二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束反常積分(廣義積分)反常積分第五章一、無窮限的反常積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)的無窮限反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散

.類似地,若則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:

上述定義中若出現(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束它表明該反常積分發(fā)散.性質(zhì)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(只對(duì)這種情況進(jìn)行描述,其它的類似)(1)設(shè)在可積,k為常數(shù),則(2)設(shè)在可積,則(3)設(shè)在可積,b>a,則引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束另外,第一類反常積分仍有類似定積分的換元法(代換要求附加單調(diào))和分部積分法.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束換元法：(4)設(shè)在連續(xù),

作代換滿足:1)2)在和之間單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則分部積分法：(5)設(shè)在有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),

若下面等式中有兩項(xiàng)存在,則第三項(xiàng)也存在,并且有例1.

計(jì)算反常積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.例2.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.(a>0)因此,當(dāng)p>1

時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1

時(shí),反常積分發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

計(jì)算反常積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.

設(shè)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無界,存在,這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱此極限為函若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類說明:而在點(diǎn)

c

的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)).例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束間斷點(diǎn),而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義性質(zhì)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(只對(duì)為瑕點(diǎn)這種情況進(jìn)行描述,其它(1)設(shè)在可積,k為常數(shù),則(2)設(shè)在可積,則情形類似)(3)設(shè)在可積,b>c>a,則注意:

若瑕點(diǎn)的計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛–萊公式的若

b

為瑕點(diǎn),則若a

為瑕點(diǎn),則若a,b

都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束另外,第二類反常積分仍有類似定積分的換元法(代換要求附加單調(diào))和分部積分法.下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.

計(jì)算反常積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

a,所以原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

討論反常積分的收斂性.解:所以反常積分發(fā)散.例6.證明反常積分證:當(dāng)

q=1時(shí),當(dāng)

0<q<1時(shí)收斂;q≥1時(shí)發(fā)散.當(dāng)

q≠1時(shí)所以當(dāng)

q<1

時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng)

q

≥1

時(shí),該廣義積分發(fā)散

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.解：求的無窮間斷點(diǎn),故I為反常積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.

計(jì)算反常積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

0,積分區(qū)間為無窮,所以是反常積分.原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:計(jì)算反常積分時(shí),主要的是要判斷區(qū)間上的瑕點(diǎn)并注意分段,其它的與常義的定積分沒有什么差別.內(nèi)容小結(jié)

1.反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限

2.兩個(gè)重要的反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(1)

有時(shí)通過換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)

當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.

(3)

有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分.其定義為P247題3機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束常積分收斂.注意:

主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習(xí)P2471(2),(4),(7),(8);2;