第二章

函數第6節(jié)指數與指數函數INNOVATIVEDESIGN1.理解有理數指數冪的含義,了解實數指數冪的意義,掌握指數冪的運算性質.

2.通過實例,了解指數函數的實際意義,會畫指數函數的圖象.

3.理解指數函數的單調性、特殊點等性質,并能簡單應用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時對點精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.根式的概念及性質

根式負數0aa-a

沒有意義ar+sarsarbr5.指數函數的圖象與性質

a>10<a<1圖象

定義域R值域__________(0,+∞)性質過定點______,即x=0時,y=1當x>0時,_______;當x<0時,_______當x<0時,______;當x>0時,_______在(-∞,+∞)上是________在(-∞,+∞)上是________(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函數減函數常用結論與微點提醒

(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,則c>d>1>a>b>0.×

×√×

CD

C3.(人教B必修二P13練習A

T2改編)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,則(

) A.a>b>c

B.a>c>b C.c>b>a

D.c>a>b

解析

因為函數y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函數,且3.5>2.7,

故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.7

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考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一

指數冪的運算

思維建模1.指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪,以便利用法則計算,還應注意:(1)必須同底數冪相乘,指數才能相加.(2)運算的先后順序.2.當底數是負數時,先確定符號,再把底數化為正數.3.運算結果不能同時含有根號和分數指數,也不能既有分母又含有負指數.ABD

1

考點二

指數函數的圖象及應用AD例2

(1)(多選)已知a>0,則函數f(x)=ax-2a的圖象可能是(

)

BC思維建模1.對于有關指數型函數的圖象問題,一般是從最基本的指數函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地,當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.2.有關指數方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數型函數圖象,數形結合求解.訓練2

(1)(多選)已知實數a,b滿足等式3a=6b,則下列可能成立的關系式為(

) A.a=b

B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b

解析

由題意,在同一平面直角坐標系內分別畫出函數y=3x和y=6x的圖象,

如圖所示,ABC由圖象知,當a=b=0時,3a=6b=1,故A正確;作出直線y=k,當k>1時,若3a=6b=k,則0<b<a,故B正確;作出直線y=m,當0<m<1時,若3a=6b=m,則a<b<0,故C正確;當0<a<b時,易得2b>1,則3a<3b<2b·3b=6b,故D錯誤.(2)(2025·深圳質檢)若直線y=2a與函數y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個交點,則a的取值范圍是

.

考點三

指數函數的性質及應用

D

角度2

解指數方程或不等式例4

(1)已知y=4x-3·2x+3的值域為[1,7],則x的取值范圍是(

) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]

解析

∵y=4x-3·2x+3的值域為[1,7],

∴1≤4x-3·2x+3≤7,且2x>0,

∴0<2x≤1或2≤2x≤4,

∴x≤0或1≤x≤2.D

B由圖象可知,不等式2x+1<x+2的解集為{x|-1<x<0},∴q:{x|-1<x<0}.又∵{x|-1<x<0}?{x|x<0},∴p是q的必要不充分條件.

思維建模1.比較指數式的大小的方法是:(1)能化成同底數的先化成同底數冪,再利用單調性比較大小;(2)不能化成同底數的,一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化.3.涉及指數函數的綜合問題,首先要掌握指數函數相關性質,其次要明確復合函數的構成,涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時,都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.易錯警示在研究指數型函數的單調性時,當底數a與“1”的大小關系不確定時,要分類討論.

ACD

ACD

課時對點精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN

B

A3.已知函數f(x)=ax-a(a>1),則函數f(x)的圖象不經過(

) A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

解析

y=ax(a>1)是增函數,經過點(0,1),

因為a>1,

所以函數f(x)的圖象需由函數y=ax(a>1)

的圖象向下平移超過1個單位長度得到,

所以函數f(x)=ax-a的圖象如圖所示.B故函數f(x)的圖象不經過第二象限.

A

D

A

D

B

ABD

ABD

AC

[-7,-5]∪(-4,-3)

四、解答題15.已知定義域為R的函數f(x)=ax-(k-1)·a-x(a>0,且a≠1)是奇函數.(1)求實數k的值;解

∵f(x)是定義域為R的奇函數,∴f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0,∴k=2,經檢驗k=2符合題意,所以k=2.

16.已知f(x)為偶函數,g(x)為奇函數,且f(x