng)用函數(shù)連續(xù)性點連續(xù)的定義函數(shù)f(x)在點x?處連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)lim[x→x?]f(x)=f(x?)，即極限存在且等于函數(shù)值。區(qū)間連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的每一點都連續(xù)，則稱該函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)具有重要性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值（極值定理）；有界性定理；介值定理。間斷點分類可去間斷點：極限存在但不等于函數(shù)值；跳躍間斷點：左右極限都存在但不相等；無窮間斷點：極限不存在且趨向無窮。導(dǎo)數(shù)的概念1物理解讀瞬時速度是路程對時間的導(dǎo)數(shù)。物體在t時刻的瞬時速度等于位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)。2變化率導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)值隨自變量變化的即時變化率，描述了函數(shù)圖像上各點的變化趨勢。3導(dǎo)數(shù)定義式函數(shù)f(x)在點x?處的導(dǎo)數(shù)定義為：f'(x?)=lim[h→0][f(x?+h)-f(x?)]/h，表示極限過程。導(dǎo)數(shù)概念源于對變化率的精確描述需求。當(dāng)我們觀察函數(shù)值如何隨自變量變化時，平均變化率（割線斜率）只能提供粗略信息，而導(dǎo)數(shù)（切線斜率）則精確捕捉了瞬時變化特性。在實際應(yīng)用中，物理學(xué)中的速度、加速度，經(jīng)濟學(xué)中的邊際成本、邊際效用，以及人口學(xué)中的增長率，都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。理解導(dǎo)數(shù)概念是掌握微積分的關(guān)鍵一步。導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線斜率函數(shù)f(x)在點(x?,f(x?))處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)等于函數(shù)圖像在該點處切線的斜率。這一幾何解釋直觀地展示了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像形狀的關(guān)系。當(dāng)導(dǎo)數(shù)為正時，函數(shù)在該點處遞增，切線向上傾斜；當(dāng)導(dǎo)數(shù)為負時，函數(shù)在該點處遞減，切線向下傾斜；當(dāng)導(dǎo)數(shù)為零時，切線水平。切線方程已知函數(shù)f(x)在點(x?,f(x?))處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)，該點處的切線方程為：y-f(x?)=f'(x?)(x-x?)，這是點斜式方程的應(yīng)用。例如，對于函數(shù)f(x)=x2，在點(2,4)處的導(dǎo)數(shù)f'(2)=4，因此切線方程為y-4=4(x-2)，即y=4x-4。這條切線精確描述了函數(shù)在該點附近的局部近似行為。可導(dǎo)與不可導(dǎo)函數(shù)在一點可導(dǎo)意味著該點的導(dǎo)數(shù)存在，即左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)且為有限值。不可導(dǎo)點通常表現(xiàn)為函數(shù)圖像的"特殊點"，如尖點、垂直切線點或跳躍間斷點。典型的不可導(dǎo)例子包括：|x|在x=0處（存在尖點）；x^(1/3)在x=0處（存在垂直切線）；階躍函數(shù)在跳躍點處（存在間斷）。理解不可導(dǎo)性質(zhì)有助于我們分析函數(shù)的特性及其在實際問題中的適用性。微分的概念1微分定義函數(shù)y=f(x)的微分dy=f'(x)dx線性近似Δy≈dy，函數(shù)增量近似等于微分3誤差估計使用微分近似計算函數(shù)值變化微分是導(dǎo)數(shù)概念的自然延伸，它描述了當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)值的相應(yīng)變化。具體來說，當(dāng)自變量x增加一個微小量dx時，函數(shù)值的近似增量dy=f'(x)dx。微分的核心思想是用線性函數(shù)局部近似非線性函數(shù)，這一思想在科學(xué)計算和工程應(yīng)用中極為重要。例如，當(dāng)我們需要估算√17時，可以利用f(x)=√x在x=16處的微分：√17≈√16+f'(16)·(17-16)=4+1/(2√16)·1=4+1/8=4.125，這比實際值4.123...僅相差0.002。常見基本函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)類型函數(shù)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)示例冪函數(shù)x^nnx^(n-1)d/dx(x^3)=3x^2指數(shù)函數(shù)e^xe^xd/dx(e^x)=e^x對數(shù)函數(shù)lnx1/xd/dx(lnx)=1/x三角函數(shù)sinxcosxd/dx(sinx)=cosx三角函數(shù)cosx-sinxd/dx(cosx)=-sinx掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)遵循"冪降一階"規(guī)則；指數(shù)函數(shù)e^x的導(dǎo)數(shù)仍為其自身，這是它在數(shù)學(xué)中特殊地位的體現(xiàn)；對數(shù)函數(shù)lnx的導(dǎo)數(shù)為1/x，反映了自然對數(shù)的增長特性；三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則體現(xiàn)了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。求導(dǎo)法則一：和差法則1法則表述若函數(shù)u(x)和v(x)都可導(dǎo)，則它們的和函數(shù)和差函數(shù)也可導(dǎo)，且(u±v)'=u'±v'。這一法則表明求和函數(shù)或差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于分別求導(dǎo)后再相加或相減。2推廣形式對于多項式函數(shù)f(x)=a?u?(x)+a?u?(x)+...+a?u?(x)，其中a?,a?,...,a?為常數(shù)，則f'(x)=a?u?'(x)+a?u?'(x)+...+a?u?'(x)。3應(yīng)用示例求函數(shù)f(x)=3x?+2e^x-5sinx+4的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用和差法則，f'(x)=3·5x?+2e^x-5cosx+0=15x?+2e^x-5cosx。和差法則是最基本的求導(dǎo)法則之一，它使我們能夠?qū)?fù)雜函數(shù)分解為簡單函數(shù)的線性組合，然后逐項求導(dǎo)。此法則尤其適用于多項式函數(shù)和由基本函數(shù)線性組合形成的函數(shù)。求導(dǎo)法則二：積法則法則表述若函數(shù)u(x)和v(x)都可導(dǎo)，則它們的積函數(shù)也可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)公式為：(u·v)'=u'·v+u·v'。這一法則告訴我們，乘積的導(dǎo)數(shù)等于"第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)"。幾何理解從幾何角度看，u·v可以視為一個矩形的面積，其中邊長分別為u和v。當(dāng)兩邊長同時變化時，面積的變化率就是由兩部分組成：一邊變化而另一邊保持不變的兩種情況。應(yīng)用示例求函數(shù)f(x)=(x2+1)(sinx)的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用積法則，f'(x)=(x2+1)'·sinx+(x2+1)·(sinx)'=2x·sinx+(x2+1)·cosx。積法則是處理函數(shù)乘積的強大工具，它使我們能夠求解諸多復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在實際應(yīng)用中，積法則常與其他法則結(jié)合使用，靈活運用可以解決大多數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算問題。求導(dǎo)法則三：商法則法則表述若函數(shù)u(x)和v(x)都可導(dǎo)，且v(x)≠0，則它們的商函數(shù)也可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)公式為：(u/v)'=(u'v-uv')/v2。這表明商的導(dǎo)數(shù)等于"分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母，減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)"，再除以"分母的平方"。公式推導(dǎo)商法則可通過積法則和鏈?zhǔn)椒▌t推導(dǎo)。設(shè)f(x)=u(x)/v(x)，則u(x)=f(x)·v(x)。對兩邊求導(dǎo)并應(yīng)用積法則，得u'=f'v+fv'，解得f'=(u'-fv')/v=(u'v-uv')/v2。應(yīng)用示例求函數(shù)f(x)=(x2-1)/(e^x)的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用商法則，f'(x)=[(x2-1)'·e^x-(x2-1)·(e^x)']/(e^x)2=[2x·e^x-(x2-1)·e^x]/(e^x)2=[2x-(x2-1)]/(e^x)=(2x-x2+1)/(e^x)。商法則在處理分式函數(shù)導(dǎo)數(shù)時非常實用。需要注意的是，使用商法則時要確保分母函數(shù)在該點處不為零，否則導(dǎo)數(shù)將不存在。掌握商法則對于分析有理函數(shù)及其在各領(lǐng)域的應(yīng)用至關(guān)重要。鏈?zhǔn)椒▌t（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）基本函數(shù)嵌套三角函數(shù)組合指數(shù)與對數(shù)多重嵌套其他組合鏈?zhǔn)椒▌t是處理復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵工具。如果y=f(u)且u=g(x)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)為：dy/dx=(dy/du)·(du/dx)=f'(g(x))·g'(x)。直觀理解就是，變化的傳遞具有"鏈?zhǔn)?特性。例如，求函數(shù)f(x)=sin(x2)的導(dǎo)數(shù)。這是一個復(fù)合函數(shù)，其中外層函數(shù)是sinu，內(nèi)層函數(shù)是u=x2。應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，f'(x)=(sinu)'·(x2)'=cosu·2x=2x·cos(x2)。鏈?zhǔn)椒▌t的精妙之處在于，無論復(fù)合多少層函數(shù)，都可以層層剝開求導(dǎo)。高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)概念函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是指對導(dǎo)數(shù)函數(shù)再次求導(dǎo)，記作f''(x)或d2f/dx2。在物理學(xué)中，位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)表示加速度，描述速度變化的快慢。高階導(dǎo)數(shù)符號函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)通常記作f^(n)(x)或d^nf/dx^n。通過歸納法公式和模式識別，可以求解某些函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)。常見函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例如，sinx的四階導(dǎo)數(shù)是sinx，即(sinx)^(4)=sinx；e^x的任意階導(dǎo)數(shù)仍是e^x；x^n的n階導(dǎo)數(shù)是n!。這些規(guī)律大大簡化了高階導(dǎo)數(shù)的計算。應(yīng)用領(lǐng)域高階導(dǎo)數(shù)在泰勒級數(shù)展開、微分方程求解、信號處理和控制理論中有廣泛應(yīng)用。它們提供了函數(shù)更深層次的變化信息。隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)概念隱函數(shù)是指自變量與因變量的關(guān)系以方程F(x,y)=0的形式給出，而不是顯式表達為y=f(x)的函數(shù)。例如，方程x2+y2=1描述了單位圓，其中y是x的隱函數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)法對方程F(x,y)=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，需使用鏈?zhǔn)椒▌t，即對含y的項使用d/dx(y)=dy/dx。然后解出dy/dx的表達式。求導(dǎo)示例對于方程x2+y2=1，兩邊對x求導(dǎo)得2x+2y·(dy/dx)=0，解得dy/dx=-x/y。這告訴我們，單位圓上任一點處切線的斜率等于該點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的負比值。應(yīng)用價值隱函數(shù)求導(dǎo)在分析復(fù)雜方程關(guān)系、研究曲線性質(zhì)和解決實際問題中具有重要價值。例如，分析化學(xué)反應(yīng)平衡、優(yōu)化控制系統(tǒng)等。參變量函數(shù)微分參數(shù)方程定義參數(shù)方程是用參數(shù)t表示的方程組：x=x(t),y=y(t)，其中t是參數(shù)。參數(shù)方程描述的曲線可能是某函數(shù)的圖像，也可能不是函數(shù)圖像（如圓）。例如，參數(shù)方程x=cost,y=sint描述了單位圓；x=t,y=t2描述了拋物線y=x2。參數(shù)化表示使我們能夠描述更廣泛的曲線。參變量函數(shù)求導(dǎo)對于參數(shù)方程定義的曲線，可以通過鏈?zhǔn)椒▌t求得dy/dx：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y'(t)/x'(t)，前提是x'(t)≠0例如，對于參數(shù)方程x=t3,y=t2，有dx/dt=3t2,dy/dt=2t，因此dy/dx=2t/(3t2)=2/(3t)。這給出了曲線在任意參數(shù)值t處的切線斜率。局部極值與拐點駐點概念函數(shù)f(x)的駐點是指導(dǎo)數(shù)f'(x)=0的點。駐點可能是極值點，也可能不是（如水平拐點）。2極大值判定若在點c處f'(c)=0且f''(c)<0，則f(c)是局部極大值。二階導(dǎo)數(shù)小于零意味著函數(shù)在該點附近呈"向下凹"形狀。3極小值判定若在點c處f'(c)=0且f''(c)>0，則f(c)是局部極小值。二階導(dǎo)數(shù)大于零意味著函數(shù)在該點附近呈"向上凹"形狀。拐點定義拐點是函數(shù)圖像曲線的凹凸性發(fā)生改變的點，即二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=0且在該點兩側(cè)f''(x)的符號改變。局部極值和拐點是函數(shù)圖像的重要特征點，它們反映了函數(shù)行為的關(guān)鍵變化。在實際應(yīng)用中，極值常用于尋找最優(yōu)解，如成本最小化或收益最大化；拐點則通常指示變化模式的轉(zhuǎn)折，如傳染病擴散中的拐點。單調(diào)性與凹凸性單調(diào)遞增若在區(qū)間I上對任意x?<x?都有f(x?)<f(x?)，則函數(shù)f在I上單調(diào)遞增。導(dǎo)數(shù)判別法：若在區(qū)間I上f'(x)>0，則f在I上單調(diào)遞增。單調(diào)遞減若在區(qū)間I上對任意x?<x?都有f(x?)>f(x?)，則函數(shù)f在I上單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)判別法：若在區(qū)間I上f'(x)<0，則f在I上單調(diào)遞減。凹凸性若在區(qū)間I上函數(shù)圖像位于任意兩點連線的下方，則稱f在I上是凸函數(shù)（向上凹）；若位于上方，則稱為凹函數(shù)（向下凹）。二階導(dǎo)數(shù)判別法：若f''(x)>0，則凸；若f''(x)<0，則凹。拉格朗日中值定理定理陳述若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。1幾何意義連接曲線上兩點(a,f(a))和(b,f(b))的割線，在曲線上至少有一點處的切線與該割線平行。證明思路定義輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)]/(b-a)·(x-a)，應(yīng)用羅爾定理得證。應(yīng)用價值用于不等式證明、函數(shù)值估計、微分方程近似解以及數(shù)值分析中的誤差估計。4羅爾定理定理陳述若函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)f(a)=f(b)則存在至少一點ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。羅爾定理可視為拉格朗日中值定理的特殊情況，當(dāng)f(a)=f(b)時，中值定理的結(jié)論變?yōu)閒'(ξ)=0。幾何意義如果一個連續(xù)曲線的兩個端點高度相同，那么曲線上至少存在一點，其切線與x軸平行（即水平切線）。應(yīng)用例題：證明方程x3-3x+b=0（其中b是常數(shù)）在區(qū)間[-2,2]內(nèi)至少有一個根。解析：設(shè)f(x)=x3-3x+b，則f'(x)=3x2-3=3(x2-1)。在[-2,-1]上f'(x)≤0，在[-1,1]上f'(x)≤0，在[1,2]上f'(x)≥0。根據(jù)羅爾定理和中值定理，可得方程在[-2,2]內(nèi)必有解。泰勒公式與極限近似1泰勒公式函數(shù)f(x)在點a處的n階泰勒展開式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)余項表示拉格朗日余項：R_n(x)=f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中ξ介于a與x之間3常用展開式e^x=1+x+x2/2!+x3/3!+...+x^n/n!+...sinx=x-x3/3!+x?/5!-...cosx=1-x2/2!+x?/4!-...泰勒公式是微積分中最強大的工具之一，它用多項式函數(shù)局部近似任意光滑函數(shù)。當(dāng)點a=0時，稱為麥克勞林公式。通過選擇合適的階數(shù)，可以在指定精度下用多項式計算復(fù)雜函數(shù)值，這對于科學(xué)計算和工程應(yīng)用至關(guān)重要。微分基本應(yīng)用舉例經(jīng)濟學(xué)最優(yōu)化邊際成本與邊際收益分析利潤最大化：當(dāng)邊際收益等于邊際成本時，利潤達到最大消費者剩余與生產(chǎn)者剩余計算彈性分析：需求價格彈性=-P/(dQ/dP)·(dQ/dP)物理變化速率速度與加速度：v=ds/dt,a=dv/dt=d2s/dt2熱傳導(dǎo)：溫度變化率與溫度梯度成正比電磁感應(yīng)：感應(yīng)電動勢與磁通量變化率成正比流體力學(xué)：伯努利方程中的速度變化生物增長模型指數(shù)增長模型：dP/dt=kP，解為P(t)=P?e^(kt)Logistic增長：dP/dt=kP(1-P/K)，考慮環(huán)境容量限制藥物濃度衰減：dc/dt=-kc捕食-被捕食模型：掠食者與獵物種群動態(tài)關(guān)系微分方程初步變量可分離方程形如dy/dx=g(x)h(y)的方程，可通過分離變量法解決：∫(1/h(y))dy=∫g(x)dx+C。例如，方程dy/dx=xy可分離為dy/y=xdx，解得y=Ce^(x2/2)。一階線性方程形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的方程，可用積分因子法求解。乘以積分因子μ(x)=e^(∫P(x)dx)，將左側(cè)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)形式。例如，方程y'+2y=e^x，解得y=(e^x)/3+Ce^(-2x)。二階常系數(shù)線性方程形如y''+py'+qy=f(x)的方程，可通過特征方程r2+pr+q=0解決。例如，方程y''-4y'+4y=0的通解為y=c?e^(2x)+c?xe^(2x)。實際應(yīng)用微分方程廣泛應(yīng)用于：簡諧振動（y''+ω2y=0）、彈簧系統(tǒng)（my''+cy'+ky=f(t)）、電路分析（LC電路）、熱傳導(dǎo)、種群動力學(xué)等領(lǐng)域。積分概念及幾何意義積分的直觀理解積分可理解為"累加"過程。從幾何角度看，定積分∫[a,b]f(x)dx表示函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上與x軸所圍成的面積（當(dāng)f(x)≥0時）。這一面積可通過將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，用小矩形近似，然后取n→∞的極限來計算。這就是積分的基本思想——無限細分，然后求和。面積估算示例計算f(x)=x2在[0,1]區(qū)間上的積分，即求曲線y=x2與x軸及x=0,x=1所圍區(qū)域的面積。我們可以將區(qū)間[0,1]等分為n份，每份寬度為1/n。第i個小矩形的高度約為f(i/n)=(i/n)2，面積約為(i/n)2·(1/n)?？偯娣e近似值為∑[i=1,n](i/n)2·(1/n)。當(dāng)n→∞時，這個和收斂到∫[0,1]x2dx=1/3。這告訴我們，該區(qū)域的精確面積是1/3平方單位。定積分的定義分割過程將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間[x???,x?????]，每個小區(qū)間長度為Δx?=x?????-x???。在每個小區(qū)間內(nèi)選取一點ξ?，計算函數(shù)值f(ξ?)。黎曼和的構(gòu)造計算黎曼和S?=∑[i=1,n]f(ξ?)·Δx?。這個和表示用矩形近似曲邊梯形的面積，每個矩形的高為f(ξ?)，寬為Δx?。取極限定義積分當(dāng)最大的Δx?趨向0（即n趨向無窮）時，若黎曼和S?的極限存在且與選取點ξ?的方式無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作∫[a,b]f(x)dx。定積分的定義體現(xiàn)了微積分中"無限過程極限"的核心思想。黎曼積分定義要求函數(shù)在積分區(qū)間上有界且只有有限個間斷點。對于一些更復(fù)雜的函數(shù)，可能需要勒貝格積分等更一般的積分定義。這一極限過程不僅適用于面積計算，也是定義諸如物理工作、流體流量等物理量的基礎(chǔ)。理解定積分的定義過程有助于我們深入理解微積分中"無限分割，逼近精確值"的思想精髓。積分上、下和1上和概念函數(shù)在每個子區(qū)間上的最大值乘以區(qū)間長度的總和2下和概念函數(shù)在每個子區(qū)間上的最小值乘以區(qū)間長度的總和3達布積分定理函數(shù)可積的充要條件是上和與下和之差可以任意小積分上和與下和是理解定積分存在性的重要工具。對于區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)f(x)，將區(qū)間分割為n個子區(qū)間后，上和U?給出了函數(shù)圖像與x軸圍成面積的一個上界，而下和L?給出了一個下界。達布積分定理指出：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積的充要條件是對任意ε>0，存在一個分割，使得上和與下和之差小于ε。直觀上，這意味著我們可以通過足夠細的分割，使近似面積的誤差任意小。例如，對于單調(diào)函數(shù)，上和對應(yīng)于右端點的黎曼和，下和對應(yīng)于左端點的黎曼和。隨著分割細化，兩者都會收斂到真實的積分值。這一理論基礎(chǔ)確保了我們對許多函數(shù)的積分計算是有效的。不定積分概念不定積分是原函數(shù)的全體。若函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，即F'(x)=f(x)，則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。f(x)的不定積分記作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是任意常數(shù)，表示原函數(shù)族中的不同成員。從幾何角度看，不定積分表示斜率函數(shù)為f(x)的所有曲線族。這些曲線形狀相同，僅在豎直方向上平移位置不同，平移量由常數(shù)C決定。例如，函數(shù)f(x)=2x的不定積分為∫2xdx=x2+C，表示所有形如y=x2+C的拋物線族。理解不定積分與定積分的區(qū)別很重要：不定積分是一族函數(shù)，而定積分是一個具體的數(shù)值。但它們通過微積分基本定理緊密聯(lián)系：定積分可以通過不定積分計算，而不定積分可以視為變上限定積分?；痉e分法則1線性法則∫[αf(x)+βg(x)]dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx，其中α和β是常數(shù)。這表明積分運算對于函數(shù)的線性組合具有線性性質(zhì)。例如，∫(2x3+3sinx)dx=2∫x3dx+3∫sinxdx=2·(x?/4)+3·(-cosx)+C=x?/2-3cosx+C。2換元積分法∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du，其中u=g(x)。這將復(fù)合函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為更簡單的形式。例如，∫cos(x2)·2xdx，令u=x2，則du=2xdx，積分變?yōu)椤襝os(u)du=sin(u)+C=sin(x2)+C。分部積分法∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。這對于積分形如"一個函數(shù)乘以另一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)"的情況特別有用。例如，∫xcos(x)dx，令u=x，dv=cos(x)dx，則du=dx，v=sin(x)，得∫xcos(x)dx=xsin(x)-∫sin(x)dx=xsin(x)+cos(x)+C。這些基本積分法則構(gòu)成了積分計算的工具箱，使我們能夠處理各種復(fù)雜函數(shù)的積分。靈活應(yīng)用這些法則，通常需要觀察積分式的結(jié)構(gòu)，識別合適的方法，有時甚至需要結(jié)合使用多種方法。掌握這些基本法則是解決高級積分問題的基礎(chǔ)。換元積分法基本原理換元積分法的核心思想是通過變量替換將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為簡單積分。設(shè)u=g(x)是x的函數(shù)，則dx=g'(x)?1du，從而∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du。操作步驟1.確定合適的替換變量u=g(x)；2.計算du=g'(x)dx；3.將原積分用u表示；4.對新積分求解；5.將結(jié)果用原變量x表示。典型例題計算∫√(1-x2)dx：令u=arcsinx，則x=sinu，dx=cosu·du，√(1-x2)=cosu。積分變?yōu)椤襝osu·cosu·du=∫cos2u·du=(1+cos2u)/2·du=u/2+sin2u/4+C=arcsinx/2+x√(1-x2)/2+C。換元積分法是處理復(fù)合函數(shù)積分的強大工具。常見的替換類型包括：三角替換（如∫√(a2-x2)dx中令x=a·sinu）；根式替換（如∫f(√x)dx中令u=√x）；分式替換（如有理分式積分）等。選擇合適的換元是解決積分問題的關(guān)鍵。有時需要嘗試不同替換來簡化積分。隨著經(jīng)驗積累，我們能夠更好地識別適合特定積分類型的換元方法。例如，對于含有√(a2±x2)或√(x2±a2)的積分，通常采用三角替換；對于有理分式，常采用部分分式分解。分部積分法基本公式∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx其中u(x)和v'(x)是兩個函數(shù)，v(x)是v'(x)的原函數(shù)函數(shù)選擇選擇u和v'的策略：LIATE法則L(對數(shù)函數(shù))：lnx,log??xI(反三角函數(shù))：arcsinx,arctanxA(代數(shù)函數(shù))：x^n,√xT(三角函數(shù))：sinx,cosxE(指數(shù)函數(shù))：e^x,a^x應(yīng)用示例計算∫x·e^xdx令u=x,dv=e^xdx則du=dx,v=e^x∫x·e^xdx=x·e^x-∫e^xdx=x·e^x-e^x+C分部積分法特別適用于以下類型積分：1.多項式乘以三角函數(shù)，如∫x·sinxdx；2.多項式乘以指數(shù)函數(shù)，如∫x2·e^xdx；3.多項式乘以對數(shù)函數(shù)，如∫x·lnxdx；4.多項式乘以反三角函數(shù)，如∫x·arctanxdx。某些情況下，需要連續(xù)多次應(yīng)用分部積分法。例如，計算∫x2·e^xdx時，需要兩次分部積分。還有一些特殊情況，如∫e^x·sinxdx，分部積分會導(dǎo)致循環(huán)，此時需要建立方程組解決。有理函數(shù)積分有理函數(shù)定義有理函數(shù)是兩個多項式的商P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是x的多項式，且Q(x)≠0。如(3x2+2x-1)/(x2-4)就是一個有理函數(shù)。真分式與假分式當(dāng)P(x)的次數(shù)小于Q(x)的次數(shù)時，稱為真分式；否則稱為假分式。對于假分式，可以通過多項式長除法將其表示為一個多項式加一個真分式。如(x3+1)/(x-1)=x2+x+2+3/(x-1)。部分分式分解將真分式分解為若干個簡單分式之和：-對于線性因子(x-a)，對應(yīng)分式A/(x-a)-對于重線性因子(x-a)^m，對應(yīng)分式A?/(x-a)+A?/(x-a)2+...+A?/(x-a)^m-對于不可約二次因子(x2+px+q)，對應(yīng)分式(Ax+B)/(x2+px+q)-對于重不可約二次因子(x2+px+q)^m，對應(yīng)一系列形如(Ax+B)/(x2+px+q)^k的分式典型輸出例如，計算∫(3x+2)/[(x-1)(x+2)]dx。首先分解為A/(x-1)+B/(x+2)，求得A=4/3，B=-1/3，則原積分為∫[4/3·1/(x-1)-1/3·1/(x+2)]dx=4/3ln|x-1|-1/3ln|x+2|+C。常見初等函數(shù)積分公式函數(shù)類型積分形式積分結(jié)果冪函數(shù)∫x^ndx(n≠-1)x^(n+1)/(n+1)+C對數(shù)函數(shù)∫1/xdxln|x|+C指數(shù)函數(shù)∫e^xdxe^x+C指數(shù)函數(shù)∫a^xdxa^x/ln(a)+C三角函數(shù)∫sinxdx-cosx+C三角函數(shù)∫cosxdxsinx+C三角函數(shù)∫tanxdx-ln|cosx|+C反三角函數(shù)∫1/√(1-x2)dxarcsinx+C反三角函數(shù)∫1/(1+x2)dxarctanx+C這些基本積分公式是解決復(fù)雜積分問題的基礎(chǔ)。通過換元法、分部積分法等技巧，可以將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為這些基本形式的組合。例如，∫sin2xdx可以利用三角恒等式sin2x=(1-cos2x)/2轉(zhuǎn)化，得∫sin2xdx=∫(1-cos2x)/2dx=x/2-sin2x/4+C。廣義積分與瑕積分無窮區(qū)間積分廣義積分類型之一是積分區(qū)間無界的情況，如∫[a,+∞)f(x)dx或∫(-∞,b]f(x)dx。這類積分定義為極限：∫[a,+∞)f(x)dx=lim[R→+∞]∫[a,R]f(x)dx例如，∫[1,+∞)1/x2dx=lim[R→+∞]∫[1,R]1/x2dx=lim[R→+∞][-1/x]??=lim[R→+∞](1-1/R)=1當(dāng)極限存在且有限時，稱積分收斂；否則稱為發(fā)散。瑕積分瑕積分是被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)某點無界的情況。如在點c處f(x)→∞，則∫[a,b]f(x)dx被定義為：∫[a,b]f(x)dx=lim[ε→0?](∫[a,c-ε]f(x)dx+∫[c+ε,b]f(x)dx)例如，∫[0,1]1/√xdx=lim[ε→0?]∫[ε,1]1/√xdx=lim[ε→0?][2√x]?1=lim[ε→0?](2-2√ε)=2常見發(fā)散例子：∫[0,1]1/xdx和∫[1,2]1/(x-1)2dx都是發(fā)散的。微積分基本定理變上限積分函數(shù)若f在[a,b]上連續(xù)，定義F(x)=∫[a,x]f(t)dt，則F(x)是f(x)的一個原函數(shù)1第一基本定理F'(x)=f(x)，即變上限積分函數(shù)對上限的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)2第二基本定理若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)微積分橋梁牛頓-萊布尼茨公式連接了微分和積分，使它們成為互逆運算微積分基本定理揭示了微分和積分這兩個看似獨立的數(shù)學(xué)概念之間的深刻聯(lián)系。第一基本定理告訴我們，積分可以創(chuàng)建新函數(shù)，而這個新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù)。第二基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）提供了計算定積分的有效方法：先求被積函數(shù)的原函數(shù)，再計算上下限處的函數(shù)值之差。這一定理不僅在理論上統(tǒng)一了微積分，也在實際計算中提供了強大的工具。例如，計算∫[0,π/2]sinxdx時，我們找到sinx的原函數(shù)為-cosx，然后應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式得：∫[0,π/2]sinxdx=[-cosx]?^(π/2)=-cos(π/2)-(-cos(0))=0-(-1)=1。變上限積分函數(shù)定義設(shè)f(t)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，對于任意x∈[a,b]，定義變上限積分函數(shù)F(x)=∫[a,x]f(t)dt。這個函數(shù)描述了從固定下限a到變動上限x的定積分值如何隨x變化。2微積分基本定理應(yīng)用根據(jù)微積分第一基本定理，F(xiàn)'(x)=f(x)。這意味著變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)本身，這是計算變上限積分函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵。3計算示例求函數(shù)F(x)=∫[0,x]t2dt的導(dǎo)數(shù)和值。應(yīng)用基本定理，F(xiàn)'(x)=x2；通過積分計算，F(xiàn)(x)=∫[0,x]t2dt=[t3/3]??=x3/3-0=x3/3。這驗證了F'(x)=d/dx(x3/3)=x2。4更復(fù)雜的例子設(shè)G(x)=∫[0,x2]sin(t)dt，求G'(x)。這里上限是x的函數(shù)x2，應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t：G'(x)=sin(x2)·d/dx(x2)=sin(x2)·2x=2x·sin(x2)。面積計算應(yīng)用函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的面積當(dāng)f(x)≥0時，∫[a,b]f(x)dx表示曲線y=f(x)與x軸及直線x=a，x=b所圍區(qū)域的面積。當(dāng)f(x)在區(qū)間上有正有負時，積分值表示上部面積減去下部面積。兩曲線之間的面積若在區(qū)間[a,b]上f(x)≥g(x)，則曲線y=f(x)與y=g(x)及直線x=a，x=b所圍區(qū)域的面積為∫[a,b][f(x)-g(x)]dx。這相當(dāng)于每個x值處兩曲線縱坐標(biāo)差的累積。參數(shù)曲線面積對于參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b描述的閉合曲線，如果曲線是簡單的（不自交），則其圍成的面積可以用線積分表示：A=∫[a,b]x(t)y'(t)dt。例如，圓的參數(shù)方程x=rcost，y=rsint,0≤t≤2π，面積為∫[0,2π]r·cost·r·costdt=πr2。旋轉(zhuǎn)體體積計算1繞x軸旋轉(zhuǎn)體積當(dāng)曲線y=f(x)，a≤x≤b與x軸圍成的區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為V=π∫[a,b][f(x)]2dx。這相當(dāng)于對每個位置x處的圓面積πy2進行積分。2繞y軸旋轉(zhuǎn)體積當(dāng)曲線x=g(y)，c≤y≤d與y軸圍成的區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為V=π∫[c,d][g(y)]2dy。這里需要將曲線表示為y的函數(shù)。3圓柱殼法對于曲線y=f(x)，a≤x≤b圍成的區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)，體積也可表示為V=2π∫[a,b]x·f(x)dx。這相當(dāng)于將區(qū)域分解為圓柱殼，每個殼的體積為2πx·f(x)·dx。例如，計算曲線y=√x，0≤x≤4與x軸圍成的區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：V=π∫[0,4](√x)2dx=π∫[0,4]xdx=π[x2/2]??=π·8=8π立方單位。又如，計算同一區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積，用圓柱殼法：V=2π∫[0,4]x·√xdx=2π∫[0,4]x^(3/2)dx=2π[2x^(5/2)/5]??=2π·2·32/5=64π/5立方單位。曲線弧長及表面積弧長公式曲線y=f(x)，a≤x≤b的弧長為L=∫[a,b]√(1+[f'(x)]2)dx。這基于微小弧段ds=√(dx2+dy2)=√(1+(dy/dx)2)dx的積分。參數(shù)方程弧長參數(shù)曲線x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b的弧長為L=∫[a,b]√([x'(t)]2+[y'(t)]2)dt。例如，圓x=rcost，y=rsint的周長為∫[0,2π]√((-rsint)2+(rcost)2)dt=∫[0,2π]rdt=2πr。旋轉(zhuǎn)曲面面積曲線y=f(x)，a≤x≤b繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為S=2π∫[a,b]f(x)√(1+[f'(x)]2)dx。這相當(dāng)于每個弧元ds產(chǎn)生的微小圓帶2πy·ds的積分。計算示例計算曲線y=x^(3/2)，1≤x≤4的弧長：L=∫[1,4]√(1+(3x^(1/2)/2)2)dx=∫[1,4]√(1+9x/4)dx。這需要進一步使用換元法求解。積分在物理問題中的應(yīng)用質(zhì)心計算對于密度函數(shù)ρ(x)的一維物體，其質(zhì)心位置為x?=∫xρ(x)dx/∫ρ(x)dx。對于二維物體，質(zhì)心坐標(biāo)為(x?,y?)，其中x?=∫∫xρ(x,y)dxdy/∫∫ρ(x,y)dxdy，y?類似計算。功與能量非恒力F(x)從位置a移動到位置b所做的功為W=∫[a,b]F(x)dx。例如，彈簧的彈性勢能E=∫[0,x]kxdx=kx2/2，其中k是彈性系數(shù)，x是彈簧伸長量。流量與流體壓力流體通過面積A的管道，速度為v(r)，則流量Q=∫Av(r)dA。液體壓在深度為h的容器底部的壓力為P=ρg∫[0,h]dh=ρgh，ρ是液體密度，g是重力加速度。電磁學(xué)應(yīng)用電場中的電勢V與電場強度E的關(guān)系為E=-?V，電勢能U=∫E·dr。磁通量Φ=∫B·dA，其中B是磁感應(yīng)強度，法拉第電磁感應(yīng)定律表述為感應(yīng)電動勢e=-dΦ/dt。積分在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用x值正態(tài)分布密度在概率論中，連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)(PDF)f(x)滿足：(1)對任意x，f(x)≥0；(2)∫[全域]f(x)dx=1。隨機變量X落在區(qū)間[a,b]內(nèi)的概率為P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx，這是積分在概率計算中的核心應(yīng)用。隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值)E(X)=∫xf(x)dx，方差Var(X)=E[(X-E(X))2]=∫(x-E(X))2f(x)dx=E(X2)-[E(X)]2。這些統(tǒng)計量反映了隨機變量的集中趨勢和離散程度。常見的連續(xù)分布如正態(tài)分布N(μ,σ2)，其PDF為f(x)=(1/(σ√2π))e^(-(x-μ)2/(2σ2))，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)(CDF)Φ(x)=∫[-∞,x](1/√2π)e^(-t2/2)dt沒有初等函數(shù)表達式，通常查表或數(shù)值計算。典型微分應(yīng)用歸納速率問題瞬時速度：v(t)=ds/dt，位移s對時間t的導(dǎo)數(shù)加速度：a(t)=dv/dt=d2s/dt2，速度對時間的導(dǎo)數(shù)角速度：ω=dθ/dt，角位移對時間的導(dǎo)數(shù)反應(yīng)速率：r=-d[A]/dt，反應(yīng)物濃度[A]隨時間的變化率最大最小值問題利潤最大化：當(dāng)邊際收益等于邊際成本時，利潤達到最大成本最小化：當(dāng)邊際成本變化率為零時，可能達到成本最小幾何優(yōu)化：如最大體積、最小表面積等約束優(yōu)化：使用拉格朗日乘數(shù)法求解帶約束條件的優(yōu)化問題差分與插值線性近似：f(x+h)≈f(x)+f'(x)h，用切線近似函數(shù)二階近似：f(x+h)≈f(x)+f'(x)h+f''(x)h2/2，更高精度Taylor展開：在復(fù)雜計算中逼近函數(shù)值誤差估計：|R_n(x)|≤M|x-a|^(n+1)/(n+1)!，其中M是f^(n+1)(ξ)的上界典型積分應(yīng)用歸納面積計算平面區(qū)域面積是積分最直接的幾何應(yīng)用。曲線y=f(x)與x軸及直線x=a，x=b所圍區(qū)域的面積為∫[a,b]f(x)dx（當(dāng)f(x)≥0）。兩曲線y=f(x)與y=g(x)之間的面積為∫[a,b]|f(x)-g(x)|dx。極坐標(biāo)下，曲線r=f(θ)與原點所圍區(qū)域的面積為∫[α,β](1/2)[f(θ)]2dθ。體積計算旋轉(zhuǎn)體體積是積分的另一重要應(yīng)用。函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像繞x軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積為V=π∫[a,b][f(x)]2dx。更一般地，如果截面面積為A(x)的函數(shù)，則體積為V=∫[a,b]A(x)dx。這一原理廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計和建筑中不規(guī)則形狀的體積計算。物理量定量分析積分在物理學(xué)中應(yīng)用廣泛：功W=∫F·dr，表示力沿路徑的積分；電荷分布在空間點產(chǎn)生的電勢V=∫(ρ(r')/|r-r'|)dV'；熵變ΔS=∫(δQ/T)，表示系統(tǒng)隨溫度變化的熵變；慣性矩I=∫r2dm，表示質(zhì)量相對于軸的分布。這些積分形式的物理定律揭示了自然界的基本規(guī)律。概率與統(tǒng)計分析連續(xù)型隨機變量X落在區(qū)間[a,b]內(nèi)的概率為P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)是概率密度函數(shù)。期望值E(X)=∫xf(x)dx和方差Var(X)=∫(x-E(X))2f(x)dx是描述隨機變量特征的重要統(tǒng)計量。這些概念在金融風(fēng)險分析、質(zhì)量控制和科學(xué)研究中有重要應(yīng)用。微分與積分技巧集錦常見易錯點鏈?zhǔn)椒▌t使用不當(dāng)：忘記對內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)；隱函數(shù)求導(dǎo)時忽略某些項的導(dǎo)數(shù)；分式求導(dǎo)時分子分母處理錯誤；定積分上