8.6.2直線與平面垂直

第一課時2025授課教師：計詩捷

湖州市行知中學情境創(chuàng)設2003年南太湖大橋建成，主塔高108.7米，主梁標準斷面寬40.5米，是目前全國同類橋梁中最寬的。你能說說它的索塔與地面有什么位置關系嗎？南太湖大橋情境創(chuàng)設觀察不同時刻大橋索塔與其影子的位置關系，你有什么發(fā)現(xiàn)？南太湖大橋構建直線與平面垂直的定義古希臘數(shù)學家歐幾里得《幾何原本》中線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直.

“任意一條”平面化降維線面垂直

線線垂直轉化構建直線與平面垂直的定義文字語言：如果直線

與平面

內(nèi)的

直線都垂直,我們就說直線

與平面

互相垂直，記作.圖形語言：符號語言：垂線垂面垂足任意一條構建直線與平面垂直的定義思考：（1）如果直線

與平面

互相垂直能否推出直線

與平面

內(nèi)的任意一條直線都垂直？（2）過平面外一點，是否有可能存在兩條直線與已知平面垂直？線面垂直轉化

線線垂直有且只有一條

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到平面的距離探究直線與平面垂直判定定理無數(shù)條思考：用定義來證明南太湖大橋的索塔與地面互相垂直可行嗎？無限證明

有限證明轉化探究直線與平面垂直判定定理一條直線探究直線與平面垂直判定定理直線

與平面

內(nèi)一條直線

垂直能否判定直線

與平面

垂直？探究直線與平面垂直判定定理兩條平行直線探究直線與平面垂直判定定理直線

與平面

內(nèi)兩條平行直線

、

垂直能否判定直線

與平面

垂直？探究直線與平面垂直判定定理兩條相交直線探究直線與平面垂直判定定理探究：準備一塊三角形紙片，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC桌面在桌面上).①折痕AD與桌面垂直嗎？②如何翻折才能使折痕AD與桌面肯定垂直思考探究直線與平面垂直判定定理探究：準備一塊三角形紙片，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC桌面在桌面上).當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，即AD與桌面兩條相交直線垂直時，AD所在直線垂直桌面所在平面α．探究直線與平面垂直判定定理當折痕AD不垂直BC邊時探究直線與平面垂直判定定理通過這一實驗，你能得到什么結論？直線與平面垂直判定定理文字語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的

垂直，那么該直線與此平面垂直.符號語言：圖形語言：兩條相交直線直線與平面垂直判定定理問題1：為什么“兩條相交的”可以代表“任意一條”，你能說說其它類似的結論嗎？平面向量基本定理：平面內(nèi)的任一向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合.平面內(nèi)的任意直線都可以由兩條相交直線表示.問題2：改成無數(shù)條直線可以嗎？線不在多，重在相交.實際應用在學習了今天的內(nèi)容后，你能用數(shù)學知識證明索塔與地面互相垂直嗎？南太湖大橋實際應用例1求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

分析：已知

，

，證明.線面垂直的判定定理要證要在平面

內(nèi)找到兩條與

垂直的相交直線要證證明：實際應用平行關系

垂直關系轉化平行性質

實際應用例1求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

分析：已知

，

，證明.法二：利用線面垂直的定義證明要用定義證要證

與平面

內(nèi)任意一條直線垂直與平面

內(nèi)任意一條直線垂直例2如圖，四棱錐

的底面是正方形，

平面

，求證：

平面.實際應用分析：要證

平面

要在平面

內(nèi)找到兩條與

垂直的相交直線要證,正方形對角線互相垂直平面線面垂直的定義解題技巧：證明異面直線垂直是難點，把兩條異面直線中的一條放入某一平面，借助另一對線面垂直來證明異面直線垂直.

如圖，

是⊙

的直徑，點

是⊙

上的動點，過動點

的直線

垂直于⊙

所在平面，

，

分別是

，

的中點.判斷直線

與平面

的位置關系，并說明理由.鞏固練習分析：證明：課堂小結1、直線與平面垂直定義判定定理平行性質證明方法線線垂直

線面垂直轉化無限證明

有限證明轉化文字語言

圖形語言轉化

符號語言轉化平行關系

垂直關系轉化2、思想方法課堂小結兩條相交直線，是平面的代表，是定理的基石，它們的方向，決定了平面的走向。當直線與這兩條相交直線垂直，它便與整個平面垂直，無一例外。這是幾何的魔法，是數(shù)學的智慧，在二維與三維之間，架起了一座橋梁。直線與平面垂直，是一種永恒的關系，它告訴我們，真理總是簡單而明確。在這個幾何的世界里，我們用圖形來探索，用邏輯來證明。直線與平面垂直，是一種美麗的相遇，它們的垂直，是幾何的奇跡。讓我們用數(shù)學的語言，來贊美這永恒的真理。在幾何的天空中，直線與平面